2020年江苏省高考数学试卷(解析版)

1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题(第1题第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置.3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4 .作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效.5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等

2、须加黑、加粗 .参考公式：柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. *1 .已知集合 A 1,0,1,2, B 0,2,3,则 AB 2 .已知i是虚数单位，则复数 z (1 i)(2 i)的实部是.3 .已知一组数据4,2a,3 a,5,6的平均数为4,则a的值是.4 .将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是5 .如图是一个算法流程图，若输出y的值为2,则输入X的值是26.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 勺 ay- =1(a >0)的一条渐

3、近线方程为y=95x,则该双曲线的离52心率是7.已知y=f(x)是奇函数，当 x> 0时，f , x2丫3 ,则f(-8)的值是 x一，228.已知sin* 2 *()=则sin2 的值是.439.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半轻为0.5 cm ,则此六角螺帽毛坯的体积是cm.10.将函数 y=3sin(2x+-)的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是11 .设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Snn2n 2n 1(n N )

4、,则 d+q 的值是12 .已知 5x2y2 y4 1(x, y R),则 x2 y最小值是13.在ABB, AB 4, AC 3, / BAC=90 ,D在边 BC±,延长 ADi U P,使得 AP=9,若 PA mPB(1m)PCPB,、解答题：本大题共6小题，共计90分，请文字(m为常数)，则CD的长度是说明、证明过程或演算步骤.15.在三柱 ABCABC 中，AB± AC BC，平面 ABCB(1)求证：EF/平面 ABC;(2)求证：平面 ABC，平面ABB.16.在ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 a3,c45(1)求sinC的值；4(

5、2)在边BC上取一点D,使得cos ADC 4 ,求tan DAC的值.517.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线 MNh、桥 AB与MN平行，OO为铅垂线（O在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MNB勺距离几（米）与D到OO的距离a（米）之间满足关系式hi12 a ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F至U OO的距离b（米） 4013之间满足关系式 h2b 6b.已知点B到OO的距离为40米.800（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C, E在AB±（不包括端点）.

6、桥墩EF每米造价k（万元）、桥墩CM米造价3k （万元）（k>0）.问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价 最低？2 X18.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆E: 421的左、右焦点分别为 F1, F2,点A在椭圆E上且在3点B.(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点 Q求OP QP的最小值;(3)设点M在椭圆E上，记OA的MAB勺面积分别为S,S2,若&=3Si,求点M的坐标.19 .已知关于x的函数y f(x), y g(x)与h(x) kx b(k,b R)在区间D上恒有f (x) h(x) g(x).(1)若 f x x2 2x, g x x2

7、2x, D (,)，求 h(x)的表达式；(2)若 f(x)x2x 1, g(x)klnx, h(x) kx k,D (0,)，求 k 的取值范围；(3)若 f(x)x42x2, g(x)4x2 8 , h(x) 4 t2 t x 3t4 2t2(0 | t< J2), Dm, n 。2企，求证：n m 77 .20 .已知数列 an (n N )的首项31=1,前n项和为S.设入与k是常数，若对一切正整数 n,均有1Sh 1k11Snki -成立，则称此数列为“入一k”数列.(1)若等差数列 an是“入-1”数列，求入的值；(2)若数列an是“直 2”数列，且an>0,求数列an

8、的通项公式； 3(3)对于给定的入，是否存在三个不同的数列an为“入-3”数列，且an>0?若存在，求入的取值范围;若不存在，说明理由,数学n(附加题)【选做题】本题包括 A、R C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若 多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2 :矩阵与变换a 1 、21.平面上点A(2, 1)在矩阵M , 一对应 变换作用下得到点B(3, 4). 1 b(1)求实数a , b的值；(2)求矩阵M的逆矩阵M 1 B.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .在极坐标系中，已知点A( 1,-)在直线l： COS30

9、2 ).(1)求1 ,2的值(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.C.选彳4-5 :不等式选讲23 .设 X R ,解不等式 2|x 1| |x| 4 .【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在三B隹A BCD,已知CB=CD=J5, BD=2, O为BD的中点，AOL平面BCD AG2, E为AC的中点.(1)求直线AB DE所成角的余弦值；1(2)若点F在BC上，满足 BF=BC设二面角 F DJC的大小为0 ,求sin 0的值.425.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从

10、甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求 P1 q1 和 P2 q2；(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1递推关系式和 X的数学期望E( Xi)(用n表不').绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题(第1题第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫

