2022年高考数学关键能力提升专题讲义

1、2022年高考数学关键能力提升专题讲义目录一、阅读理解能力二、信息整理能力三、批判性思维能力四、语言表达能力一、关键能力-阅读理解能力专题综述阅读理解能力是指学生能从语言符号中获取正确意义所需耍的多种能力，是解答所有学科题的基础能力.高 考数学学科考查的阅读理解能力不只是认识汉字、理解汉字，而是理解用汉字描述的数学定义、定理，考 查的是以数学知识和背景为基础和依托的文字语言、符号语言和图形语言的理解能力.由下图可知，2021年高考数学卷平均字数900左右，新高考卷要高于平均值，较往年中等偏少，但是 公式的数量较往年有所提升，试卷承载的信息量没有减少，对学生的阅读理解能力的要求仍然较高.图1：高

2、考数学试卷历年平均字数图2：高考数学试卷历年图表、公式数近2年新高考卷对阅读理解的考查2020年新高考1卷2021年新高考1卷T4：以“日悬”为背景的数学文化题T16：民间剪纸艺术中抽象出数列模型T6：基本再生数与新冠肺炎，指数模型T18: “一带一路”知识竞赛中蕴含的概率 统计问题T15：学生劳动实习中的零件加工实践T19：空气污染问题（PM2. 5与S0?相关性问题）专题探究阅读理解能力符号定义问题统计概率建模数学模型问题探究1:符号定义问题抽象的符号语言是数学的重要特征，更是思维操作的便捷材料。对符号的理解掌握是数学解题的关键。全典例1一国卷在不同的年份都有探索，新高考内容改革以后逐步多

3、了起来，这与中国高考评价体系将其发展水平作 为测评要求直接相关。(2020全国n卷理科T12)0-l周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列内。2品满足他G= 1,2,)，且存在正整数m,使得为+m = a,(i = 1,2,)成立，则称其为0 - 1周期序列，并称满足/+m = 1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于m周期为m的0-1序列i，C(k) = V aiai+k (fc = 1,2，,m - 1)是描述其性质的i=l重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足。(妇3：(卜=1,2,3,4)的序列是()A. 11010-B. 11011- C. 10001-D. 11001-

4、【阅读突破】文字语言符号语言理解0-1周期数列的含义mC(fc) = V a,ai+k (k =- 1)i=l理解描述周期数列性质的指标的含义对四个选项含义的阅读理解一般的选择题都是根据题目的条件进行推理或运算，得出结果后与选项进行比较，挑选出 正确的选项.而本题需要根据题目的条件，对选项进行逐个验算才能选出正确选项，对阅 读理解能力和计算能力都有较高要求.【解析呈现】由Qi+m = i知，序列右的周期为小，由己知，m = 5,2咏+” (k = 1,2,3,4) i=l1 C(k) =g对于选项A,51V* 1C(l) = / QjQj+i =三(。1。2 +。2。3 +。3。4 +。5a6

5、) 55i=l1 , 、 1 1=(1+ 0 + 0 + 0 +0)=4，5555C(2) = gW aiai+2 =+ a2a4 + a3a5 + a4a6 +。5。7)i=l=(0 + 14-0 + 1 + 0)= I，不满足；对于选项B,C(l) =Z (。02 + Q3Q4 + Q4a5 +。5。6) 5=2(1+ 0 + 0 + 1 +1)=：,不满足;对于选项D,51V*1c(l)=- > 田田+1 =7(«1«2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 +。5。6) i=l1o= -(1 + 0 + 0 + 04-1)=-,不满足;故选：C.(2021

6、云南昭通高三联考)新型定义:对实数m与n新运算“” ：m区)n =m,m n < 1、小n,m - n> 1'坟函数/'(X) = (x- X2) ® (x2-2),xe R.若方程f(x) - c = 0有两解，则实数c的取值范围是()A. (一°O,2 U (1,鼻)B. (一8, -2) U -1, jC. (-,-i)ug,+oo)D. (-1,-；)唯+8)探究2:概率统计建模高考数学试卷对数学阅读能力的考查是全方位的，包括阅读数学材料，理解其中的数学语言，还包括阅读 应用问题的材料，理解生活语言，从中抽象数量关系，利用数学语言进行描述

7、，进而应用数学方法进行解 决.高考对数学阅读能力的要求包括读懂、理清、弄通、会做.统计概率建模问题就是全方位考查数学阅 读理解能力的重耍载体.,(2018全国卷I理科T20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根 据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p< 1),且各件产 品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求/(p)的最大值点Po.(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2

