第四章多维随机变量及其分布

1、多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布从本讲起，我们开始第四章的学习从本讲起，我们开始第四章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第三章内容的推广它是第三章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,

2、命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三三个坐标）来确定的等等个坐标）来确定的等等. 若若 是是定义在同一个定义在同一个样本空间样本空间S上的上的n个随机变量，个随机变量，eS,则由它们构则由它们构成的一个成的一个n维向量（维向量（ ）称为称为n维随机变量维随机变量，或，或n维随机向量维随机向量，简记为，简记为 )(),(),(eXeXeXn21)(),(),(eXeXeXn21).,(nXXX21二维随机变量用（二维随机变量用（X，Y）表示）表示下面着重讨论二维下面着重讨论二

3、维r.v(X，Y),多维随机变量可类推。多维随机变量可类推。二维随机变量（二维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数),(),(yYxXPyxFyx, )()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X两事件同时发生两事件同时发生yYxX 类似一维类似一维r.v的分布函数，定义二维的分布函数，定义二维r.v的分布函数的分布函数如下：如下：定义：定义：设（设（X，Y）二维随机变量，）二维随机变量，x, y为任意为任意 实数，则二元函数实数，则二元函数),(),(yYxXPyxF 称为（称为（X，Y）的分布函数，或称为）的分布函数，或称为X和和Y的的联合分布函数联

4、合分布函数。几何意义：几何意义：如将如将( X，Y )看成是平面上随机点看成是平面上随机点 的坐标，则的坐标，则F(x, y)就是就是(X，Y)落在落在 以点以点(x, y)为顶点的左下方无穷矩形为顶点的左下方无穷矩形 域内的概率。域内的概率。 xoy(x,y)利用分布函数，对任意实数利用分布函数，对任意实数 2121yyxx,则则 ),(),(),(),(),(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPxoy( x1, y1)( x1, y2 )( x2, y2 )( x2, y1 )分布函数性质：分布函数性质：1.对任意实数对任意实数x, y有有0F(x, y)1;即即

5、F(x, y)对每个自变量都是单调不减的；对每个自变量都是单调不减的；,),(),(),(),(21212121yyyxFyxFxxyxFyxF2.3对任意对任意x, y有有 ;),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(1000yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx);,(),(),(),(00yxFyxFyxFyxF4 即即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。对每个自变量都是右连续的。5对任意实数对任意实数 ，有，有2121yyxx,.),(),(),(),(011211222yxFyxFyxFyxF 若若F(x ,y) 满足上述性质，则其必为

6、某一满足上述性质，则其必为某一二维二维r.v (X ,Y)的分布函数。的分布函数。 如果二维如果二维r.v(X ,Y)的分布函数的分布函数F(x ,y)已知，已知，可以分别求可以分别求r.v X和和Y的分布函数的分布函数 ).(),(yFxFYX即：即： ),(lim),(),()()(yxFxFYxXPxXPxFyX),(lim),(),()()(yxFyFyYXPyYPyFxY称称 为分布函数为分布函数F(x ,y)的边缘的边缘分布函数分布函数，或二维，或二维r.v (X, Y)关于关于X和和Y的边的边缘分布函数。缘分布函数。).(),(yFxFYX定义定义1：若二维随机变量若二维随机变量

7、( X, Y )所有可能取值是所有可能取值是 有限对或可列无限多对，则有限对或可列无限多对，则称称( X, Y )为为 二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。定义定义2：设设( X, Y )为二维离散型随机变量，所有为二维离散型随机变量，所有 可能取值为可能取值为 ),(jiyxi, j=1,2,令令 ,),(,21jiyYxXPpjiij 则称则称 为为( X, Y )的分布列的分布列，或称为或称为X和和Y的联合分布列。的联合分布列。),(21jipij 二维离散型二维离散型联合分布列联合分布列,),(ijjipyYxXPi, j =1,2, ijijijpjip1, 2 , 1, 0随机

8、变量（随机变量（X,Y）,)(kkpxXPk=1,2, 一维离散型一维离散型, 0kpkkp1k=1,2, 分布列分布列 随机变量随机变量X分布列的性质：分布列的性质： ijijijpip.;,.122101 分布列的表示方法：分布列的表示方法：公式法公式法 ,),(,21jiyYxXPpjiij列表法：列表法： 1 p.1 p.2 p.j p.Jp1 .p2 .pi .pi . p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 X xi Y y1 y2 yj 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷

