一轮复习之导数2018

1、第一讲、变化率与导数、导数的计算考点一：导数的运算【例11求下列函数的导数;(1) =cos-.Xsincosk(2) y=exlnx.变式1求下列函数的导数;(1)r=：1+：(2)X+C0SXy=,>x+sinA：(3)r=l.n.一二一厂.变式21已知f(x)=1x2+2xf(2016)+20】61n工则/(2016)=考点二：导数的几何意义命题角度一、求切线方程【例2】已知函数/（工）=/-+5k4.（1）求曲线”外在点（2/（2）处的切线方程:（2）求经过点力（2,-2）的曲线/1）的切线方程。变式I设仃为实数,函数/U）=/+s/+（O一3）的号函数为且/'（工）是偶

2、函数，则曲线y=/（工）在点（2J（2）处的切线方程为一命题角度二求切点坐标【例3】（1）设曲线¥=/在点（0,1）处的切线与曲线y=工0。）上点P处的切线垂直，则P的坐标是(2)若点P是曲线y=NInx上任意-点，则点P到克线,=工一2的最小距离为命题角度三求参数的值【例4】(1)已知函数/=ox$+k+1的图像在点(1/(1)出的切线过点(2,7),则"=(2)已知曲线y=n+In#花点(I,1)处的切线叮|山线y="'+(。+2)工+I相切，则有=第二讲、导数与函数的单调性考点一：利用导数判断(证明)函数的单调性【例1】已知函数/(4)=(1-1)I

3、nx+ax2+1,讨论函数的单调性；4变式1已知函数/(")=姑*+/(uR)在，=-q处取得极值口(D确定。的值：(2)若g(x)=/(,)夕,讨论以外的单调性。考点二、利用导数求函数的单调区问工a1【例2】已知函数/(工)=1+也工一宗其中口且曲线p=在点(1,/)处的切线垂直于直线,1=(1)求。的值：(2)求函数/(公的单调区间口考点三、利用导数解决函数单调性的应用问题命题角度一、已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】已知函数/(工)=xIaxr(1)若/。)在区间(1,+oc)上为增函数，求a的取值范1%(2)若/(外在区间(-1,1)上为减函数，求口的取值范围】(2)若

4、八外的单调避减区间为(T,1),求的值.变式1已知函数,=/（幻，旦其导函数p=/'G）的图像如图所示，则该函数的图像是（）命题角度二、比较大小或解不等式【例4】（1）若0乐91,则（）A.l一，一.'!"'-IC./：.、:.:（2）已知函数/&）勒满足/=1,且/3的导数/（，）1则不等式V"1/（一）+:的解集为一变式1已知“K）是定义在（0,+上的函数，/&）是八工）的导函数，且总有/（工）"（幻，则不等式.：.：I'i；A.'，：一一"一一第三讲、导数与函数的极值与最值考点一：运用导数研究

5、函数的极值【例1】设口。*函数工）=yx2一（=+l）x-Faln.v.（1）当b=2时，求曲线y=/Q）在点（3J（3）处切线的斜率；（2）求函数f（力的极值.丞不若函数2白/+工有极值点，则实数匕的取值范围为（）A.C.除+30D.-8,+30变式2已知工=2是函数=工33今+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）考点二：运用导数研究函数的最值例2已知函数/（x）=（工一充）（?工（D求/（幻的单调区间F（2）求/（#）在区间0,1上的最小值.变式1|函数/（耳）=lnx在区间（0,可上的最大值为（）变式2已知函数/（上）=Inx+白。一口，（1）讨论“外的单聃性；（2）当，（幻TT

6、最大值，且最大值大于21一2时，求值的取佰范围。考点三：函数的极值与最值的综合问题【例3】已知函数/（x）=M+ox2+bx+c,曲线y=/（幻在点工=1处的切线为上3xy+1=0,2当上二；-J'=：（1）求。也C的值:（2）求y=/O）在-3,1上的最大值和最小值。变式1已知函数/（耳）=+bx+c在点x=2处取得极俏c-16,（1）求值/的值：（2）若/（幻有极大值28,求人工）在-3,3上的最小值.函数与与数核心解答题核心考点一含参函数的单调性（区间）、极值与最值解法突破：第一步：（定义域）求函数的定义域；第二步：（导函数）求导函数；第三步：（导函数零点）以导函数的零点存在性进

7、行讨论；第四步：（零点大小）当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及与区间端点的位置关系；第五步：（研究主“导”函数）画出主“导”函数的草图，判断符号。第六步：（写出单调区间）根据第五步的草图，确定单调区间；第七步：（综上所述）综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间。方向一、导数的灵魂一一含参函数的单调性【例6.1】设函数/（x）=五一5加r,求函数/（#）的单调区间。变式1.设函数f（x）=Wn+胃=0）,讨论函数/（耳）的单调性。【例6.2】设函数/（X）=/以一心+一的单调区间。变式1.已知函数/（工）=/曲+辽1+工3匚亢），求函数/（工）的单调区间0【例6.3】设函数/（K

8、）=E，8SX工,判断函数/«）在区间。，9上的单调性，并求最大值和最小值。变式1.已知函数“X）+近，曲线=/（、）在点2J2）处的切线方程为y=9-）上+4。（1） 求a,b的值；（2） 求f（x）的单调区间。方向二、求含参函数的极值与最值类型一含参函数的极值问题解法突破：含参函数的极值问题，核心还是含参函数的单调性。【例6.4】已知/（幻=/一】一2。3Q#。），求函数/（上）的极位。变式1.已知函数/G）=（口工工+原+（?）公（4>0）的导函数,=/'的两个零点为T和o,（1）求“外的单谢区间；（2）若/的极小值为一I,求/的极大值。变式2.已知函数wgigw