8、件不合格品，以(1)中确定的po作为p的值.已知每件产品的检 验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【阅读突破】文字语言符号语言理解商品检验中包含的概率思想/'(P)的含义理解相互独立事件,通过独立事件构建独立重复试验模型EX的含义理解问题(ii)包含的最小化检验成本的含义，将检验成本与概率中的数 学期望联系起来，所设计的问题具有现实意义本题以企业在销售过程中的成本控制问题为

9、背景，着眼于“最小化检验成本”的决策问题设计与设问，试 题考查了独立重复试验概率模型、二项分布的知识和应用、概率的计算、参数的估计、随机变量期望的计 算与应用，同时考查了考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，试题具有很好的选拔功能，达到了考 查阅读、应用、建模能力的目的。【解析呈现】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(P)=废°p2(i _ p)18.因此/'(p)=废o2p(l p)18 - 18P2(1 p)17 = 2 Gop(1 P)17(l 10p).令尸(p) = 0,得p = 0.L 当pe (0,0.1)时，f'(p) > 0;当pe

10、 (0.1,1)时，f'(p)<0.所以/(p)的最大值点为Po = 04一(2)由(1)知，p = 0.1.(i )令丫表小余卜的180件产品中的不合格品件数，依题意知丫8(180,0.1), X = 20 x 2 + 25/,即X = 40 + 25Y.所以 EX = E(40 + 25Y) = 40 + 25EY = 490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.变式训练2由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.(2020广东佛山模拟)某电子设备厂生产一种电子元件，质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出.估计这个厂生产的电子元件的次

11、品率为0.2%,且电子元件是否为次品相互独立.一般的检测流程是: 先把n个(n> 1)电子元件串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一 个次品，再逐一检测，宜到把所有的次品 找出，若检验一个电子元件的花费为5分钱,检测一组n个)电子元件的花费为4 + n分钱.当n = 4时，估计一组待检元件中有次品的概率：(2)设每个电子元件的检测费用的期望为A(n),求A(n)的表达式：(3)试估计n的值，使每个电子元件检测费用的期望最小.(提示：用(1 - p)n « 1 - np进行估算)探究3：数学模型问题数学模型问题基于生产、生活、科研等背景，需要综合

12、运用生活语言、符号语言、图形语言等研究其中的 数量关系.其中生活语言文字类型的应用问题就是包括比较长的用生活语言叙述的关系，重点是理解生活语 言，从中抽象数量关系，而复杂数学关系类型的试题特点是用比较抽象、严谨、规范的数学语言叙述问题， 解题的重点是对数学语言的理解，厘清各元素之间的关系.严谨性和抽象性是数学语言的特征之一，理解 数学语言是数学阅读的核心问题.J(2021年新高考1卷T16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把 纸对折,规格为20dm x 12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm x 12dm, 20dm x 6dm两种规格的图形, 它们的面积

13、之和Si = 240dm2,对折2次共可以得到5dm x 12dm, 10dm x 6dm, 20dm x 3dm三种规格的 图形，它们的面积之和S2 = 180dm2,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如 果对折n次，那么n2 Sk =dm2.k=l【阅读突破】文字语言符号语言理解剪纸是如何对折的，对折前后规则型号的变化20dmx 12dm的长方形纸理解剪纸对折后不同规则型号图形的面积变化n2品 k=l分析对折次数与对折后形成不同规则图形面积之和的关系，从中抽 象出数列模型，利用错位相减法求和.数学源于生活，本题以民间剪纸艺术为载体，通过构建数列模型，归纳出数列的通项公式，

14、并利用错位相 减法求出数列的前n项和，考查了阅读理解能力、逻辑思维能力、数学建模等能力，考查了理性思维、数 学应用、数学探索学科素养.【解析呈现】(1)由对折2次共可以得到5dm x 12dm, 10dm x 6dm, 20dm x 3dm三种规格的图形, 所以对着三次的结果有：|xl2, 5X6, 10x3； 20 x|,共4种不同规格(单位dm?)： 故对折4次可得到如下规格：；xl2, 1x6, 5x3, 10 x I，20 x共5种不同规格；4224(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形，不论规格如何, 其面积成公比为；的等比数列，首项为120 （dm2