9、中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布列的联合分布列.解：解：（ X, Y）可取值）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=0)=1/8列表如下列表如下 二维联合分布列全面地反映了二维随机二维联合分布列全面地反映了二维随机变量变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 而单个随机而单个随机变量变量X,Y也具有自己的概率分布列也具有自己的概率分布列

10、. 那么要那么要问问:二者之间有什么关系呢二者之间有什么关系呢? 从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是注意这两个分布正好是表表2的行和与列和的行和与列和. 如下表所示如下表所示 我们常将我们常将边缘分布列边缘分布列写在联合分布列写在联合分布列表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词词. 联合

11、分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.一般，对离散型一般，对离散型 r.v ( X,Y )，则则(X,Y)关于关于X的边缘分布列为的边缘分布列为, 2 , 1,)(ippxXPjijii, 2 , 1,)(jppyYPiijji(X,Y)关于关于Y 的边缘分布列为的边缘分布列为X和和Y 的联合分布列为的联合分布列为, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 二维离散型随机变量二维离散型随机变量( X, Y )的分布函数可的分布函数可表示如下：表示如下：xxyyijx

12、xyyjiijijpyYxXPyYxXPyxF)(),(),(,其中和式是对所有满足其中和式是对所有满足 的的i, j 求和。求和。yyxxji, 一维连续型随机变量一维连续型随机变量 X的概率密度的概率密度1)(dxxf0)(xfdtxfxFx)()(二维连续型随机变量二维连续型随机变量X和和Y 的联合概率密度的联合概率密度0),(yxf 1),(dxdyyxf xydudvvufyxF),(),(一. 概率密度与边缘概率密度概率密度与边缘概率密度定义：定义：设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x ,y)， 若存在非负函数若存在非负函数f(x, y),使得对任意

13、实数使得对任意实数 x, y有有 xydudvvufyxF),(),( 则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量，称称f(x, y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为的概率密度，或称为X与与Y的联合概率密度。的联合概率密度。 不难得出，对连续型不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其，其概率密度与分布函数的关系如下：概率密度与分布函数的关系如下：yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的连续点的连续点 xydudvvufyxF),(),(概率密度性质：概率密度性质： ;),(),(.;),(.1201 Fdxdyyxfyxf 3.设设G是是xO

14、y平面上的一个区域，则点平面上的一个区域，则点(X,Y) 落在落在G中的概率为：中的概率为： GdxdyyxfGYXP),(),(计算性质计算性质性质性质1: 表示表示Z=f(x ,y)在在xOy平面上方的曲面；平面上方的曲面；性质性质2: 表示表示Z=f(x ,y)与与xOy平面所夹空间区域平面所夹空间区域 的体积为的体积为1。性质性质3: 表示表示P(X,Y)G的值等于以曲面的值等于以曲面 Z=f(x ,y)为顶，以平面区域为顶，以平面区域G为底的曲为底的曲 顶柱体的体积。顶柱体的体积。几何意义：几何意义： 对连续型对连续型 r.v ( X,Y )，X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为

15、则则( X,Y )关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为( X,Y )关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(yxfdyyxfxfX),()(dx)y, x(f)y(fY例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘概率密度。）两个边缘概率密度。=5c/24=1,c =24/5 100)2(xdxdyxcy dxdyyxf),(1)dxxxc10222/ )(由由 1),(dxdyyxf确定确定C解：解：例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值

16、; (2) 两个边缘概率密度两个边缘概率密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxfxXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 x注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘概率密度两个边缘概率密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 y注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY其它, 010)

17、,2(512)(2xxxxfX即即 在求连续型在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限特别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布. 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf则称则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 向平面上有界区域向

18、平面上有界区域G上任投一质点，若质上任投一质点，若质点落在点落在G内任一小区域内任一小区域B的概率与小区域的的概率与小区域的面积成正比，而与面积成正比，而与B的形状及位置无关的形状及位置无关. 则则质点的坐标（质点的坐标（ X,Y）在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例均匀分布均匀分布例例3. 二维二维r.v(X,Y)在由在由y=1/x, y=0, x=1和和x=e2所所 形成的区域形成的区域D上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求(X,Y)的的 边缘概率密度。边缘概率密度。如图如图 解：解：xoye211xy1212211eexdxxGS)(ln)(.,),(),(其他其他，021Gyxyx

