小学奥数知识点梳理-全(大字)(共63页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上学而思小学奥数知识点梳理 前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的小学数学奥林匹克、中国少年报社主编的华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。1、把条件翻成数学表达（图、式子等）2、代数的思想，翻不出来用字母代 3、不会做的时候怎么吧，能做啥做啥 概述遇到让找出所有数.,不要害怕，肯定不是很

2、多，找规律，静下心；代数思想、逆推思想、归纳思想、猜证思想、分类分步思想、数形结合思想，我们告诉快速提分策略。 不知该怎么办时，枚举找规律一、计算必考题目一般需要速算巧算要先观察，看准了再动手！和、差、积的个位都只和每个数的个位有关能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，实在不行来狠的（数少或小的时候，有时也许可以硬算）数多或大时，硬算会出人命的，此时大都需要找规律。1、四则混合运算繁分数1 运算顺序：2 分数、小数混合运算技巧一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 带分数的加减法常常整数和分数分开写； 乘除运算中，统一以分数形式。乘法变成假分数；带分数与假分数的互化如果有大量的假可

3、以化带，如果有大量的带，可以化假；繁分数的化简(5) 要考虑整体约分、连续约分的概念；2、简便计算凑整思想 互补就加、尾同就减、配对凑整、借来还去分组凑整：（1）好多数，且中间有省略；（2）甚至可能打乱顺序，重组；（3）带着前面的符号基准数思想裂项与拆分 裂和：目的：两两相消；凑整= +; = +=+裂差：目的：两两相消（1） 分子全部相同，最简单形式为1，不是1提取公因数（2） 分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接；（3） 分母上的几个因数间的差是一个定值； 分数拆分： = + =+, m, n是10的约数就可以；选取m, n的比不同就可以分成不同的两个分数相加

4、；这里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）阶乘：考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5！，想6, 5！×6 = 6！ 除法考虑自己，想5，5！÷5 = 4!提取公因数公因数不会明白地告诉，需要用找出来 如何找？用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数 * 迎春杯特点：一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；考提取公因数的可能比较大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；实在不会，低年级可以硬算。商不变性质改变运算顺序 运算定律的综合运用：交换率、结合率 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质：搬家带符号，加减括号，前面是、÷

5、是一定要注意 增减括号的性质 变式提取公因数形如：(7)换元 (8)通项归纳找规律，从简单情况入手目的：利用通项求解解题步骤：找最后一项，然后套公式（通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来）a. 1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；b. 几个圆或线或矩形吧平面分多少份 方法：看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个部分，就多几个部分 线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；3、估算求某式的整数部分：扩缩法4、比较大小 基本方法 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比，比如和1比 利用倒数性质若，则c>b>a.。形如：，则。 浓度法是真分数，必有 &

6、gt; ;是假分数，且ab，必有 < ; 做差：差与0比 做商：商与1比做商还是做差，看题目条件 放缩法 求整数部分 结构调整：以2的次方为标记点，划几个，董老师5年级下班9讲 > 向左划括号< 向右划括号 两数：差小积大 5、定义新运算ü 要理解新符号的运算规则（普通题：告诉你规则，直接代入就好；牛题：新运算需要推导出来，方法：赵规律，通项归纳）ü 理解运算顺序 没有特殊说明的话，（1）从左往右算，有括号先括号；（2）一个式子包含多个新符号，视这些新符号优先级相同ü 运算率别乱用；6、特殊数列求和运用相关公式： 1+2+3+4（n-1）+n+（

7、n-1）+4+3+2+1=n (a+b)2=a2+2ab+b27、大数计算：找规律，可以先用小数算算找规律；凑9，99， 999 9、重复数字：4=324×10、头同尾和十（1）概念：两位数×两位数中，十位数字相同，个位数字相加为十结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×（头+1）例如：73×77=5621（2）尾同头合十概念：两位数×两位数中，个位数字相同，十位数字相加为十结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×头+尾 例如：78×38=296411、452=202512、7

