高二数学合情推理与演绎推理2

1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.12.1.1合情推理合情推理 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼

2、得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和

3、。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人

4、作了些具都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . = 5 + 13, . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大

5、过6 6之偶数之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但严格的数学证明都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。尚待数学家的努力。歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇奇的偶数都等于两个奇奇数之和数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，16

6、5+11,18 =7+11,， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明例例1:1:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1=1且(n=

7、1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. .n nn n+ +1 1n na aa a= =1 1 + + a a 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发发明了锯明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .3.3.科学家

8、对火星进行研究科学家对火星进行研究, ,发现火星与地球有许发现火星与地球有许多类似的特征多类似的特征; ; 1)1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; ; 2)2)有大气层有大气层, ,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更; ; 3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存知生物的生存, ,等等等等. . 科学家科学家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .4)4)利用平面向量的本定理类比利用平面向量的本定理类比得到得到空间向量的空间向量的基本定理基本定理. .在两类不同事物之间进行

9、对比在两类不同事物之间进行对比, ,找出若干找出若干相同或相似点之后相同或相似点之后, ,推测在其他方面也可推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式以存在相同或相似之处的一种推理模式, , 称为称为类比推理类比推理.(.(简称简称; ;类比类比) )类比推理的几个特点类比推理的几个特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测

10、另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, ,但它却有发但它却有发现的功能现的功能. .例2:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.例3:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想归纳归纳类比类比提出提出猜想猜想 先先根据已有的事实，经过观察、分析、根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想比较、联想; ; 再再进行归纳、类比进行归纳、类比; ; 然后然后提出提出猜想的推理猜想的推理. .统称为统称为合情推理合情推理. . “合乎情理”,

11、数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.例例: :如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需要移动多少次? ?解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=