11、米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4 .作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作 答一律无效.5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 .参考公式：柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.1 .已知集合 A 1,0,1,2, B 0,2,3,则 AB .【答案】0,2【解析】【分析】 根据集合交集即可计算.【详解】 A 1,0,1,2

12、, B 0,2,3ApB0,2故答案为：0,2 .【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型.2 .已知i是虚数单位，则复数 z (1 i)(2 i)的实部是【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值【详解】.复数z 1 i 2 iz 2 i 2i i23 i，复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题.3 .已知一组数据4,2a,3 a,5,6的平均数为4,则a的值是.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可.【详解】.数据4,2a,3 a,5,6的平均数为4 . 4 2a 3 a 5 6 20 ,即 a 2.故答案为：2.【

13、点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为 5的概率是 1【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可.【详解】根据题意可得基本事件数总为6 6 36个.点数和为5的基本事件有1,4 , 4,1 , 2,3 , 3,2共4个.，一，一一，-41，出现向上的点数和为 5的概率为P .36 9 1故答案为：1.9【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5 .如图是一个算法流程图，若输出 y的值为2,则输入x的值是rwi/人丫 /

14、舲II/ $【答案】3【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出 y x 1,由此求得x的值.【详解】由于2x 0 ,所以y x 12 ,解得x 3.故答案为：3【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题6 .在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 3-L=1(a>0)的一条渐近线方程为 y=X5x,则该双曲线的离 a252心率是【解析】【分析】根据渐近线方程求得 a,由此求得c ,进而求得双曲线的离心率 .22一一【详解】双曲线x-21,故b J5.由于双曲线的一条渐近线方程为y x ,即2 -a 2 ,a 52 a 2 c3所以c Ja2 b2

15、4a5 3，所以双曲线的离心率为 c 3. a 23故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题27 .已知y=f(x)是奇函数，当x> 0时，f y3 ,则f(-8)的值是 x x【答案】4【解析】【分析】先求f (8),再根据奇函数求f ( 8)2【详解】f(8) 83 4，因为f(x)为奇函数，所以f( 8) f (8)4故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题一，228 .已知sin ()=则sin2 的值是.43-1【答案】-3【解析】【分析】221sin)-(1 sin 2 )22直接按照两角

16、和正弦公式展开，再平方即得结果【详解】sin2( f 412-(1 sin2 )-23- -1故答案为：-13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题2 cm,9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为高为2 cm,内孔半轻为0.5 cm ,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果【详解】正六棱柱体积为 6 22 2=12,34 ,1 2圆柱体积为 (1)2 2 22所求几何体体积为12、3 2故答案为：12、, 3 2【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能

17、力，属基础题一 兀九 .一一.一.一.一.一一 10.将函数y=3sin(2x+ -)的图象向右平移 一个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的万程是4624【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果【详解】y 3sin2( x ) 3sin(2 x ) 64122x - - k (k Z)122x 74 1(k Z)5当k 1时x 24,5故答案为：x 24【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题11.设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列.已知数列an+bn的前n项和Sn n2 n 2n 1(n N )

18、,则 d+q 的值是【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前 n项和公式的特点，分别求得an , bn的公差和公比，由此求得 d q.【详解】设等差数列an的公差为d ,等比数列bn的公比为q,根据题意q 1.n n 1 d 2 d等差数列 an 的前n项和公式为 Pn na d n a1 一 n ,222等比数列 bn的前n项和公式为Qnb1 1 qn1 qb1nb1q -1 q 1 q依题意Sn R2Qn,即 n2ndb1nbi一n q ,21 q 1 q通过对比系数可知aiai0，故 d q 4 .2故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题

19、.12.已知2 25x y y_21(x,y R),则 x的最小值是根据题设条件可得,可得x25y21 y45y25y2,利用基本不等式即可求解【详解】: 5x0且x21 :5y21 y 2yy5y14y25yr+-5-2区24,当且仅当5y 55157冬即9391x6，y a时取等号2 一 ,y的最小值为4故答案为：4.5【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“其次要看和或积是否为定值（和正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正;定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定

20、义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立）13.在 ABO, AB 4,AC 3, / BAC=90 , D在边 BC±,延长 ADiU P,使得 AP=9,若 pA mPB (2（m为常数），则CD的长度是【分析】根据题设条件可设pA pD 0,结合pAmPBPC与b,d,c三点共线，可求得勾股定理求出BC ,然后根据余弦定理即可求解【详解】 A,D,P三点共线,.可设PA PDpA mPBPCPD mPBm 前，即 pD mpB1pcB,D,C三点共线, AP9, AD3, AB4,AC 3,BAC 90 , BC5,设CDCDABDA根据余弦定理可得cosAD2 CD2 AC2