15、）,第次对折后的图形面积为120 X对于第n此对折后的图形的规格形状种数,根据（1）的过程和结论， 猜想为n + 1种（证明从略），故得猜想上 =能里,n设 S = V Sfck=l120 X 2 120 X 3 120 X 4120(n + l)2021222ntl ljil q _ 120x2120x3120X4120n120(n+l)人与b = H h 23 + 2时1+荷120(n+l)-2-= 360-120(n+l)12O(n+3)=36U2n因此,c 一240(n+3)S = 720=720 一15(n+3)2n2n -4故答案为：5； 720-竺空2变式训练3（2021全国模拟

16、预测）放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间叫半衰期，这种理论也应用在医学上，医学上半衰期的具体定义为药物在生物体内浓度下降一半所需要的时间.现有4 B两种新研制的药物，为研究其药性特点，在两只身体状况一致的小白鼠体内分别注射药物A，B,已知药物4的半衰期为8小时，设经过（n-1）个半衰期，4, 8两种药物的浓度分别为即,为，若瓦= 2%,经过相同的时间后%6 = bm，则药物B的半衰期为（）A. 6小时B. 7.5小时C. 10小时D. 12小时两式作差得：jS = 240 + 120 g +/+薪7)专题升华> 学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，

17、数学阅读能力的培养是渗透 在平常学习的点点滴滴之中的.> 掌握阅读策略.数学是一门严谨的学科，有自己的语言，在阅读中对不同的素材内容，采用不同的策略 方法.同时数学是一种“数形结合”的语言，所以阅读试题通常也需要学生在三种语言之间的频繁的 转换，相互补充，弄清楚试题所表达的意思.> 加强逻辑思维能力培养.高考试题虽然语言简洁，但是所包含的内容却十分丰富，要理解这些语言需要 有较高的思维能力与阅读能力.在阅读中要把重点放在对知识的消化、对试题数量关系的分析、理解 和抽象之上.【答案详解】变式训练1【答案】B,【解析】由(x - -)一(M - 2) W 1,可得2- X - 1 =

18、(2x + l)(x - 1) 2 0，1 (x-x2,x e (-co, -U 1, +oo) o解得或xNl,所以f(x)=,z,2 I x2-2,xe (-,1)/ -F-因为方程/'(x) - c =。的有两解，即y = /(x)与y = c的图象有两个交点，/ 如图所不：结合图象，可得c < 2或1 < c < 一,即实数c的取值范围是(一8,-2) U -1,-.故选：B.变式训练2【解析】(1)设事件4 一组(4件)中有次品，则事件瓦一组4件)中无次品，即4件产品均正品.又4件产品是否是次品相互独立，则P(彳)=(1 - 0.002)4,所以 P(A)

19、= 1 - P(A) = 1 - (1 - 0.002)4 = l-(l-4x 0.002) = 0.008,(2)设每组n个)电子元件的检测费用为X,则X的所有可能取值为n+ 4, 6n + 4,P(X = n + 4) = 0.998n, P(X = 6n + 4) = 1 - 0.998n,则X的分布列为：Xn 4- 46n + 4P0.998n1 - 0.998所以E(X) = (n + 4) X 0.998n + (6n + 4) X (1 - 0.998n) = 6n + 4 - 5n x 0.998%则有 A(n) =¥ = 6 + ：-5x 0.998n(n >

20、 1)(3) A(n) = 6 + -5 X 0.998。= 6 + -5x(l- 0.002)n »6 + -5x(l- 0.002n), 4(n) = 6 + -5x(l- 0.002n) = 1 + O.Oln + > 1 + 2 lo.Oln x ： = 1.4,当且仅当O.Oln = &时取等号，此时n = 20. n所以，估计当n = 20时，每个电子元件平均检测费用最低，约为1.4分钱.变式训练3【答案】B【解析】设瓦=2% = 2,则瓦=2, % = 1.当药物4的浓度为由6时，药物4经历了 15个半衰期，故药物4 B已被注射进小白鼠体内8x15 = 1

21、20小时，设药物B的半衰期为t小时，则由题意可得1 x=2 x120解得£ = 7.5,所以药物B的半衰期为7.5小时.故选:B二、关键能力-信息整理能力专题综述信息整理能力是指在对大量、无序的信息进行筛选、分类、归纳并形成新的意义的过程中所需要的多种能 力，是创新性解决问题的重要能力之一。数学的信息整理能力表现为用数学的眼光发现问题，用数学的思 想方法准确地概括和描述问题，理性地分析和解决问题.如2020年新高考I卷第19题（II卷第19题）均 通过数学模型的形式，考查学生的阅读理解、信息整理和分析信息的能力。高考中主要通过结构不良型试 题、图形探究型试题、图表信息型试题试题来考查

