三四五章习题解答

1、第三章习题解答思考题1.（a）仅当稀疏矩阵时病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败。（b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 （c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 （d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。（f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。（g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 （h）奇异矩阵的范数一定为零。 （i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。（j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们各有什么优点？解

2、答：区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？（a）矩阵的行列式小； （d）矩阵的条件数小（b）矩阵的范数小； （e）矩阵的条件数大（c）矩阵的范数大； （f）矩阵的元素小解答：（e）矩阵的条件数大矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值的模，那么这个矩阵就接近奇异。矩阵的条件数定义为 当我们选取因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。1( )cond AAA2Amax2min()(

3、)()TTA Acond AA A8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比（a）它们的基本差别是什么 （c）哪种方法更节省存储空间（b）哪种方法更适合并行运算 （d）Jacobi方法是否总是更快解答：（a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi（c）Gauss-Seidel（d）否习题4.考虑矩阵 ，试求A的Cholesky分解。解答：方法1：Matlab运行 R=chol（A）R =1.4142 -0.7071 0 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 0 1.1547 -0.8660 0 0 0 1.1180方法2：利用Cholesky定义求解211211211

4、2A6.矩阵证明：求解以 为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel方法是发散的；求解以 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代收敛，而Jacobi方法是发散的。解答： ：Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 12122211111,222221112AA1A2A1A1022101220BID A ( )01B1022()021002MDLU()21M 矩阵：Jacobi迭代 Gauss-seidel迭代11102210111022BID A 2A5( )12B11102211()0221002MDLU2()12M7.矩阵（a）参数a取什么

5、值时，矩阵时正定的。（b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。解答：（a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵（b）根据迭代收敛条件111aaAaaaa2210(1) (21)0aaa112a( )1B( )21Ba1122a实验题4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？解答：A=hilb(3); %产生三阶Hilbert矩阵x=1 2 3; %假设解向量为xb=A*x; %确定等式右端L U P=lu

6、(A); %矩阵lu分解x_lu=UL(P*b); %根据lu分解求解x结果：x_lu =4.3556 -1.1620 -1.0264 说明Hilbert矩阵为病态矩阵 ,1(), ,1,2,.1i jn ni jHhhi jnij第四章思考题1.（a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。（b）对给定那个的连续函数，构造其三次样条插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。（c）高次的Lagrange插值多项式很常用。（d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 习题3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计

7、算 的二次Lagrange插值多项式 ，比较 和 ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。解答：首先构造二次Lagrange插值多项式( )f xx2( )P x2(0)P(0)f1230.1,0.15,0.2yyy1(0.15)(0.2)( )(0.1 0.15)(0.1 0.2)xxl x2(0.1)(0.2)( )(0.150.1)(0.150.2)xxlx3(0.1)(0.15)( )(0.20.1)(0.20.15)xxl x321( )( )k kkP xy lx 代入x=0， 根据定理4.12(0)0.1406P(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxn5223(0)(0

8、)16R22(0)(0)PR5.（a）求 在节点上的三次自然样条插值（即 ）。（b）用同样的数据做Lagrange插值。将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab画出来，比较它们的结果。解答：( )f xx123452,0.5,0,1.5,2xxxxx 150MM23451.5,0.5,1.5,0.5hhhh2333344454210036312121636123412004363hhhhhhhAhhh020Tb 2344932943MMM 插值比较程序close all;clear all;clc;x=-.2 -.5 0 .5 .2;y=abs(x);x0=-

9、.2:0.01:.2;y0_sp=interp1(x,y,x0,spline);figureplot(x0,y0_sp,b)hold ony0_la=polyinterp(x,y,x0);plot(x0,y0_la,r)-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.200.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 spline interpolationLagrange interpolation实验题1.考虑本章“交互实验”中讨论的著名问题的非等距节点Lagrange插值。区间a,b上的Chebyshev定义为以 为插值节点构造函数f（x）的

10、Lagrange插值多项式，重做“交互实验”步骤，比较其结果。21( ), 1,1125f xxx (21)cos(),1,2,.1222(1)kbabakxknn1,21,.,nx xxclose allclear allclcn=10;x=zeros(n+1,1);for k=1:n+1 x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1);endy=1./(1+25*x.2);x0=-1:0.1:1;y0=polyinterp(x,y,x0);figureplot(x0,y0,r)x1=linspace(-1,1,n+1);y1=1./(1+25*x1.2);y1_u=polyinter

11、p(x1,y1,x0);hold onplot(x0,y1_u,b)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52n=10 nonuniform intervaluniform interval2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline”作f（x）的样条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。close allclear allclcn=10;x=zeros(n+1,1);for k=1:n+1 x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1);endy=1./(1+25*x.2);x0=-1:0.1:1;y0=i

12、nterp1(x,y,x0,spline);plot(x0,y0,r)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 n=10n=30n=903.仍然考虑实验1中的著名问题。下面的Matlab程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,o,xx,yy);xlabel(x);ylabel(y);hold onp3=polyfit(x,y,3);yy=poly

13、val(p3,xx);plot(x,y,o,xx,yy);hold off-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2xy第五章思考题1.（a）如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在。（b）积分的计算总是好条件问题。（c）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。（d）梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比会更加精确。习题2.确定下列数值几分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。（a）（b）解答：（a）（b）101( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f x21012( )()(0)( )hh

14、f x dxA fhA fA f x10111223112023AAAhA hAhA hAhh1104,33hhAAA101112231140163AAAhA hAhA hAhh11084,33hhAAA 3.取N=8,16,32，分别用梯形公式和Simpson公式计算如下的积分。（a） （c）解答：以N=8为例梯形公式：Simpson公式：101xxedxe1.992114dxx7101 ( )( )( )1211127 (0)(1) ( )( ).( )168888xixiehdxf af bhf xefffff7710102 ( )( )( )()1633211127 (0)(1) ( )( ).( )482488811315 ()().()12161616xiixiiehhhhdxf af bf xf xeffffffff2.考虑积分（a）用Matlab函数ezplot在 上画被积函数的图像；（b）用Matlab的符号计算工具箱，精确计算该积分；（c）如果直接用Matlab函数quad数值计算该积分有什么问题？如何设法克服。解答：（a） y=sym(x*sin(1/x); figure ezplot(y,-