8、5;11×13 = 1001 37×3 = 11113、7的秘密：1÷7 = 0. ×1 ×2 = 14、位值原理： 一个数可以拆成每一位上的数值×位值二、数论知识点小而多，需要记忆的东西多。包括：整除问题；整除特征(小升初常考内容)；余数问题；奇偶问题；质数合数；约数倍数还有那个平方数的特征。1、奇偶性问题奇奇=偶 奇×奇=奇奇偶=奇 奇×偶=偶偶偶=偶 偶×偶=偶两个数的和差奇偶性相同连续乘法、除法，见偶得偶；连续加法、减法，只数奇数的个数，奇数的个数是奇数，结果是奇；奇数的个数是偶数，结果是偶2、位

9、值原则形如：=100a+10b+c3、数的整除特征：除法的封闭性要不是下面这些特殊数，变成这些特殊数，可以变大、也可以变大。末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；数段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)数段差：（7,11,13）整除数特 征2末尾是0、2、4、6、8；也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数；3各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差

10、是7（或11或13）的倍数，偶数位与奇数位的差99从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数4、整除性质 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 6672这样的用试除法； ()k ÷（K-1），若（a+b+c）10 = (K-1)10×(n)10，则可整除，反之，余 =（余）10；5、带余除法=一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,那么一定有另外两个整数q和r，0rb,使得a=b×q

11、+r当r=0时，我们称a能被b整除。当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=qr, 0rb a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1× p2×.×pk7、约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2×.×pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) 证明：关键是乘法原理n的所有约数和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1

12、+Pk+Pk+pk）约数积：约数是成对出现的例：12的约数积，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 1238、两数的约数也是两数差的约数； （a,b）是a,b; a-b; a+b; a,b的约数；9、同余定理 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为ab(mod m) 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 余数相同：减同余补数相同：加同补10弃九法

13、 （1）自然数N和它的数字和除以9同余； （2）在其他进制里同理：如7进制里，数N和它的各个数字和除以6同余 证明：位值法11完全平方数性质平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。 322 = 1024 是第一个四位数 992 = 9801 四位数里最大的四位数 332 = 四位数里第1个奇数 一个完全平方数的个位数的个位数字一定是0,1,4,5,6,9 完全平方数除以4的性质最重要，偶数除以4余0，奇数除以4余1，除以4余3一定不是

14、完全平方数；12孙子定理（中国剩余定理）见下13余数应用 求某数、某式的末一位、二位、三位是几？ （1）末一位，相当于求除10 = 2×5 末二位，相当于求除100 = 4×25 末三位，相当于求除1000 = 8×125 （2）以大化小 （3）找余数1：费马小定理： 如a÷p = (p-1)、P为质数； 则a2÷p = 1 如(1) p 是质数，且a和p互质 则：则ap-1÷p = 1 14辗转相除法-根本在于辗转相减例：求2010 2948 的最大公约数 2948-2010 = 938 2010-938 = 1072 1072-9

15、38 = 134 938-134 = 804 804-134 = 670 。 134-134 = 0 所以最大公约数是134。15. 质数（1）质数有无穷个，质数的分布有渐稀性，（2）特别注意：质数中2是唯一偶数（奇偶性）；5（唯一一个末尾是5的质数）； 3两次余数，（3）如果两个数互质，这两个数的和与其中任意一个数互质，差也是；100以内的质数：101、103、107、109，4位最小的质数：1009 1003=17X591007=19X53（4）判断质数的方法（5）制造连续合数（16求最大公因数，最小共倍数 （1）分解质因数 （2）短除法 （3）分数：分子求正面，分母求相反； （4）a&#

16、215;b = (a,b)×a,b17数论解题的常用方法枚举、归纳、反证、构造、配对、估计中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是中一个重要定理。又称中国。 公元前后的孙子算经中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余   三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。也就是求同余式组x2 （mod3），x3 （mod5 ），x2 （mod7）（式中ab （modm）表示m整除ab ）的正整数解。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”即解为x2×703×

17、212×1523323(mod105）。此定理的一般形式是设m = m1 ， ，mk 为两两互素的正整数，mm1，mk ，mmiMi，i1，2， ，k 。则同余式组xb1(modm1)，xbk(modmk)的解为xM'1M1b1M'kMkbk （modm）。式中M'iMi1 （modmi），i1，2，k 。直至18世纪 C.F.高斯才给出这一定理。孙子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。 解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都