19、f 其他。 , 0,1,2121),()(210exxdydyyxfxfxX 其他。 , 0, 11),11(2121,10),1(21),()(21122yeydxeyedxyxfyfyY 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互相互独立独立 .两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：)()(),(yFxFyxF

20、YX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则则称称X,Y相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 则称则称X,Y相互相互独立独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：分别是分别是X的的)(),(yfxfYX边缘密度和边缘密度

21、和Y 的边缘密度的边缘密度 . 若若 (X,Y)是离散型是离散型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有即即 jiijppp 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0 即：即：其它, 00,)(xxexfxX其它, 00,)(yeyfyY对一切对一切x, y, 均有

22、：均有：故故X,Y 独立独立)()(),(yfxfyxfYXy 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它,y, yx,)y, x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解：解：),1 (22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()(),(yfxfyxfYX故故X和和Y不独立不独立 . 随机变量独立性的概念不难推广到随机变量独立性的概念不难推广到两个以上两个以上r.v的情形的情形.1. 分布函数分布函数 设设 为为n维随机变量，维随机变量， 为任意实数，则为任意实数，则n元函数元函数),(nXXX21nxxx,2

23、1),(),(,nnnxXxXxXPxxxF221121称为称为 的分布函数。的分布函数。 ),(nXXX212. 概率密度概率密度 设设 为为n维随机变量维随机变量的分布函数，若存在非负函数的分布函数，若存在非负函数 对对任意实数任意实数 有有),(nxxxf21),(nXXX21nxxx,21),(nxxxF21 nxnnxxndtdtdttttfxxxF21212112),(),( 则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量， 称为称为n维随机变量的概率密度。维随机变量的概率密度。),(nxxxf21),(nXXX213. n个随机变量的独立性个随机变量的独立性 设设 为为n维随机变量

24、维随机变量 的分布函数，的分布函数，),(nxxxF21),(nXXX21nnXXXXXXxFxFxFn,)(,),(),(212121依依次次为为的分布函数（一维边缘分布函数），若对任意实数的分布函数（一维边缘分布函数），若对任意实数有有nxxx,21)()()(),(nXXXnxFxFxFxxxFN212121则称则称 是相互独立的。是相互独立的。),(nXXX21 在第三章中，我们讨论了一维随机变量函数在第三章中，我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布，现在我们进一步讨论二维随机变的分布，现在我们进一步讨论二维随机变量函数量函数Z=g(X, Y)的分布。的分布。 具体说，已知具体说

25、，已知( X, Y )的分布，求的分布，求Z=g(X, Y)的分布。的分布。 例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的分布列的分布列.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2, 一. 离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布Z=X+Y依题意依题意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊

26、松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 解：解：riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第

27、二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p，于是，于是Z是以（是以

28、（n1+n2，p）为参）为参数的二项随机变量，即数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).下面介绍求下面介绍求Z=g( X, Y ) 概率密度的通用方法概率密度的通用方法分布函数法：分布函数法：设设( X, Y )是二维随机变量，其概率是二维随机变量，其概率 密度为密度为f(x, y), Z=g(X,Y)。为求。为求Z的的 密度密度 ，设，设Z的分布函数的分布函数 为，则为，则)(zfZ)(zFZ).()(,)().()(,)(),(),()()(),(zFzfzFzzfddxdyyxfzYXgPzZPzFZZZZzzyxgZ则则的表达式的表达式可以计算出可以计算出则则变量代换变量代换交

29、换积分次序交换积分次序 二二. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y),求求Z=X+Y的的概率密度概率密度. 解解: Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.二二. 连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布Z=X+Y 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分

30、作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别，特别，当当X和和Y独立独立，设，设(X,Y)关于关于X,Y的

31、边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxz

32、x110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(教材上例教材上例4 请自已看请自已看. 注意此例的结论：注意此例的结论： 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之个独立随机变量之和的情形和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX则则 有限个独立正态变量的线性组合仍然有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布

33、服从正态分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:例例6. 设设r,v X，Y相互独立，相互独立，X在在0，1上服从均上服从均 匀分布，匀分布，Y 服从参数服从参数=1的指数分布，求的指数分布，求 Z=2X+Y 的概率密度。的概率密度。 解法解法1： 分布函数法分布函数法 其他。 , 0, 10, 1)(xxfX 0.y , 0, 0,)(yeyfyY由独立由独立 其他。 , 0, 0, 10,)()(),(yxeyfxfyxfyYXx0yz=2x+y122z2z2z zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2),()2()()(当当zz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1