22、信息整理能力专题探究探究1：结构不良型问题数学科的结构不良问题包括：1）问题条件或数据部分缺失或冗余：2）问题目标界定不明确；3）具有多种 解决方法、途径：4）具有多种评价解决方法的标准；5）涉及的概念、规则和原理等不确定。高考数学的 结构不良题一般是在在给出的几个条件中，要求考生先选择后补充，体现适度开放的试题特点.典例1（2020新高考I卷T17）在ac =h，c sin A = 3,c = Wb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC,它的内角的对边分别为a,比c,且sinA = gsinB, C =

23、?, ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【阅读突破】备选条件已有条件过程及结论 ac = B1. sin A = V3sinB2. C=£由正、余弦定理解得4BC存在c sin A = 3由正、余弦定理，同角三角函数关系 式解得aABC存在 c = y/3b由正、余弦定理解得ABC不存在备选条件的不同决定 计算过程的繁杂程度条件1可以由正弦定理 转化为边a, b的关系选择不同条件得出结论有差异本题以解三角形为背景设计，题目本身给定若干条件(三角形并不能随之确定)，让学生 在另外给出的三个条件中自主选择，通过对试题信息的处理，不同的选择，解题思路不同， 结论就不同，对条

24、件信息的选择和处理决定了解题的方向，因此给考生提供了充分的选择 和展示自己的舞台.【解析呈现】由sin4 =遮sbiB 可得： =遍,不妨设q = y/3m, b = m(rn > 0)则：c2 = a2 + b2 2ab cos C = 3m2 + m2 2 x y/3m x m x = m2» EPc = m.选择条件的解析：据此可得：ac = ypim xm = y/3m2 = V3, «' m = 1,此时 c = m = 1.选择条件的解析：据此可得：cosA=QtW = Z#=-L 2bc2m22则：sin A = Jl (-)2 =争 此时：c

25、sin A = m x = 3» 则：c = m = 2V3.选择条件的解析：可得:=%=1，c = b, d m与条件c = Hb矛盾，则问题中的三角形不存在.(2021 重庆月考)已知AaBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3, .是否存在以a,b,c为边的三角形？若存在，求出AABC面积；若不存在，说明理由.从cosC = |；cosC = -1；sinC =出这三个条件中任选一个， 333补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.探究2：图形探究型问题图形探究型试题强调对图形与图形关系及其反映的数量和数量关系的探究.具体考查对几何图形进

26、行组合、 拼接、分割、旋转、对称、添加辅助线等，当然还包括平面图形翻折成空间图形,空间图形平面化处理等等.此外，图形探究往往还涉及对图形语言的阅读与理解,即将文字符号语言图形化:无图想图、构图等，这类题目均聚焦图形信息整理能力的考查.典例22020全国I卷理科T16）如图，在三棱锥P-A8C的平面展开图中，AC =1,AB =AD = V3, AB 1AC, AB LAD, Z.CAE = 30°,则coszlFCB =【阅读突破】观图形特征找等量关系选性质定理空间图形平面化=CF = EC,BF = BD在A4CE中，利用余弦定理求边EC在ABC尸中，利用余弦定理求cosNFCB【

27、解析呈现】v AB LAC, AB = V3, AC = 1,由勾股定理得BC = yjAB2 + AC2 = 2 >同理得BD = V6. BF = BD =灰，在MCE中，AC = 1, AE = AD - V3. 0C4F = 30",由余弦定理得CE2 = AC2 + AE2 - 2AC- AE cos 3 0" = l + 3-2xlxV3Xy=l,a CF = CE = 1,在ABC尸中，BC = 2, BF = V6» CF = 1,由余弦定理得cosElFCB =cf2+bc2-bf22CFBC1+4-6 _12X1X2 4故答案为：-;变式

28、训练2（2020河北衡水模拟）正三角形ABC的边长为2,将它沿高ZD翻折，使点B与点。间的距离为百,此时四面体4BCC外接球表面积为（）A. 77rB. 197rr 7y7nC.D.19gTT探究3：图表信息型问题高考注重考查考生读图识图以及对图表中蕴含的信息进行提取、加工，计算，总结提炼规律性结论的应用 能力.统计图表型的试题的特点就是包含一定数量的图表，强调对图表的直观感受和理解，从图表中识别 和提取信息、挖掘数量关系或者将图表互化，推理验证得到结论等等.（2020年新高考II卷T9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连 续H天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

