2019届高三数学二轮复习备考讲义第4讲函数与方程的思想方法

1、第 4 讲函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x) = 0 的解就是函数 y = f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，函数y = f(x)也能够看作二元方程 f(x)-y = 0 通过方程实行研究。就中学数学来说，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助相关初等函数的性质，解相关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的相关性质，达到化难为易，化繁为简的目的很多相关方程的问题能够用函数的方法解决，反之，很多函数问题也能够用方

2、程的方法来解决。函数与方 程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，使用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质理解，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者使用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的 本质理解，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运

3、动中的等量关系3 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y = f(x)，当 y = 0 时，就转化为方程 f(x) = 0,也能够把函数式 y= f(x)看做二元方程 y f(x) = 0。函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)能够转化为方 程问题来求解，方程问题也能够转化为函数问题来求解，如解方程f(x) = 0,就是求函数 y= f(x)的零点。(2)函数与不等式也能够相互转化，对于函数y = f(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图像与性质解决相关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数

4、列问题十分重要。(4)函数 f(x) =(ax b)n(n N)与二项式定理是密切相关的，禾 U 用这个函数用赋值法和比较系数 法能够解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的很多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的相关理论。(6)立体几何中相关线段、角、面积、体积的计算，经常需要使用布列方程或建立函数表达式的方法 加以解决。二、例题解析I使用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例 1 已知很_C=1 ,(&匕、c R),则有()5a2 2 2 2(A)b 4ac(B)b亠4ac(C)b : 4ac(

5、D)b ob2_4ac故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：2 2 25b = 25a 10ac c 10ac+ 2 5a c= 20ac b2_4ac故选(B)点评解法一通过简单转化， 敏锐地抓住了数与式的特点， 使用方程的思想使问题得到解决；解法二转化 为 b2是 a、c 的函数，使用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习 1 已知关于x的方程x2(2 m 8) x +m2 16 = 0 的两个实根则实数 m 的取值范围_17答案：m| m ；22322 已知函数f (x) = ax bx cx d的图象如下，则(A)b-：,0(B)b0,1(C)b (1,2)(D)b (2,：)答案：

6、A.3 求使不等式lg(xy) w lg alg2x lg2y对大于 1 的任意 x、y 恒成立的 a 的取值范围。n：构造函数或方程解决相关问题:例 2 已知f (t) = log；, t .2, 8,对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式x2mx 4 2m 4x恒成立，求 x 的取值范围。解析 t .2 , 8 , f(t) 丄,32原题转化为：m(x -2) (x -2)20 恒成立，为 m 的一次函数(这里思维的转化很重要)3x1、x2满足x1v2vx2,当 x = 2 时，不等式不成立。21XM2。令 g(m) =m(x - 2) (x - 2), m ,31问题转化为 g(m)

7、在 m , 3上恒对于 0，则:2解得：X2 或Xo；观测时刻跟踪观测点到放归鲸位于跟踪观测点正北t (分钟)点的距离 a (km)方向的距离 b (km)1010.9992021.4133031.7324042.001A西东海岸 图1Ba、b 近似地满足的关系式并观测，已知 AB = 15km，观测站 B 的观测半径为 5km。依题意：观测站 B 的观测范围是:.(X-15)2y20) (X -15) XW25 解得：11.30WXW17.708.1由得：11 30该鲸经过 t 30 113 分钟可进入前方观测站B 的观测范围11017.70 11.30八心持续时间：64 分钟该鲸与 B 站

8、的距离 d =.(x_15)2y2=. x2-29x 22529当 d 最小时为最佳观测时刻，这时x = 14.5, t= 145 分钟。2练习 4.已知关于x的方程sin2x + acosx 2a= 0 有实数解，求实数a的取值范围。(答案：owa0 ,S|3003=13a178d =156 52d024d 372.已知方程(x22x m)(x2-2x n)=0 的四个根组成一个首项为1C -23设双曲线的焦点x在轴上，两条渐近线为y x,则该双曲线的离心率e=()(2)Sn二na1卫ddn2(12_5d)n2 2 2-d0,Sn是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x =5-122 d24d

9、 37三、强化练习512 13. 6 -2 d 2当 n = 6 时，Sn最大。1.(x -8展开式中x5的系数为的等差数列，12212I.求双曲线 C的离心率e的取值范围;A 5B、5C、55D -244已知锐角三角形ABC 中，si n(A B)=3 / ,sin(1A - B)二55I.求证tan A = 2 tan B；n.设AB = 3，求 AB 边上的咼。5甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零11件不是一等品的概率为丄，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、4122丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9I.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；n.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个实行检验，求至少有一个是一等品的概率。26.设a 0,f(x)二ax bx c,曲线y = f(x)在