偏导数的几何应用

1、2022-5-1偏导数的偏导数的几何应用几何应用2022-5-11. 直线直线L的方程：的方程：mzznyypxx000对称式、点向式方程对称式、点向式方程0022221111DzCyBxADzCyBxA或一般式方程一般式方程。平行于或方向向量LBABAACACCBCBSmnpS,2211221122112. 平面平面的方程：的方程：一般式方程一般式方程0DCzByAx点法式方程点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA。垂直于法向量,CBAn3. 空间曲线空间曲线的方程：的方程：参数式方程参数式方程)()()(tzztyytxx一般方程、交面方程一般方程、交面方程0),(0),(zyx

2、GzyxF切L法x0,y0,z0Sn2022-5-11. 参数方程所表示曲线的切线与法平面：参数方程所表示曲线的切线与法平面：有连续导数，点对在、如果ttzyxttzztyytxx0)()()(:证明见下页：证明见下页：)()()(),(),(),() 1 (000000000tzzztyyytxxxtztytxSL方程为：，其方向数有切线则：切)(),(),(0)()()()2(000000000000tzztyytxxzztzyytyxxtx其中有法平面：切L法x0,y0,z0Sn2022-5-10)()()()(),(),()()()()(/),(/),(/,0/),(,),(00000

3、00000000000000000000000000000zztzyytyxxtxSnLtztytxStzzztyyytxxxLtztztytytxtxLLPMttzzztyyytxxxzzzyyyxxxLzzyyxxMtzyxPMPMP：取又方程：且方程方程时当方程为：割线得取增量证：法切法切切切),(0000zyxP切LM),(000zzyyxx2022-5-1方程及法平面方程的切线在求：设空间曲线42sin4cos4zyx例例10)81(21)322)(32282()322)(32282(2181322823223228232221,32282,32282)4(),4(),4(81)4(

4、,322)4(,322)4(000zxxzyxzyxSzzyyxx：切向量解：切点：法切2022-5-1解解, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即2022-5-11.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：

5、2022-5-1010100),(),(),(),(),(),(, 0),(),(),(0),(0),(:0)(*0)(*000000(*)(*)PPPPyxGFzzxzGFyyzyGFxxLPzyGFzyxPzyxGzyxF，方程为：点有切线在则处如果在点曲线切式式即：的函数式隐含为参数由证：以)(*),(),(,),(),(,),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),()()(*),(),(*)10PyxGFxzGFzyGFSzyGFxyGFdxdzzyGFzxGFdxdyxzzxyyxxxzzxyyxx2022-5-1例例2。处的切线及法平面方程在点求曲线) 1 , 2

6、, 1 (060222Pzyxzyx6| )(21122),(),(0000PPPzyzyPzyzyGGFFzyGF解：0| )(21122),(),(0000PPPxzxzPxzxzGGFFxzGF6| )(21122),(),(0000PPPyxyxPyxyxGGFFyxGF0202610261zxyzyxL或：切00)1(6)2(0)1(6zxzyx即：法2022-5-11. 一般空间曲面一般空间曲面0)()()(),(),(, 0),(:00000000000zzPFyyPFxxPFFFFnPzyxPFFFzyxFzyxzyxzyx方程为：其法向量点有切平面：在则连续，在、如果设空间曲

7、面切0)()()(0(*)(),(),()(),(),(0)()()()()()(0)(),(),(00000000000000000*00000000zzPFyyPFxxPFPnPSnnStztytxStPFPFPFntzPFtyPFtxPFttztytxFPzyxzyxzyx面上，该平面方程为：相切的直线在同一张平点与过于同一个向量点的曲线的切线都垂直凡是过则：式即：无关与取求导得：两边对，其方程为：点任意取一曲线证：过）（)()()()(00Pttzztyytxx对应2022-5-11. 一般空间曲面一般空间曲面0)()()(),(),(, 0),(:00000000000zzPFyyP

8、FxxPFFFFnPzyxPFFFzyxFzyxzyxzyx方程为：其法向量点有切平面：在则连续，在、如果设空间曲面切点的法向量。在叫作空间曲面则切平面的法向量方程为：点有切平面：在如果曲面定义：切000000000000),(:,0)()()(),(0),(:PzyxFFFFnzzPFyyPFxxPFzyxPzyxFzyxzyx2022-5-1nn),(0000zyxP),(00yx0),(zyxFXYZO2022-5-1例例3切椭处的切平面在点：求椭球面)3,3,3(1222222cbaczbyax322,322,3221),(323232222222cczFbbyFaaxFczbyaxz

9、yxFczzbyyaxx解：设0333cczbbyaax：故：切cczbbyaaxL/13/13/13：法线法2022-5-11)()(0)()()(1,0),(),(,),(0000000000zzPfyyPfxxLzzyyPfxxPfffFFFnzyxfzyxFyxfzyxyxyxzyx：它的法线方程：故：它的切平面方程则令，为：若曲面方程法切2022-5-1)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几

10、何意义全微分的几何意义),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.2022-5-10zz xz y0 ),( yxfz PQMN x yAB),(000zyxM),(000zzyyxxN dz=AB : 切面立标的增量切面立标的增量z= f (x ,y)(d yxzz z =AN ：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面的切平面：)(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx 即即：dz z=AB+BN0 zz 0)(0 zzyyxfxyxfyx ),

11、(),(0000)( .dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量 很很小小时时当当y,x zdz4. 4. 全微分的几何意义全微分的几何意义复习一元函数微分2022-5-1 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的是锐角，则法向量的方向方向余弦余弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中2022-5-1

12、解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx2022-5-1例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(

13、2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx2022-5-1例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 2022-5-1因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2,

14、1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)2022-5-1空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结2022-5-1思考题思考题 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .2022-5-1思考题解答思考题解答,2,2,60

15、00zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 2022-5-1一、一、 填空题填空题: :1 1、 曲线曲线2,1,1tzttyttx 再对应于再对应于1 t的点的点处切线方程为处切线方程为_； 法平面方程为法平面方程为_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在点在点)0 , 1 , 2(处的切平面方程为处的切平面方程为_； 法线方程为法线方程为_._.二、二、 求出曲线求出曲线32,tztytx 上的点上的点, ,使在该点的切使在该点的切线平行于平面线平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx与抛物面与抛物面22yxz 的交线的交线在在)2 , 1 , 1(处的切线方程处的切线方程 . .练练 习习 题题2022-5-1四、求椭球面四、求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、试证曲面五、试证曲面)0( aazyx上任何点