18、除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。 附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。 即题目的答案为 70×2+21×

19、;3+15×2 =140+63+30 =233 233-2×105=23 公式：70a+21b+15c-105n （中国剩余定理CRT）设m1,m2,.,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi, mj) =1, ij, i,j = 1,2,.,k 则同余方程组： xb1 mod m1 xb2 mod m2 . xbk mod mk 模m1,m2,.,mk有唯一解，即在m1,m2,.,mk的意义下，存在唯一的x,满足： xbi mod m1,m2,.,mk, i = 1,2,.,k 中国剩余定理”算理及其应用： 为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3

20、和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则4，5=

21、20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×145×236×4=274，因为，274>60，所以，27460×4=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。

22、使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2120×4105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4385×3320

23、5;2=2499，因为，2499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5225×1126×2=1877，因为，1877>315，所以，187

24、7315×5=302，就是所求的数。 例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6225×2126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508315×7=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要

25、乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。） 关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7446。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加

26、上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46428846424213046424242172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直

27、加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”471111718183553这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下. 所以：一共有5个 187 367 547 727 90718、最值问题 考虑平均化和极端化两数和一定，差小积大； 两数积一定，差小和小三、几何图形几何出题特点及趋势： 淡化几何几大模型的直接考察 勾股定理频繁现身几何题中 方程（组）作用非比寻常欧拉公式 = 顶点 + 区域 = 边数 + 维数 11、平面图形多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)×180°等积变形（位移、

28、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4（所谓蝴蝶模型）相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2（即所谓梯形蝴蝶模型）S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；(6)共角定理(7)差不变原理知5-2=3，则圆点比方点多3。(8)隐含条件的等价代换

29、例如弦图中长短边长的关系。(9)组合图形的思考方法 化整为零 先补后去 正反结合 有时要求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去 求面积，直接求 间接求：整体部分；总× 不好求，放到一个大的图形中去求，方法:这个大的图形的面积好求，或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求，而这个更大的图形的面积好求 容斥法求解 (10) 长方形 a bd c a d b c a×c = b×d ac = bd（11）正方形： 说到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然 弦图：看到斜着放的正方形，就应该想到弦图 变成5个小正方形作一个面积为5的正方形（12）海伦公式 三角形的三

30、边长分别为：a、b、c; p为半周长 = （a +b +c）/2 则三角形的面积S = （13） 如果六边形对边相等，相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半（14） 当求一部分比另一部分的面积大多少时，除了直接求出每部分相减外，应该可以考虑差不变得方法；2、立体图形：长方体、正方体规则立体图形的表面积和体积公式 几个面，几个棱等要记清； 圆柱体的体积和表面积 圆锥体的体积和表面积 三棱柱的体积和表面积不规则立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物要先判断是否水上升超过了侵入的物体，然后再算升高了多少； 测啤酒瓶容积：V=V空气+V水三视图与展开图 最短线

31、路与展开图形状问题求堆积体表面积的常见方法三视图法，有些看不见的图要额外加上求堆积体体积的常见方法切片法染色问题（含染色再切块） 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。(6) 打洞题目3、周长（1）规则图形：（2）不规则图形：平移，注意别有漏的，必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减，4、图形计数：容易数不全，方法：会分类特别的：（6+5+4+3+2+1）×（4+3+2+1）5、图形分割和拼接（1）割：从数量和对称点入手（特别是当要求面积一样时）（2）拼：看每条边的长度，相同长度的往一起拼，当然有时候可以是一条长边等于多条短边（3）剪、拼：前后面积相等、要计算规划6、一

32、些特殊图形完美长方形、弦图(对角线把长方形分成相等的两部分记一些图形规律7、勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方， 记的数据：3、4、5； 5、12、13；1、1、根号2(1) 在平面几何中应用：直线形，曲线形（两园相切：园心相连过切点；两园相交）折叠：（1）利用对称，用尽量少得未知数表述图中的线段 （2）勾股定理解方程；(2) 立体几何中的应用：对角线AD2 = ( AC2 + BC2 ) + BD2ABCD8曲线形图形（圆、扇形的周长与面积；平移、割补、旋转） 公式总结： 圆的面积 扇形面积 圆的周长 扇形周长 9、一些特殊的图形：（1）弓形：弓形通常只求面积，半圆是特殊的弓

