全等三角形知识点讲解--北师大

1、精选优质文档-倾情为你奉上二、知识要点梳理知识点一：全等形能够完全重合的两个图形叫全等形。知识点二：全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形知识点三：对应顶点，对应边，对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。知识点四：全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等知识点五：三角形全等的判定定理（一）三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”知识点六：三角形全等的判定定理（二）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”知识点七：三角形全等的判定定理（三）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，

2、简写成“角边角”或“ASA”知识点八：三角形全等的判定定理（四）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”知识点九：直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”三、规律方法指导1.探索三角形全等的条件：（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：边角边（SAS）；角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS).(2)直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有一种重要的判别方法，也就是斜边、直角边（HL）判别方法.2判别两个三角形全等指导（1）已知两边（2）已知一

3、边一角（3）已知两角3经验与提示：寻找全等三角形对应边、对应角的规律： 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角 有公共边的，公共边一定是对应边 有公共角的，公共角一定是对应角 有对顶角的，对顶角是对应角全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)找全等三角形的方法可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构

4、造全等三角形。证明线段相等的方法： 中点定义；等式的性质；全等三角形的对应边相等；借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。证明角相等的方法：对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角、内错角相等；等式的性质；垂直的定义；全等三角形的对应角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。证垂直的常用方法 证明两直线的夹角等于90°；证明邻补角相等；若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；邻补角的

5、平分线互相垂直。全等三角形中几个重要结论全等三角形对应角的平分线相等；全等三角形对应边上的中线相等；全等三角形对应边上的高相等。4.知识的应用（1）全等三角形的性质的应用：根据三角形全等找对应边，对应角，进而计算线段的长度或角的度数.（2）全等三角形判别方法的应用：根据判别方法说明两个三角形全等，进一步根据性质说明线段相等或角相等.（3）用全等三角形测量距离的步骤：先明确要解决什么实际问题；选用全等三角形的判别方法构造全等三角形；说明理由.5注意点（1）书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.（2）三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少

6、有一条边.（3）寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系.（4）运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由.（5）注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.数学思想方法（1）转化思想：如将实际问题转化数学问题解决等.（2）方程思想：如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题.（3）类比思想：如说明两个三角形全等时，根据已知条件选择三角形全等 经典例题透析类型一：全

7、等三角形性质的应用1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.2、如图，已知ABCDEF，A=30°，B=50°，BF=2，求DFE的度数与EC的长。类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE类型三：综合应用4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC>2AD.5、如图，ABCD，BEDF，BD，求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF7、ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明

8、你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四边形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG方法二（补短法）作CMED交ED的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是

9、底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 随堂练习 基础题随堂练习 基础题1下列命题正确的是( )A全等三角形是指形状相同的两个三角形 B全等三角形是指面积相同的两个三角形C两个周长相等的三角形是全等三角形 D全等三角形的周长、面积分别相等2. 如图1，ABDCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：( )A、ABD和CDB的面积相等 B、ABD和CDB的周长相等C、A+ABD =C+CBD D、AD/BC，且AD = BC3（2009年江苏省）如图2，给出下列四组条件：； 其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组

10、C3组D4组 图24.如图2，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5.（2009年海南省中考卷第5题）已知图5中的两个三角形全等，则度数是（ ）图5A.72° B.60° C.58° D.50°6. （2009年广西钦州）如图6，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ）A2对B3对C4对D5对图67（2009年清远）如图7，若，且，则= ABCC1A1B

11、1图7CAB图88、（2009陕西省太原市）如图8，=30°，则的度数为（ ）A20° B30°C35° D40°ACEBD图99、（09湖南怀化）如图9，已知，要使 ，可补充的条件是 （写出一个即可）10、（2009年遂宁）已知ABC中，AB=BCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.11、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。 求证：C=A.12、(2009武汉)如图，已知点在线段上，BE=CF，ABDE，ACB=F求证：CEBFDAADCBE13、（2009

12、年漳州）如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、求证：14、（2009年黄石市）如图，在上，求证：ABCFED15、（09湖北宜昌）已知：如图2，在RtABC和RtBAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E(1) 求证：AE=BE；(2) 若AEC=45°，AC=1，求CE的长 提升题1. 如图，长方形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点，若沿 着AM折叠，点N恰落在BC上，则ANB+MNC=_；2（2009年邵阳市）如图，将RtABC(其中B34，C90）绕A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.5

13、6 B.68 C.124 D.18034B1CBAC13. (2009年陕西省)如图，在ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F求证：FAAB4. （09湖南怀化）如图9，P是BAC内的一点，垂足分别为点求证：（1）；（2）点P在BAC的角平分线上 5.（2009年茂名市）如图，方格中有一个请你在方格内，画出满足条件的并判断与是否一定全等？BAC6.(2009年云南省)如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M（1）求证：ABCDCB ；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论B CA DMN7. 如图，在AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上8.（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ9. （2009年甘肃白银）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90&