21、2AD CDAD2 BD2 AB22AD BDcos cos0,185 CD的长度为18.5当m 0时，pa3 r2PC，C,D重合，此时CD的长度为当m 2时， PA IPB,B, D重合，此时pa 12,不合题意，舍去.故答案为：0或竺.5【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出pA PD 014.在平面直角坐标系 xOy中，已知p(且,0), A, B是圆C： x2 (y -)2 36上的两个动点，满足PA PB , 22则4PAB面积的最大值是 .【答案】10.5【解析】【分析】根据条件得PC AB,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面

22、积，最后利用导数求最大值.【详解】'PA PB PC AB I设圆心C到直线AB距离为d ,则|AB|=2/36 d2,| PC | J- 1 14 4所以 S'pab 1 2 36 d2(d 1). (36 d2)(d 1)22令 y (36 d2)(d 1)2(0 d 6) y 2(d 1)( 2d2 d 36) 0 d 4 (负值舍去)当0 d 4时，y 0；当4 d 6时，y 0 ,因此当d 4时，y取最大值，即Spab取最大值为10，5,故答案为：10-.5【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，

23、请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15 .在三柱 ABCABG中，AB± AC平面ABC E, F分别是AC, BC的中点.(1)求证：EF/平面 ABC;(2)求证：平面 ABC，平面ABB.【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.【解析】【分析】(1)通过证明EF/AB1 ,来证得EF平面AB1C1.(2)通过证明AB 平面ABC ,来证得平面 ABC 平面ABB1 .【详解】(1)由于E,F分别是AC,BC的中点，所以EF/AB1.由于EF 平面AB1C1, AB1平面AB1C1 ,所以EF/平面ABG .(2)由于BC 平面ABC

24、, AB1平面ABC,所以BC AB .由于 AB AC,AC B1c C ,所以 AB 平面 AB1C ,由于AB I平面ABB1，所以平面ABQ 平面ABB1.a【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题4516 .在AB8,角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a 3,c &, B(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos ADC4,一，一一，求tan DAC的值.5【答案】(1) sinC ; (2) 5，2tan DAC 11(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得 sinC.(2)根据cos ADC的值，求得sinADC

25、的值，由(1)求得cosC的值,从而求得sin DAC ,cosDAC的值，进而求得tan DAC的值.【详解】(1)由余弦定理得bc2 2accosB 9 2 2 3 .2由正弦定理得csin Cb sinsin Ccsin Bb(2)由于cosADCADC所以 sin ADC .12 cosADC由于 ADC所以0,2所以cosCsin2 C2/55所以 sin DAC sinDACsinADCsin ADC cosCcos ADCsinC5 2.5525由于 DAC 0,一 2所以cosDAC 1 sin2 DAC11525sin所以tan DAC DAC 2cos DAC 11O在水平

26、线 MNh、桥 AB与MN【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题17 .某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底平行，OO为铅垂线（O在AB上）.经测量，左侧曲线AC上任一点D到MNB勺距离工（米）与D到OO的距12离a（米）之间满足关系式hi a ；右侧曲线BO上任一点F至ij MN的距离h?（米）与尸到00的距离b（米） 4013. ._. 一 .之间满足关系式 h2b 6b.已知点B到OO的距离为40米.800MO N（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C, E在AB

27、±（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元）、桥墩C阿米造价3 k （万元）（k>0）.问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价 最低？【答案】（1） 120米（2） OE 20米（1）根据A,B高度一致列方程求得结果;（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果 12【详解】（1）由题意得|OA|2408004036 40 10 A | 80|AB| |0A| |0B| 80 40 120米1(2)设总造价为 f(x)万兀，|00| 80160,设 |0E| x,4013312f(x) k(160 x 6x) -k160(80 x) ,(0 x 40)800

28、2401332、x x ), f (x)80080f(x) k(160当0 x 20时,326k(x2 一 x) 0 x 20 (0 舍去)80080f (x) 0；当20 x 40时，f (x) 0,因此当x 20时，f(x)取最小值,答：当OE 20米时，桥墩CD与EF的总造价最低【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题2218.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆E：上 1的左、右焦点分别为 Fi, F2,点A在椭圆E上且在43oP qP 的最小值;(1)求 AFF2的周长；(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点(3)设点M在椭圆E