33、形；弓形面积扇形面积三角形面积（除了半圆）（2）“弯角” ：弯角的面积正方形扇形 （3）“谷子”：“谷子”的面积弓形面积×2（5） 圆环面积： 环= （ ）（6） (7) “谷子”+ 四、典型应用题迎春杯特点：* 不会那么明显、直接地出盈亏、鸡兔同笼、倍比关系，会有变形和复杂的关系或陷阱* 画图时，对于卖掉、去掉、运走、增加一样多等从左边画；* 高年级了，实在不好考虑，用方程做，一般求啥设啥为未知数（直接设），还可以间接设；1植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2方阵问题外层边长数-2=内层边长数 （即不论哪一层，每往里一层，每边差2，每相邻两层的总数差8）（外层边长数-1）

34、15;4=外周长数（即可以用螺旋法求每一层的总数，其他形状的队列也一样）外层边长数2-中空边长数2=实面积数，（即正方形、长方形的有时可以转换成面积）3列车过桥问题车长+桥长=速度×时间车长甲+车长乙=速度和×相遇时间车长甲+车长乙=速度差×追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间4年龄问题（1）牢记：年龄差不变；如果变了，一定有特殊的年龄情况，一定要找问题的关键，比如XX年没有某人没有出生等等；（2）年龄增加数一样；年龄倍数是变的5鸡兔同笼假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快

35、，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验假设法：全都是一种动物。 如果有多种动物，可根据动物的特点先分成两种砍足法画图法捆绑法（打包法）换算法6牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7平均数问题无论什么平均，一定记得总的数量÷总的单位，才是平均设数法8盈亏问题假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验公式法 : 分析差量关系（盈亏）÷两次分配差 （盈盈）÷两次分配差（亏亏）÷两次分配差特别注意：一定的数量平均分给固定的对象时才能直接套公式，即：（1）涉及三个量：被分配的总数、接受分配的人或物、分

36、配原则（平均）； 原则：要保证“被分配的总数”、“接受分配的人或物”不变 方法：想办法把变的量变成不变的（2）基本的盈亏问题可以用殷老师的画图的方法；9和差问题10和倍问题11差倍问题12逆推问题 还原法，从结果入手倒推法（列图表、线段图）吹气球法 逆推 ß-à归纳13代换问题 列表消元法 等价条件代换五、行程问题普通行程问题最基本的概念：路程和=速度和×相遇时间，所有的问题都来自于： （1） S变：往返问题（ST图），环形跑道（一圈的概念）ST图，即柳卡图，但遇到数字不好解的，考虑有没有其他方法（2） V变：流水行程（水速），变速问题（差量） 解题时要考虑速度比

37、，或者假设速度不变会怎样（比如S变为多少）（3） T变：走走停停（分段），平均速度（总S/总T）ü 线段图、方程、比列法都是常用工具，有时候可以转化成面积；ü 三人以上相遇或追及：杀人，转换成两两相遇ü 如果路程、时间和速度只告诉一个，或一个都没有告诉用设数法ü 中点问题（陷阱）ü 如果题目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；端点的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇（4）变道：判断相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1相遇问题路程和=速度和×相遇时间2追及问题路程差=速度差×追及时间3流水行船顺水速度

38、=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，顺水速度和逆水速度和是两倍的船速；水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，顺水速度和逆水速度差是两倍的水速；相遇：速度和= V甲+V乙船速，变速后分段考虑追及：速度差= V甲V乙船速，变速后分段考虑说明：两船相遇、追及问题可以忽略水速，问一船的问题必须考虑水速；掉东西，掉多久，追多久；只有一个量（V、S、T）比例设数；4多次相遇线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程×共行全程数5环形跑道6行程问题中正反比例关系的应用路

