结构动力学3课件

1、结构动力学结构动力学 第三章：单自由度体系的自由振动 第3章 单自由度体系的自由振动 自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 运动方程：扰动的表现： 0kuucum )0(),0(00uuuutt第3章 单自由度体系的自由振动 3.1 无阻尼自由振动 无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件： 0 kuum )0(),0(00uuuutt3.1 无阻尼自由振动 设无阻尼自由振动解的形式为： 其中：s 为待定系数； A 为常数系数方程：两个虚根： stAetu)(0kuum 0)(2stAekmsnnisis21,mkin，122/nmks3.1

2、 无阻尼自由振动 运动方程的通解为： 指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B待定常数，由初始条件确定。stAetu)(nnisis21,tititstsnneAeAeAeAtu212121)(xixexixeixixsincossincostBtAtunnsincos)(3.1 无阻尼自由振动 将位移 和速度带入初始条件：得待定常数为：tBtAtunnsincos)(tBtAtunnnncossin)(BuuAuuntt)0()0(00nuBuA)0(),0(3.1 无阻尼自由振动 体系无阻尼自由振动的解 其中无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） n

3、自振频率。 tututunnnsin)0(cos)0()(mkn3.1 无阻尼自由振动 图3.1 无阻尼体系的自由振动 22)0()0()(maxnmuutuunnT23.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) 结构的重要动力特性 3.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率： (单位：弧度/秒, rad/s)自振周期： (单位：秒, sec)自振频率： (单位：周/秒, 赫兹, Hz)mknnnT22nnf 第3章 单自由

4、度体系的自由振动 3.2 有阻尼自由振动 运动方程：初始条件： 0kuucum )0(),0(00uuuutt3.2 有阻尼自由振动 令u(t)=est，代入运动方程 得： 0kuucum 222 , 1)2(2nmcmcsmkn3.2 有阻尼自由振动 u(t)=est 当： 体系不发生往复的振动 当： 体系产生往复的振动 使： 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼记为ccr： 0)2(22nmc222 , 1)2(2nmcmcs0)2(22nmc0)2(22nmckmmcncr223.2 有阻尼自由振动 图3.2 临界阻尼体系的自由振动 3.2 有阻尼自由振动 1. 临界阻尼和阻尼比 临界阻尼

5、：体系自由振动反应中不出现往复振动 所需的最小阻尼值。临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值， 用表示 kmmcncr22ncrmccc23.2 有阻尼自由振动 1. 临界阻尼和阻尼比 （1）当1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系；（2）当1时，称为临界阻尼（Critically damped）；（3）当1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： 钢筋混凝土结构： 左右01. 0地震（中小强度）左右脉动（微振）左右05. 003. 03.2 有阻尼自由振动 临界阻尼和阻尼比图

6、3.3 低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线 3.2 有阻尼自由振动 2.低阻尼体系（Underdamped Systems） 将：代入： 得： 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：其中：D阻尼体系的自振频率 nmc222 , 11nnis222 , 1)2(2nmcmcssin)0()0(cos)0()(tuutuetuDDnDtn21nDsteu 22112nnDTTDDT23.2 有阻尼自由振动 2.低阻尼体系（Underdamped Systems） D阻尼体系的自振频率 TD阻尼体系的自振周期n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期(1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率

7、变小(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长。当1时，自振周期TD=。 21nD21nDTT3.2 有阻尼自由振动 2.低阻尼体系（Underdamped Systems）现场实测：D 和 TD理论计算：n 和 Tn工程中结构的阻尼比在15%之间，一般不超过20%，因此可以用有阻尼与无阻尼计算结果接近。21nD21nDTT图3.5 阻尼对自振频率和自振周期的影响3.2 有阻尼自由振动 (1) 低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大，因而，合理地确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。(2) 由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系的阻

8、尼比。 3.2 有阻尼自由振动 3.运动的衰减和阻尼比的测量 相邻振动峰值比： )12exp()exp()()(21DnDiiiiTTtutuuu3.2 有阻尼自由振动 3.运动的衰减和阻尼比的测量 对数衰减率: 阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：)12exp()exp()()(21DnDiiiiTTtutuuu2112lniiuu2)2(1223.2 有阻尼自由振动 3.运动的衰减和阻尼比的测量 相隔j周的振动峰值比： 对数衰减率：阻尼比：J50% 振幅衰减至50%所需的次数2jjijiiiiijiieuuuuuuuu1211jiiuujln1jiiuujln21%50%50%5011. 0