29、（）A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量【阅读突破】图表类型：折线图图表含义：复产指数随天数变化曲线；复工指数随天数变化曲线提醒：关注复产（复工）曲线自身变化情况以及两条曲线变化对比的差异点【解析呈现】由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故a错: 由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故8错误: 第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确； 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，DiE确;变式

30、训练3故选：CD.（2021山东单元测试）小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示,则以下说法正确的是（）A.储蓄金额为300元B.日常开支比食品中的其他开支多150元C.娱乐开支比通信开支多50元 D.肉类开支占总开支的专题升华> 解三角形和数列能够作为结构不良题，很重要的原因是因为构成三角形和等差等比数列的基本元素（量） 比较丰富，同时由于内蕴方程和伴随要素的原因使得基本元素（量）能够实现方程的多样性，为方程 思想的考查提供了丰富的切入点.> 在大部分立体图形局部化的求解过程中，都可以转化为解三角形问题，因此解三角形的方法不仅仅应用 于解决平面的多边形问题，解决

31、解析几何中直线与圆锥曲线问题，还应用于立体几何中多面体和旋转体 问题.> 在统计图表阅读与信息整理中对不同的素材内容，采用不同的策略方法，熟练每一种图表及其含义、 优点.数学是一种“数形结合”的语言，所以阅读试题通常也需要学生在三种语言之间的频繁的转换， 相互补充，弄清楚试题所表达的意思.【答案详解】变式训练1解析】若选：由余弦定理得COSC = T丁 =（a+b）Jjab-9 =； 解得：ab = 6,又由a + b = 5,解得：或，所以存在以a,b,c为边的三角形，VcosC = i, ：.sinC = ，其面积为S-bc = j absinC = 2也土s'生介r a2-

32、¥b2-c2 (a+b)2-2ab-91若选：cosC =-= 一解得：ab = 12,因为由a + b = 5 > 2>ab,(当且仅当a = b = g时取等)可得abW至，矛盾，所以不存在以a,b,c为边的三角形； 4若选sinC =等，则cosC = ±3当cosC = 1时，同，可得Sbc = absinC = 2近；当cosC =1时，同可得无解.变式训练2【答案】A【解析】以ABCC为底面，4。为高构造出一个三棱锥4-BCD所在的三棱柱，三棱柱中，底面BDC, BD = CD = 1, BC = V3,"卜在 BCD中，由余弦定理可得BC

33、? = bd2 + cq2-2bd,CDcos4BDC, LBP3 = 1 + 1 - 2cos/.BDC, J.cosBDC = 120°, - x = 1,72 smi20/ O,J)在4 8DC中，利用正弦定理求得 BDC的外接圆的半径为;X= 1,2S171120D由题意可得：球心到底面的距离为学=今.球的半径为r =1 = y,外接球的表面积为4江丁2 = 7兀，故选：A.变式训练3【答案】ABC【解析】由题图知，小张一星期的食品开支为30+ 40+ 100+ 80+ 50 = 300元，其中肉类开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的30%,所以小张一星期的肉类

34、开支占总开支的百分比为30% x：= 10%,故D错误；小张一星期的总开支为300 + 30% = 1000元，所以储蓄金额为1000 X 30% = 300元，日常开支为1000 X 20% = 200元，娱乐开支为1000 x 10%= 100元，通信开支为1000 x 5% = 50元，而食品中的其他开支为50元，由此判定4BC正确.故选：ABC.高中数学教研群QQ群号929518278精品资料每天更新三、关键能力-批判性思维能力专题综述批判性思维能力是指面对各种问题情境，运用已有知识经验进行审慎思考. 分析推理、评价重构等多种能 力.在数学科中，发现和提出问题,通过部分已知信息对结论进

35、行猜测,通过逻辑推理验证猜想的探究过 程就是批判思维的具体体现.在高考中对批判思维考查体现在对于推理和论证的确认、分析.评价、展示的 全过程.专题探究批判性思维能力多项选择题代数推理题探究1：多项选择题多项选择题具有信息承载最大、解题思路广、数学思想丰富、对学生进行多层次区分的特点，因而成 为考杳批判性思维的有效考题.多选题对能力的考杳更加深入.要求学生具备完整. 细致.全面的思维品质.（2021新高考I卷T12）在正三棱柱ABC -4；B；C,'P. AB典例1= AA, = 1,点,P满足前=入百C + y曲KT'Ag 0,7, pG 0,1,则（）A.当*=7时，A4B户