39、程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。7钟面上的相遇与追及问题。 钟面介绍：钟面60格，1格6o，时针速度：1小时5格÷60分 = 格/分； 分针速度：1小时1格÷1分 = 1格/分； 分清是追及还是相遇；一般画个草图，选择整数点作为出发点； 追及问题：（1） 时针、分针一次重合，与下一次重合间隔65； 0：00到12：00，时针、分针重合了11次（算头不算尾）： 12×60÷65= 11段 （2） 解题思路：数格子数（路程差）-找速度差-求时间 数格子的方向：由快到慢 应记得数：直线-直线 重合-重合65=

40、相遇：找格数和（即路程和）、速度和； 坏钟问题：坏钟好钟 65格 60格 ？格 5×60格注意唯一反比：时间和速度8结合分数、工程、和差问题的一些类型。9行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。10发车间隔问题间隔 = ？1（甲和车） = ？2（乙和车） = ？3（车自己）V车X t解方程组就可以了11接送问题（1）柳卡图（2）画清楚图12火车过桥：S变（看车尾或车头），火车过桥的路程等于车长加桥长火车过人和火车过桥问题的区别13扶梯问题 可以把它理解为牛吃草问题， 速度时间总量 （1） （2） 算出没分钟电梯上行或下行的速度，进而求总量，即走了多少级；14猎狗追兔 方

41、法1：题目中的两句话告诉了猎狗和兔子的速度比； 方法2：假设猎狗 a“米”/步, 兔b“米”/步 c步/“秒” d步/“秒” 相遇或追及距离：将步转换成米，就可以求出相遇或追击时间，然后求出要求的步数；六、计数问题ü 需要综合考虑，经常功亏一篑。迎春杯必考一道，近年来和图形结合着考的比较多ü 先看是不是直接排列组合、再看是否分步、再看是否分类、再考虑对立事件、再考虑采用对应法；ü 看到题目要求求有多少种、多少个等题，就是加乘原理或者说是排列组合这种题型，先分类，如何分类：从条件比较特殊的入手，分类不能重复，一般是找有多种选择的条件来分类；ü 如何分步：按

42、照完成题目要求的事情的顺序，一步一步地；ü 要注意是分类的，还是分步的；分类之后一定是分步，单纯的分步可以理解是只有一类情况；ü 可以和数论和最值问题结合；ü 有时候一种方向试试不好做，可以反过来想一想；1枚举法：分类、有序枚举，做到不重不漏；往往数量不大，范围比较明确、一定当说的比较宽泛，没有办法的时候，找规律几何计数，特别数数三角形，常常用枚举；2标数法：最短路线，就是加法原理、染色、派工作3加法原理：分类4乘法原理：分步5排列组合：其实就是加乘原理，实际上是种工具，排列考虑顺序，组合不考虑顺序插板法例（1）方程x+y+z=10 有多少组正整数解？（2）方程x

43、+y+z=10 有多少组非负整数解？（3）方程x+y+z=10 有多少组x, y , z都不小于2的整数解？插空法例：打包法排除法除法定序6容斥原理：方法/工具：（1）文氏图；（2）列表法：适用于题目中没有提到交叉；（3）方程法 总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：总数量=A+B-AB A交B，AB A并B，AB 容斥里的最值：文字理解（何种情况下最）、险段图（检查）7对应法：数数下图有几个三角形，三角形对应到线例如：8抽屉原理：至多至少问题构造抽屉（怎么构造，抓住问题）9握手问题在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形， 长方形、梯形、平行四边形 正方形1011染地图，关心

44、的是图块之间的关系，其实不用关心图块的形状，可以在不改变相邻关系的情况下进行转换，把不熟悉的图形（不规则的图形）转换成熟悉的规则的图形12、概率 概率 = 七、分数问题1纯循环小数、混循坏小数，互换含2、5不含其它，是有限小数；含2、5含其它，无限混循环小数，不含2、5，含其它，无限纯循环小数；循环小数与分数的转换：A纯循环，例：0.5 = 混循环，例：0.124 = 为什么可以这么化？设A = 0.51000A= 958.5 = 985+A999A= 958A = 2量率对应3以不变量为“1”4利润问题5浓度问题基本概念：溶质、溶液、溶剂基本概念：溶液溶质溶剂 浓度（溶质÷溶液）&

