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文档简介
1、数列的分类(1) 按项数分:可以分为有穷数列和无穷数列,即如果项数是有限的那么就是有穷数列,如果项数是无限的那么就是无穷数列:2按增减分:可以分为递增数列和递减数列,即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列,如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列;3按项的特点分:可以分为摇摆数列和常数列,即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列,如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义:项数有限的数列叫做有穷数列;无穷数列的定义:项数无限的数列叫做无穷数列;递增数列的定义:一般地,一个数列an,如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增
2、数列。递减数列的定义:如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列:递增数列和递减数列通称为单调数列. 数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;2.单调数列的判定方法:数列an的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1)n求摆动数列的通项:在数列
3、中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,或-1,1,-1,1,等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。例题1.有穷数列1,23,26,29,23n+6的项数是 A3n+7 B3n+6Cn+3Dn+2答案:C例题2.an是递增的数列,且对于任意nN*,都有an=n2+n成立,求实数的取值范围解:an是递增的数列,anan+1对任意的nN*恒成立,即n2+n(n+1)2+(n+1),解得-2n-1,-2n-1-3, -3例题3
4、.共有10项的数列an的通项an=,那么该数列中最大项、最小项的情况是 A.最大项为a1,最小项为a10 B.最大项为a10,最小项为a1 C.最大项为a6,最小项为a5 D.最大项为a4,最小项为a3答案:D例题4*.在单调递增数列an中,a1=2,不等式(n+1)anna2n对任意nN*都成立,求a2的取值范围;判断数列an能否为等比数列?说明理由;设,求证:对任意的nN*,解:因为an是单调递增数列,所以,令n=1,所以。证明:数列an不能为等比数列。用反证法证明:假设数列an是公比为q的等比数列,因为an单调递增,
5、所以q1,因为nN*,(n+1)anna2n都成立,所以nN*, 因为q1,所以,使得当时,因为nN*,所以,当时,与矛盾,故假设不成立。证明:观察:,猜想:;用数学归纳法证明:1当n=1时,成立;2假设当n=k时,成立;当n=k+1时,所以,根据12可知,对任意nN*,都有,即,由得,所以,所以当n2时,因为,所以对任意nN*,对任意nN*,存在mN*,使得,因为数列an单调递增,所以,因为,所以。例题5.以下数列:(1)2 000,2 004,2 008,2 012;(2)0,;(3)1,;(4)1,;(5)1,0, -1,sin,;(6)3,3,3,3,3,3其中,有穷数列是
6、 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 ,周期数列是 。将合理的序号填在横线上答案:(1)(6);(2)(3)(4)(5);(1)(2);(3);(6);(4)(5);(5)例题6.以下表达中正确的个数为 数列an,an=2是常数列; 数列是摆动数列;数列是递增数列;假设数列an是递增数列,那
7、么数列an·an+1也是递增数列;A1B2C3D4答案:C例题7.Sk表示数列ak的前k项和,且Sk+Sk+1=ak+1(kN*,那么此数列是 A递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列例题8.设Sn为数列an的前n项和n=1,2,3,。按如下方式定义数列 an:a1=mmN*,对任意kN*,k1,设ak为满足0akk-1的整数,且k整除Sk,当m=9时,试给出an的前6项;证明:kN*,有;证明:对任意的m,数列an 必从某项起成为常数列。解:m=9时,数列为9,1,2,0,3,3,3,3,即前六项为9,1,2,0,3,3。;
8、;有,由可得,为定值且单调不增,数列必将从某项起变为常数,不妨设从l项起为常数,那么,于是,所以,所以an当nl+1时成为常数列。例题9*.数列an满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,。假设数列an为常数列,求a1的值;假设a1=,求证:; 在的条件下,求证:数列a2n单调递减。解:因为数列为常数列,所以,由n的任意性知,或。证明:用数学归纳法证明,当n=1时,符合上式;假设当n=kk1时, 因为, 所以,即,从而,即,因为,所以,当n=k+1时,成立,由,知,。 证明:因为n2,所以只要证明,由知,所以只要证明,即证明,令,所以函数f(x)在R上单调递增;因为,所以,即成立,故,所以数列单调递减。例题10*.Anan,bnnN*是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列an的前n项和,且满足:,n=2,3,4, 证明数列是常数数列;确定a的取值集合M,使aM时,数列an是单调递增数列;证明当aM时,弦AnAn+1nN*的斜率随n单调递增。解:当n2时,由得,因为, 于是, 由-得, 于是, 由-得, 所以(n2)是常数列。由有,由有,而说明:
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