36、的周长为定值B.当“ =7时,三棱锥P-4BC的体积为定值C.当入=即寸，有且仅有一个点8使得4Pl 8PD.当“=夕寸.有且仅有一个点P.使得4,81平面【思维引导】本题以正三棱柱为载体,题干条件以向量形式呈现,四个选项分别从四个不同角度，不同的设问方式明线 考查r空间几何中的主干知识，暗线考查/空间轨迹问题：A = 7 T加=反:+核pe线段eg TA 48/周长表达式T判断周长是否为定值； 关注微信公众号：高斯课堂下载更多精品资料 =1-前=西+ 4瓦互T P e线段B1G T将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内T体积是否为定值；4 =前=：近+两T取BC, B1G中点Q、H,则P 6线段

37、QH T建立合适的直角坐标系来求解P点的个数t = 0或 =1-> H、Q均满足； =3-前=71近+ 3西7取8/，CG中点M、N,则PC线段MNt建立合适的直角坐标系来求解P点的 个数-点P与点N重合.【规范解析】易知，点P在矩形8CGB1内部（含边界）.对于A,当4 = 1时，BP = BC + 瓯=前+ 鬲，即此时P点的轨迹为线段CG, 481P周长为AB】+ AP + PB = & +- 2 + 2,不是定值，故 A 错误;对于 B,当” =1时，BP = XBC + fiK = fiK + ABiCp 故此时P点轨迹为线段aG，而B1G/8C, 8道1平面418。，

38、则有P到平面&BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.C,对于 C,当4 =时，BP = BC + nBBl， 取BC, BiG中点分别为Q, H, 则前= BQ + 而，所以P点轨迹为线段QH, 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， 4除0,1）, P（0,0,4）, B（0,i 0）,则罚 BP = （0,-i,/z）, AP - BP =- 1） = 0> 所以 =0或 = 1.故H,Q均满足，故C错误；对于 D,当=；时，BP = ABC + BB,取BBi，CC1中点为M,N. BP = BM + AMN,所以P点轨迹为线段MN.设P（0,yo*）, 因为4（当

39、，0.0）,所以族=（一今九,，砧=（一当,一1）， 所以z+ay。一鼻=o = y。= 一寸此时p与n重合，故d正确. 故选：BD.变式训练1（2021河北月考）已知正数, y, z满足3、= 4，= 6z,下列结论正确（）B. 3x < 4y < 6zn x+y、3+2V2 u.>z 2A,工+工=工x 2y zC. xy < 2z探究2：代数推理题在数学科高考中，通过对逻辑推理和理性思维的考查，衡量其批判性思维的发展水平.而对于理性思维的考查，突出体现在综合分析问题的过程之中，通过复杂情境的设计增强题目综合性，考量学生是否能够根 据已知信息，从合理的角度思考问题，

40、用合理的方法解决问题.例如在函数与导数问题中通过对代数推理 能力的考查来达到批判性思维考查的目的.(2020全国HI卷理科T21)设函数f (%) = x3 + bx + c,曲线y = f(x)在点处的切线与y轴 垂直.(1)求b.(2)若f(x)有个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【思维引导】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法思想，体现了对批判性思维思维 能力的考查要求.,o切线与y轴垂直，13/Q) t / (%) = 3x2 + b(-) = 0 -> b =-1假设f(x)有个绝对值大于1的零点X。C + >4

41、由(1) /(x) Tf'(x) = 3(x +(x - t f(x)的单调性，/(-l) = /g) = c-i,A-i)> o, r <oT C > ；或C < - ； T分类讨论,推出与题设相反的结论T原命题得证. 44【规范解析】(l)f(x) = 3x2 + h,由题意知：f(i) = ； + b = 0,解得b = 一；：由(1)可得/'(x)=/-+ 以r(x) = 3/- ： = 3(x + ：)(x -：), 44221.1. 11令尸(x)>0,得x>5或刀<一手令尸(x)<0,得一5cx <a，所以/(