9、2ln21, 2ln1JJJ3.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 阻尼比的测量（当20%时）： 用位移记录： 用加速度记录：结构的自振周期TD的测量： 用相邻振幅的时间间隔来计算： jiiuujln21jiiuuj ln213.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 算例3.1 用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加P=73kN的水平力，使框架结构产生st=5.0cm的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0sec，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm。从以上数据计算： 阻尼比； 无阻尼自振周期Tn； 等效刚度k； 等效质量m； 阻尼系数c； 位移振幅

10、衰减到0.5cm时所需的振动周数。3.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 解： 计算阻尼比 ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm 代入方程： 得： 结构属于小阻尼体系 jiiuujln21%)76. 2(0276. 05 . 25ln813.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 解： 计算无阻尼自振周期Tn (振动周次：4；时间：2秒) 有阻尼自振周期： 无阻尼自振周期： 对于小阻尼体系，自振周期近似等于无阻尼自振周期 sec5 . 040 . 2DTsec5 . 04998. 00276. 015 . 0122DnTT3.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 解： 计算等效刚度k

11、 (外荷载P=73kN，静位移st=0.05m) 等效质量mmkNmkNPkst146005. 073/2nkmtm24. 9)57.12(14602sec57.125 . 022radTnn3.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 解： 阻尼系数c mkNk14600276. 0tm24. 9mskNkmc41. 624. 9146020276. 0)2(mkcmcccncr223.2 有阻尼自由振动 4.自由振动试验 解： 位移振幅衰减到0.5cm时所需的振动周数 cmuji5 . 00276. 0cmui5jiiuujln21周周 1328.135 . 05ln0276. 021ln21

12、jiiuujjiiuujln213.3自由振动过程中的能量 SDOF体系中能量来源:初始位移和初始速度体系初始时刻具有的总能量:任意t时刻体系的总能量:其中,质点的动能EK和弹簧的应变能ES ： 22)0(21)0(21umukEI22)(21)(21tukEtumEskSKEEE3.3自由振动过程中的能量 无阻尼体系中的能量: 无阻尼体系自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。 22)(21)(21tukEtumEsktututunnnsin)0(cos)0()(222sin)0(cos)0(21cos)0(sin)0(21tutukEtutumEnnnsnnnnk

13、IskEumukEEE22)0(21)0(213.3自由振动过程中的能量 有阻尼体系中的能量: 在0至t时刻由粘性阻尼耗散的能量ED为： 阻尼在体系振动过程中始终在消耗能量随着， t体系中的总能量将完全被阻尼所消耗当t时，ED= EI dtucdtuucdufEttDD020)(3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动 图3.9 具有库仑摩擦阻尼的弹簧质点体系 (b)：(c)：其中 -特解 -无阻尼自由振动频率Fkuum FnnutBtAtusincos)(11Fkuum FnnutBtAtusincos)(22kFuF/mkn/3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动 设在初始时刻t=0

14、初始条件为：在第一个半周循环（0tTn/2）：由初始条件： 振动解：一个余弦函数，振幅为u(0)uF，但其中轴向上偏移uF 当t=/n(=Tn/2)时，质点达到负向最大值 ：FnnutBtAtusincos)(110,)0(00ttuuu0,)0(11BuuAFnFnFtutuutu/0,cos)0()(0/2)0()/(nFnuuuu3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动 在第二个半周循环（Tn/2tTn）：在时刻t=Tn/2的条件为：由初始条件： 振动解：振动的振幅为u(0)3uF，但其中轴向下偏移uF 当t=2/n(=Tn)时：Fuutu4)0()(FnnutBtAtusincos)(220,3)0(22BuuAFnnFnFtutuutu/2/,cos3)0()(0/2)0()/(nFnuuuu3.4 库仑（Coulomb）阻尼自由振动 在第三个半周循环（Tt3Tn/2）：在每一周