29、上，记 OABWMAB勺面积分别为 S, S2,若S2=3S,求点M的坐标.一 ，212【答案】(1) 6; (2) -4; (3) M 2,0 或一，一.77【解析】【分析】(1)根据椭圆定义可得AFi AF2 4 ,从而可求出afiF2的周长;、一_ _ _3(2)设P Xo,0 ,根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2F1F2,求出A 1-,根据傕线万程得 Q2点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值;设出设M Xi,% ,点M到直线AB的距离为d ,由点O到直线AB的距离与S23Si ,可推出M X1,y1满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标,9d 一,根据点到直线的距

30、离公式，以及 522【详解】(1) .椭圆E的方程为工 143Fi1,0, F2 1,0由椭圆定义可得：AF1 AF2 4.，AF1F2的周长为4 2 6设P Xo,0 ,根据题意可得xo 1.点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2 F1F2.准线方程为x 4Q 4, Vq_ 2X)4 XoXo 244 ,当且仅当Xo2时取等号的最小值为 4.O OP QPXo,oXo 4, Vq(3)设M X1,V1，点M到直线AB的距离为d .3A WF13直线AF1的方程为y X 14点O到直线AB的距离为3 , S2 3s5cc 131S23s3 AB -AB d25 2 3X1 4yl 3 9 2.X

31、l_42，联立解得7127212M 2,0 或 2, 12 77【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根一一9据8 3s推出d 是解答本题的关键 519.已知关于x的函数yf(x), y g(x)与 h(x)kx b(k,b R)在区间 D上恒有 f(x) h(x) g(x).2.2(1)右 f x x2x, g x x2x, D (,)，求 h(x)的表达式；(2)若 f(x)x2x 1, g(x)klnx, h(x) kx k,D(0,)，求 k 的取值范围；(3)若 f(x)x42x2, g(x)4x2 8 , h(x) 4 t2 tx

32、 3t42t2(0 | t<V2), Dm, n 72,72，求证：n m 77 .【答案】(1) h x 2x； (2) k 0,3 ； (3)证明详见解析【解析】【分析】(1)求得f x与g x的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 h x的表达式.(2)先由h x g x 0,求得k的一个取值范围，再由 f x h x 0,求得k的另一个取值范围，从而求得k的取值范围(3)先由f xh x ,求得t的取值范围，由方程 g xh x 0的两个根，求得 n m的表达式,利用导数证得不等式成立【详解】1 1)由题设有 x2 2x kx b x2 2x对任意的x R恒成立.令x 0,

33、则0 b 0,所以b 0.因此kx x2 2x即x22 k x 0对任意的x R恒成立，所以 2 k 2 0,因此k 2.故 h x 2x.(2)令 F xh x g x k x 1 lnx x 0 , F 10.0,不符若k 0,则F x在0,1上递增，在1，+芯，上递减，则Fx F1 0,即hx gx合题意.当k 0时，F x h x g x 0,h x g x ,符合题意.当k 0时，F x在0,1上递减，在1,+g上递增，则F xF 10,即h x g x 0,符合题意.综上所述，k 0.2由 fx h x x x 1 kx kk 1 一2当x 0,即k 1时，y x2因为 f 0 h

34、 0 k 1 0,故存在x 0, ，使f x h xk 1一当x0,即k1时，f x2k 1一当x0,即k1时，则需2综上所述，k的取值范围是k 0,3(3)因为 x4 2x2 4 t3 t x 3t42x k 1 x k 10k 1 x k 1在0,+oc为增函数，0,不符合题意.,2h x x 0 ,符合题意.2k 14 k 10,解得 1 k 3.2t2 4x2 8 对任意 x m,n J2,J2恒成立,4-2.,342_x 2x 4 t t x 3t 2t 对任意 x m,n J2,融 恒成立,等价于(xt)2x22tx 3t2 20对任意x m,n 72,72恒成立.故 x2 2tx

35、 3t2 2 0对任意 x m,n J2, J2恒成立令 M (x) x2 2tx 3t2 2,当 0t21 ,8t280,1 t 1 ,此时 n m J2 t J2 1 J7,当 1t22,8t280,但 4x2 8 4 t3 t x 3t4 2t2对任意的 x m,n 72, 72 23一 22等价于4x 4 t t x 3t 4 t 20对任意的x m, n成立.2. , 32., 24x 4 t t x 3t 4 t 20 的两根为 Xi, x2 ,33t4 2t2 8则 X1 X2 tt,X1 x2 ,4所以 n m= x1 x2| J x1 x2 2 4x1x2t5P3p8 .令

