双星三星四星问题

1、、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、 周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。2模型条件：(1)两颗星彼此相距较近。(2) 两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。(3) 两颗星绕同一圆心做圆周运动。3模型特点：(1)“向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。(2) “周期、角速度相同”一一两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3) 三个反比关系：mir1=ma；mvi=mv?；mai=ma?推导：根据两球的向心力大小相等可得，rm 3 =mw2r?,即mr1=m?r?

2、;等式rmr1=m?r?两边同乘以角速度3,得mr13=mir?3,即mv1=mv?;由m3m=m23r2直接可得，ma=ma?。(4) 巧妙求质量和：Gmm=mw2r1卑=口32由+得：G m；m=3L二m+m?=LLLG4.解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1) “两等”：它们的角速度相等。 双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。由m132r1=2r2知由于m与m般不相等，故r1与r?一般也不相等

3、。、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.(2)三星模型：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).(3)四星模型：其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O外围三颗星绕0做匀速圆周运动(如图丁所示)三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律:双星模型、三星模型、四

4、星模型内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2n的整数倍。2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为n的奇数倍。3、对于天体追及问题的处理思路：(1) 根据GGMmmrw2,可判断出谁的角速度大；(2) 根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2n的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于n的奇数倍。在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动

5、的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等,【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为 G)【解析】：设两颗恒星的质量分别为m、册，做圆周运动的半径分别为 ri、2，角速度分别为3i、32。根据

6、题意有r1r2r根据万有引力定律和牛顿定律，有Gm1m2mXArm1w2!r1联立以上各式解得r1m2rmim2内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2n的整数倍。根据解速度与周期的关系知21联立式解得【例题 2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、上的 0 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图 4-2 所示.引力常量为 G,由观测能够得到可见星A 的速率 v 和运行周期 T.(1) 可见星 A 所

7、受暗星 B 的引力 Fa可等效为位于 0 点处质量为 m 的星体(视为质点)对它的引力，设 A 和 B 的质量 分别为 m、m,试求 m (用 m、m 表示).(2) 求暗星 B 的质量 册与可见星 A 的速率 V、运行周期 T 和质量 m 之间的关系式；(3) 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m 的 2 倍，它将有可能成为黑洞若可见星 A 的速率 v=x105m/s ,运行周期 T=nX104s，质量 m=6m，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗112230(G=X10-N-m/kg,m=x10 kg)疋律，有FAm1r1,FBm2a ,FAFB设 A、B 间距离为，则rr1r2m

8、-im2- 一1m2由万有引力定律，有FAGr，代入”得FA3gm?(m1m2)2r12令FAG B2，通过比较得mA3m2(g m2)2(2)由牛顿第二定律，有gm?Grr2V叶一1而可见星 A 的轨道半径r1vT2将代入上式解得3m2(m1m2)2v3T2 G3r2G24T1解析：设 A、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为 肯。由牛顿运动由以上各式解得r方案之一是观测双星系统，它由B 围绕两者连线(3)将m_!6ms代入上式得m(6ms272m2)v3!FG3m2代入数据得丽 F3如设m2nms(n 0)，将其代入上式得m2 3(6msm?(6nn

9、ms3.5ms1)2m? 3(6 msm?n(-nms3.5ms1)2可见，(6ms3m22m2)的值随町的增大而增大，试令nms1)20.125ms3.4ms可见, 若使以上等式成立，则 打必大于 2，即暗星 B 的质量ms必大于2 ms，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。【例题 3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L,质量分别为M、M,试计算(1)双星的轨道半径(2)双星运动的周期。15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即:M1M2GP2 2M1L1M2L2.LiL2L由以上

10、两式可得:M2LM1M2L2M2LM1M2又由G晋L2M1j得:T 2L. G(M,M2)【例题 4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 和 S2构成，两星在相互之间的2GM答案：D解析双星的运动周期是一样的，选 S 为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律得Gmim24 n4 n r2ri, 亠-2-口订勺 丁，则 m= 厂.故正确选项 D 正确.r2T2GT2心之间距离为 L。已知A B的中心和 0 三点始终共线，A 和 B 分别在 0 的求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响， 可以将月球和地球看成者平方之比。(结果保留 3 位小数

11、)【解析】 A和 B 绕 0 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则将地月看成双星，由得Ti2G(M m)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动由天文观察测得其运动周期为T,Si到 C 点的距离为ri,Si和 S2的距离为r, 已知引力常量为G.由此可求出 S2的质量为A4冗2r2(rri)4n2ri3GT2B.GT2L3I答案】T 2、财而始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有m2r M2R,r R L,连立解得对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得R L,r m MGMm 2、2 -m(

12、=)L2L m MM_LT M mL3化简得T 2IG(M m)【例题 5】如右图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕0 点做匀速周运动, 星球A 和 B 两者中两侧。引力常数上述星球 A 和B,月球绕其轨道中心运行为的周期记为Ti。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期瓦已知地球和月球的质量分别为X242210 kg 和x10 kg。求 T2与 Ti两A 和 B 的向心力相等。且 A 和 B 和 0L3GMm 2、2L十m()L【例题 4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 和 S2构成，两星在相互

13、之间的2GM化简得v2422所以两种周期的平方比值为（存m_M遊爲735 101Q1解析（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有2F1+F2=mv/R【例题 6】【2012?江西联考】如右图，三个质点a、b、c 质量分别为m、m、M （Mm， Mm）。在 c 的万有引力作用下，a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周从图示位置开始，在 b 运动一周的过程中，则（）A. a、b 距离最近的次数为k 次B. a、b 距离最近的次数为k+1 次C. a、b、c 共线的次数为2kD. a、b、c 共线的次数为2k-2【答案】 D期之比

14、 Ta: Tb=1 : k;【解析】在 b 转动一周过程中，a、b 距离最远的次数为 k-1 次，a、b 距离最近的次数为 k-1 次，故 a、b、c 共线 的次数为 2k-2，选项 D 正确。【例题 7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为m.（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期（2）假设两种形式下

15、星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少答案5GmR2R(2)(y)3RF1=Gm2R2F2Gm2(2R)2v周期为 T,则有 T=运动星体的线速度5GmR2R2图 4T=4n, 5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为cos 30由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供F合=2Gmcos30 r24nF合=m RT2112一 所以 r=(工)*5【例题 8】(2012?湖北百校联考)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上， 均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等