42、X)在(一：,9上单调递减，在(一8,->&+8)上单调递增，且八-1)=""(一m=c+；,，(以二一* /(i)=c+；,若f(x)所有零点中存在一个绝时值大于1的零点Xo，则/(- 1) > 0或/(I) < 0,即 C > :或C < - i当C>；时= c +=/(l) = c + ；>0,*r4 L/4Z/，又/(-4c) = -64c3 + 3c + c = 4c(l 16c2) < 0,由零点存在性定理知f(x)在(-4c,-l)上存在唯一一个零点%,即/(%)在(一8, -1)上存在唯个零点，在(-

43、1,+8)上不存在零点，此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当c<_时,/(-l) = c_；<0,/(_m = c + ：<0, /g) = c-i<0, /(l) = c + i<0,又(-4c) = -64c3 + 3c + c = 4c(l - 16c2) > 0,由零点存在性定理知/(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点X。'，变式训练2即/(X)在(1,+8)上存在唯一一个零点，在(-8,1)上不存在零点, 此时/(X)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，/(X)所有零点的绝对值都不大于1.(2021江苏月考

44、)已知函数/"(x) = a*(a > 1)若/(x)在1,2上的最大值为£求a的值；(2)若%o为/(%)的零点，求证：loga(2 - x0) + x02 - 2xQax° < 0.专题升华> 多选题从主干到选项都围绕着较大的主题展开，考查在复杂题目中提取有效、有用、合理的信息，作 为逻辑推理的合理论据，需要较强的批判性思维能力。> 解决函数与导数问题通常运用分类讨论思想、函数方程思想、转化化归思想，体会导数工具性价值； 在解析几何问题的解答中要体会代数方法解决几何问题的特点，感受代数工具的价值.尝试多角度解决 问题，比较解法，选择合理

45、的途径解决问题。【答案详解】变式训练1【答案】ABD【解析】令3* = 4y = 62 = t(t> 1),可得 V 2工logt6flogt3r J logt4f 11 1 1 + = logt3 +'ogt4 = logt6 =故力正确；4，34 3-=41ogt3 = logt81, - = 31ogt4 = logt64,所以得3x < 4y, xy*y732又-=21og6 = logt36,所以; >>得4yV6z,故 8正确；,=：X ? =，。6 X log46 =2g26_ Ig22+2lg2xlg3+lg23Lg3x2lg22lg2xlg3z

46、y z=1+其器+瑞)N 2,当且仅当，g2 =，g3时等号成立，又lg3 > lg2, 所以盯>2z2故。不正确；3=± +="+堡=三+(蛇+场)>三+四=-， z z z Lg3 lg4 2 、lg3 21g2, 1 22当且仅当黑=翳时等号成立，又詈W黑，故也 >丝，故正确; 国321g2lg321g2z 2故选：ABD.变式训练2【解答】(1)已知y = ax(a > 1)和y =：在(0,+8)递增，故/(X)在口,2单调递增,故f(x)ma* = f(2) =。2 解得：a = 2:证明：若X。为/(X)的零点，赚。=点又当x t

47、 +0时，/(x) t -co,当 = 1时，/(I) = a - 1 > 0,所以0 V X。V 1, 因为/。9式2 - x0) + x02 - 2xoax0 < 0,等价于 1oga(2 - x0) 4- x02 - 2 < 0, 等价于2 Xo<a2r/，等价于a2r+W>2,而a2-x°z + 磊之 2ja2-ro2r0 = 24-1。+丁+1令1 = -1。+丁+*(0,2)，所以a-N+3飞> 1-所以a2r。？ +高2成立，所以，。式2 - x0) + x02 - 2xoax° < 0,原不等式得证.四、关键能力-语

48、言表达能力专题综述语言表达能力和阅读理解能力既相互联系又彼此对应，其操作对象都是语言，阅读理解是信息输入的过程， 语言表达则是信息输出的过程，是阅读理解结果的呈现.在高考中，对语言表达能力的考查不仅仅是对数学 语言运用能力的考查，更是对思维过程的考查，通过考生的答题过程判断考生是否真正理解数学概念和掌 握数学思维方法,因此规范地语言表达至关重要.专题探究探究1:解三角形解答题规范解答典例1在高考中解三角形试题往往与三角函数的性质、三角恒等变换等知识综合起来考查，也比较灵活，也常与 三角形中有关量(边或角)的范围交汇考查，书写解析过程时尽量把角或边的范围找完善，避免结果的范 围过大.求最值时，有