36、t2,1,2 ,则 n m J 3 5 2 38.322构造函数 P5381,2 , P 31033 31,所以 1,2 时，P 0, P 递减，P max P 17.max所以 n m max 7 ,即 n m , 7 .【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题 20.已知数列 an (n N )的首项a1=1,前n项和为S.设入与k是常数，若对一切正整数n,均有1Sh 1k11Snk成立，则称此数列为“一k”数列.(1)若等差数列 an是“入-1”数列，求入的值；(2)若数列an是“正 2”数

37、列，且an>0,求数列an的通项公式； 3(3)对于给定的入，是否存在三个不同的数列an为“入-3”数列，且an>0?若存在，求入的取值范围;若不存在，说明理由,【答案】(1) 1an1,n 13 4n 2,n 2(1)根据定义得Sn+1Snan 1 ,再根据和项与通项关系化简得an 1an 1,最后根据数列不为零数列得结果;(2)根据定义得1Sn+j1Sn231(Sn+1Sn)2 ,根据平方差公式化简得3Sn+1 =4Sn，求得 即得 Hn ；11(3)根据定义得S 3 S 3Sn+1 Sn1a 3,利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满 an 1足的条件，解

38、得结果【详解】（1） Sn+1Snan 1an 1an 1 , a11 an1 0：an 0Sn111SnSn 12 Sn2 。I 1,Sn+121Sn2旦S八(Sn+131Sn)211(Sn+12Sn2)2/11111二K二二-(Sn+12&2)(S+12A与31Sn+121Sn21(Sn 31S2)1Sn+12=2Sn12 Sn+1=4SnSn4na11Sn4nann 23 4 ,n(3)1,nn 23 4 , n假设存在三个不同的数列an为"3"数列.11Q 3Q 3Sn+1Sn1 an 131 (Sn+131Sn3)33(Sn+1Sn)1Sn+131Sn3

39、或(S13 n+11Sn3)23(Sn+111Sn+13Sn"Sn+1Sn或(3 1)S2n+13(21)Sn3112)Sn+1、n'0 对于给定的,存在三个不同的数列an为"3"数列，且an1,n anc0,n21)Sn+j21)Sn3112)Sn+13Sn1有两个不等的正根.2(3 1)Sn+1321)Sn"112)Sn+13Sn31可转化为2(3 1)Sn+132Sn31)-1 2)Sn+131Sn3,不妨设 §uSn3 32(1)x2)x (3 1) 01有两个不等正根，设(3 1)x2 ( 3 2)x ( 3 1) 0 当 1

40、 时， (3 2)2 4( 3 1)2003 4,即 01,此时 f 03 10,(3 2)x对 ；0 ,满足题后、.2( 3 1) 当 1 时， (3 2)2 4( 3 1)2 003 4,即 1J4,此时f 03 1 0, x对(3 2) 0,此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.2( 3 1)综上，01【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学n (附加题)【选做题】本题包括 A、R C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若 多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2 :矩

41、阵与变换a 1 、21.平面上点A(2, 1)在矩阵M对应的变换作用下得到点 B(3, 4).1 b(1)求实数a , b的值；(2)求矩阵M的逆矩阵M 1 2 1a 2155【答案】(1); (2) M 155 .b 2125 5【解析】【分析】(1)根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数a,b的值;(2)设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解【详解】(1) .平面上点A 2, 1在矩阵M1对应的变换作用下得到点B 3, 4b2a22m c 2n d 1 0m 2c n 2d 0 12m c 12n d 0m 2cn 2d【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解

42、题时要认真审题，属于基础题.B.选彳4-4 :坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知点A（ 1,）在直线l: cos2上，点b（2,）在圆c： 4sin上（其中 0,3602 ）.（1）求1 ,2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标.【答案】（1） 1 4, 2 2 （2） （272,-）4【解析】【分析】（1）将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果【详解】（1）以极点为原点，极轴为 X轴的正半轴，建立平面直角坐标系,I *1 cos 2,14 ,13因为点B为直线 一上，故其直角坐标方程为y x ,633又 4sin 对应的圆的直角坐标方程为：x2 y2

43、4y 0,3厂y xx 0x、3由y 3 解得 或 ，22y 0y 1x y 4y 0y对应的点为0,0 , J3,1 ,故对应的极径为(2) 11 cos 2, 4sin , 4sin cos 2, sin 21,1 55.0,2 ), 一,，1 4 4当 一时2 J2 ；4,5.当 时2J2 0,舍；即所求交点坐标为当(2J2,一),44【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题C.选彳4-5 :不等式选讲23 .设 x R ,解不等式 2|x 1| |x| 4 .【答案】2,23【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果x 11 x 0x 0或或2x 2 x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 4