34、- - P(Xz)P(Yz) 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i =0,1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1

35、zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函数后，不难求得函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习. 当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时, 常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值

36、为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值. 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散为离散型型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n-1)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记记1-p=q例例8 设随机变量设随机

37、变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的几并且有相同的几何分布何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=0,1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=1,2, 那么要问，若我们需要求那么要问，若我们需要求Y=min(

38、X1,X2)的分布，应如何分析？的分布，应如何分析？留作课下思考留作课下思考 这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握请通过练习熟练掌握. 1、已知两个随机变量的联合概率分布，会、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布其函数的概率分布 在第二章中，我们介绍了条件概率的概念在第二章中，我们介绍了条件概率的概念 .)()()|(BPABPBAP在事件在事件B发生的

39、条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v X,Y ， 在给定在给定Y取某个或某取某个或某些值的条件下，求些值的条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以机抽取一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和表示其体重和身高身高 . 则则X和和Y都是随机变量，它们都有一定都是随机变量，它们都有一定的概率分布的概率分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 现在若限制现在若限制1.7Y

40、0，则称，则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件分布列的条件分布列.P(X=xi|Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2, 类似定义在类似定义在X=xi条件下条件下随机变量随机变量Y 的条件分布列的条件分布列. 作为条件的那个作为条件的那个r.v,认为取值是认为取值是给定的，在此条件下求另一给定的，在此条件下求另一r.v的的概率分布概率分布. 条件分布列是一种概率分布列，它具有条件分布列是一种概率分布列，它具有概率分布列的一切性质概率分布列的一切性质. 正如条件概率是一正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质种概率，具有概率的一切性质., 0)|

41、(jiyYxXP例如：例如：1)|(1ijiyYxXPi=1,2, 例例1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0p1)， 射击进行到击中目标两次为射击进行到击中目标两次为止止. 以以X 表示首次击中目标所进行的射击次表示首次击中目标所进行的射击次数数，以，以Y 表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数. 试求试求X和和Y的联合分布列及条件分布列的联合分布列及条件分布列.解：解：依题意，依题意，Y=n 表示在第表示在第n次射击时击中次射击时击中目标目标,且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标.X=m表示首次击中目标时射击了表示首次

42、击中目标时射击了m次次n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中22)1 (),(nppnYmXP n=2,3, ; m=1,2, , n-1由此得由此得X和和Y的联合分布列为的联合分布列为 不论不论m(mn)是多少，是多少，P(X=m,Y=n)都应等于都应等于22)1 (),(nppnYmXPn次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为 pP(X=m,Y=n)=？ 为求条件分布，先求边缘分布为求条件分布，先求边缘分布.X的的边缘分布列是：边缘分布列是：1),(mnnYmXPmXPm=1,2, 122)1 (mnnpp122)1 (mnnpp)1

43、(1)1 (212pppm1)1 (mppY的的边缘分布列是：边缘分布列是：11),(nmnYmXPnYPn=2,3, 1122)1 (nmnpp22)1 () 1(nppn于是可求得于是可求得：)|(nYmXP2222)1 () 1()1 (nnppnpp,11n当当n=2,3, 时，时，m=1,2, ,n-1,nYPnYmXP联合分布列联合分布列边缘分布列边缘分布列n=m+1,m+2, 当当m=1,2, 时，时，,mXPnYmXP122)1 ()1 (mnpppp,)1 (1mnpp)|(mXnYP 二、连续型二、连续型r.v的条件分布的条件分布 设设(X,Y)是二维是二维连续型连续型r.

44、v，由于对任意由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义直接给出条件概率密度的定义.)(),()|(|xfyxfxyfXXY定义定义2 设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 f (x,y),边缘概率密度为边缘概率密度为 ，则对一切使，则对一切使)(),(yfxfYX0)(xfX 的的x , 定义已知定义已知 X=x下，下，Y 的条件的条件密度函数为密度函数为同样，对一切使同样，对一切使 的的 y, 定义定义)(),()|(|yfyxfyxfYYX0)(yfY为已知为已知 Y=y下，下，X的条件密度函数的条件密度函数 . 我们来解释