49、时也要用到重要不等式。(2021湖南联考)4BC的内角4 B, C的对边分别为a, b, c.设(sinB - sinC)2 = si/Z - sinBsinC.求4(2)若+ b = 2c> 求sinC.【思维引导】(1)等量关系一结合正弦定理+变形-利用余弦定理化边为求角-求出A的值；(2)等量关系+ (1)的结论利用正弦定理化边为角之间的关系求出C的表达式一利用两角和的正弦公式 求出sin C.【规范解析】(1)A4BC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,又(sinB - sinC)2 = sin2 A sinBsinC f则si/B + sin2C 2sinBsinC

50、 = sin2A - sinBsinC,由正弦定理得：b2 + c2 - a2 = be, .cosA "= = i,2bc 2bc 20 < 4 < 7T,% =(2)&a + b = 2c , >1 =p由正弦定理得应sinA + sinB = 2sinC>Y + sin (与一C)= 2sinC>即日+ *osC|sinC = 0,即sin(C_g=q，sinC = sinn , n . n n , n . n V2 V3 . V2 1-4- -) = sin-cos- cos-sin - = - x I x -=.46746462222V

51、6+V2【得分要点】写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第 （1）问中没有写出0 < 4 <兀要扣1分，第（2）问中由C 6（0号）得到C 一注（一号）也是如此.写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如 第（1）问中由正弦定理得 + c2 - a2 = be,第（2）问中由正弦定理得+ sinB = 2sinC,化简得手+ s讥仔0 = 2sEC等.运算正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，变式训练1如得到sbi（C 2）=它的过程，计算sincos巳+ cos-s

52、in - = - x + xi =生!史等. 6/2464622224（2022江苏月考）在4 4BC中，角4 B, C对应边分别为a, b,c,若ba sin C + a cos C = c + b.求N4（2）若a = V5,求b + c的取值范围.探究2：立体几何解答题规范表达典例2高考立体几何解答题，对语言表达能力有两方面的要求，叙述推理证明步骤和书写计算求解过程.高考中的 立体几何考题定位为中低档题，难度不大.但不少考生的得分不如预期，会做的题目却得不到满分，主要问 题出在解答过程的表达不够规范上.立体几何解答题的解答过程需要不少文字、符号，但也不是写得越多越 好，写要写在关键点上，

53、得分点上.（2020新高考I卷T20）如图，四棱锥P-4BCC的底面为正方形，PD _L底面4BCD.设平面PAD与平面PBC的交线为，证明：平面PCC；(2)已知PD = AD = 1, Q为，上的点，求PB与平面QCC所成角的正弦值的最大值.i思维郭导】(1)由已知线线平行T线面平行T线线平行T线线垂直T线面垂直；(2)已知+ (1)的结论建立合适的空间直角坐标系一平面QCD的法向量元和丽T利用sin。= cos <n,PB >|,结合基本不等式求出线面角的最值.【规范解析】(1) VPD 1 底面4BCC,且AC u平面ZBCC, ：.PD 1 AD,> 4BCD为正方

54、形，二/W_LDC,又；PD CDC = D,且PC、CC在平面PCC内，4。JL平面PDC,v AD/BC,且BCu平面PBC, AC 仁平面PBC,二平面PBC,又.平面P4D与平面尸BC的交线为I,且4D u平面P4。，> AD/1,/ lIBlPDC；(2)以。为坐标原点，石?的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 因为PD = AD = 1,则有。(0,0,0), C(0,1,0), P(0,0,1), 8(1,1,0),设Q(m,0,l), m > 0,则有反=(0,1,0),丽=(m,0,l),丽=(1,1,一1), 设平面QCD的法向量为元=

55、(”,z),则森*，即忆第鼠, 令x=l,则z = -m,所以平面QCD的一个法向量为元=(1,0,-m), / 则COS < n PR >记 PB l+0+m 川COS>一 训而| 一行.标旺I '设直线PB与平面QCD所成角为8,则sin 6 = | cos < n,而 > | = 11 + 11V3-Vm2+13 7 m2+l> 2. Ji+2gL< .<1471 = ,当且仅当m=l时取等号 所以直线PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值为手.【得分要点】写全得步骤分：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一定要写全.如 第（1）问中4D C平面PB&BC u平面PBC等，第（2）问建立空间直角坐标系。-xyz.写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点, 如第问论证过程中利用线面平行的性质漏掉条件平面P4DCI平面PBC = I；第（2）问中公式sin。= |cos <n,PB >|右边缺绝对