45、#215;100% 有些题表面不是浓度问题， 但用浓度问题的方法来解，会非常简单。辨认不出来也没关系，用方程的方法解题方法：（1） 根据定义列方程（2）倒三角原理、也叫十字交叉法：两种溶液混合前后的浓度关系例：（3）通比：解决因单方面变化而引起变化的问题，抓住不变6工程问题要深刻明白单位1的概念：把整个工程看成单位1（多个工程时通常最小的当成单位1） ；工作效率：衡量工作快慢的量（工作总量÷ 工作时间） 工作效率的和：多人合作（工作效率相加） 特别注意： 工作量和工作效率都可直接相加，但工作时间不能 方程（组）可大大缩短分析时间 合作问题 水池进出水问题7按比例分配，8分百问题分数的

46、性质：分子分母同时扩大或缩小相同的非0倍数，值不变 方程法：直接假设间接假设（近年常考） 份数法：设总份数为各分母的最小公倍数 分百问题常考份数法单位1法方程法9在比的问题中：是，比，占后面的是一个意思 如何判断份数和数值，比较：甲比乙多, 代表份数；甲 - 乙 = 乙 甲比乙多m, 代表份数；甲 - 乙 = 八、方程解题1等量关系 相关联量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧: 恒等变形2二元一次方程组的求解：就是消元的过程（1）代入消元法、加减消元法、乘除消元法（2）当方程数小数未知数 转化为解不等式； 转化为解不定方程； 看看是方程

47、组列错了，还是根本就不用解，把某个或几个或几个和(差、积、商)当作已知数，把要求得未知数表示出来； 3不定方程的分析求解以系数大者为试值角度、设未知数最好让它一定是自然数；（1）整除（余数）：加减：一般来说模小的，同余 乘除：分解质因数（2）范围：（3）遇到数字和要想弃九法4不等方程的分析求解5未知数（1）直接设未知数（问什么设什么）、间接设未知数（问什么并不设这个为未知数，而是设中间条件）；（2）有时候不需要把所有未知数都解出来；（3）有时候可以把某些未知数当已知数，去表示其他未知数九、找规律（操作与策略 ）两个基本方法：1是抓实质，操作：通过操作找规律，可以算作找规律题；操作一定要仔细遇到

48、看上去无法下手的，可以先用简单的数或情况、少量的数或情况，试试找找规律；如果题目中没有限制条件，就可以先拿符合的特殊的数字或情况找规律：可以按结果找，也可以按过程中找，但通常会考过程中的规律，迎春杯也是这个特点特别多数排列找规律：看行、列、中间数，周期性、等差数列、数的个数等等周期性问题，也叫循坏问题 余数的应用ü 首先找题目中有无周期ü 有周期，做无周期，仔细操作找周期（如植树问题其实有周期）ü 周期的循环不是固定的ü 一般日期问题都是周期问题，年月日、星期几问题ü 周期：（总数-捣乱分子）÷组的个数下一组前几个；ü 眼睛

49、要尖，要建立对应关系ü 找规律的方法之一：列表，怎么知道要列表？ 如果一道题里有好几个规律数列问题 等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d求项数： n=求和： S=ü 求和公式、求项目的公式，即不住用植树问题套，其实植树问题就是等差数列问题ü 当等差数列有奇数项时，和为中间数×项数；也就是首数和尾数的平均数是中间数ü （3）1+3+5+9+11= 项数2ü 常常需要找数和项数的对应关系ü 逆着算的问题ü 余数相同的各个数实际上是等差数列 等比数列：相邻两项倍数关系恒定不变。an=a1×qn-1, an=am×qn-m(mn)中间项2=两边的乘积求和： S=借来还去：使2用于公比是2或1/2；一定主要借最小的，别忘了还； 裴波那契数列： 兔子序列：1 1 2 3 5 8 13 复合数列：一会变大，一会变小 二级等差数列： 平方数列：1、4、9、（3）最值问题 最短线路a.一个字符阵组的分线读法b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题a.统筹方法b.烙饼问题十、算式谜找突破口，什么是突破口？就是那些一看到，就马上知道填什么的地方，一般找的方法：末尾法（末位分析），首位法（高位分析），进位，借位，位数，估算，结合数论知识点，尝试（考虑极端情况，如果不能，选择次优，一定要仔