9、/RFR。（1） 当口=2时，求曲线F=f"）在点（3J1）处的切线方程；（2） 设函数g（x）=/（x）+（#H）端口工，讨论只（工）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。类型二函数确定、区间含参的最值问题解法突破：求最值的原理是不变的，这里要注意的是需按区间与函数定义域的关系分类讨论。【例6.5】已知函数/（上）=J的定义域为（1,+幻。工一1（1）求函数/（工）的单调区间:（2）求函数人工）在也川+1上的最小值年变式1.已知函数=若函数/（、）+式外在区间£2上的最大值为28,求k的取值范围。类型三函数含参、区间确定的最值问题解法突破：超越函数（指数函数、对数函数

10、、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的，函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值。【例6.6已知函数=亡一油1x（。三£）.（1） 若s=求证:在（I,+上是增函数；（2） 求在上的最小值。变式1.已知函数/（,）=g-二+1g。）,月（工）=戈'十方工.（1） 若曲线*=/（外与曲线¥=晨外在它们的交点（l,c）处具有公共切线，求a,b的值；（2） 当标=砧时,求函数/（x）+式幻的单调区间，并求该函数在区间（-咆-1上的最大值。类型四函数含参、区间含参的最值问题【例6.7】已知函数R函数"幻=It'一3（u

11、+1）/460r（1）若b=I,求曲线y=八工）在点（2处的切线方程；（2）若闷1,求/0）在闭区间%2|闻上的最小值。类型五已知最值、求参数的值域或范围问题解法突破：已知函数最值，求其中参变量，扔按求最值的思路与步骤进行，列出有关参数的方程或不等式求其参数值或范围。【例6.8】已知函数函数/（%）=.T-g+匕艮JC（1）当>时，求/U）的单调区间:（2）若/aWEUM上的最小值为2,求白的值口变式1.已知函数,3=欣+仪1一玻.（1）讨论/（工）的单调性；（2）当/（工）有最大值，且最大值大于“2时求的取值范围。核心考点二函数的零点问题思路提升：研究函数,（工）的零点问题常常与研究相

12、应方程/a）=。的实根问题相互转化。1、已知含参函数/G）存在零点（即至少有一个零点），求参数范围问题，一般可化为代数问题求解，即对f（x）=0进行参变分离，得到d=H5）的形式，则所求a的范围就是g（x）的值域。2、当研究函数/（幻的零点个数问题，即方程/（幻=口的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到门=式工）的形式，然后借助数形几何（几何法）思想求解。方向一、方程解（函数零点）的个数问题类型一函数零点的个数问题的处理理论解法突破：函数零点的个数问题考查的核心是函数零点的存在唯一性定理：函数/（4）在区间上具有单调性，且满足，*<0,则函数在区间（4人）上具有唯一的零点。【例6.9

13、】设函数“X）=4/fix+ax2-6K+6为常数），且主=2为fg的个极值点口（1）求。的值.（2）求函数/的单调区风（3） 若函数y=/1）有3个不同的零点，求实数b的取值范围。变式1.已知0,b为常数，旦仃金0T函数/（工）=-业+后+oxlnxj（e）=2.（1）求实数b的值。（2）求函数/（、）的单调区间口当。=1时，是否同时存在实数m和川（rn<M）,使得对每个f白见切,直线y=f与曲线F=/（上）卜E都有公共点，若存在，求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在，请说明理由。变式2.已知函数/（工）=-克士+网出（工）=6欣+加，是否存在实数m,使得y=的图像与,=g（x）的

14、图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。类型二验证零点存在性的赋值理论【例6.10】设函数f（x）=M_1口I也T,（1） 当以=1时，求曲线J,=人工）在点（1,/（）处的切线方程；（2） 求/（K）的单调M间：（3）若函数/（外没有零点，求目的取值范围电变式1.讨论函豺=4小的导函数的零点个数。变式2.已知函数/G）=口。214aX。（1） 讨论了/的单调性：（2） 若/（工）有两个零点，求实数a的取值范围。类型三可转化成研究函数零点个数的问题1、含参函数在区间上不单调，求参数范围【例6.11】设函数/（幻=/+（）x7+（A+5）x1,其中kJR,若函

15、数/（外在区间（0,3）上不单调，求k的取值范围。变式1.已知函数/（x）=sMx2诋+3（n手0）.（1） 设口=-1，求函数ytx）的极值：（2） 在（1）的条件下，若函数g（x）=+图（其中/'（X）为/（#）的导数）在区间（1,3）上不是单调函数，求实数m的取值范围。3、函数的极值点个数【例6.12设常数d>0,函数/（幻=-插朴工一1JC（1）当=1时，求/（K）的最小值：求证：/有唯的极低必变式1.已知函数/=3+3工向一15三用在区间（g，（e是自然对数的底数）上有且只有一个极值点,求实数仃的取值范围。方向二、函数中的隐零点问题解法突破：解决函数零点问题时，常分显零

16、点（可以求出具体的零点）、隐零点（零点不可求，可通过图像了解零点个数，可通过方程了解零点范围及对零点进行应用）。【例6.13】已知函数/（x）=等+s+b的图像在点A（1,f（1）处的切线与直线二2x制一3=0平行，求证:函数.='变式1.当文>0时，不等式（工一衣）（十一1）+工十I>0恒成立，求整数k的最大值。方向三、函数零点问题中有关双零点关系的研究类型一两零点是二次函数零点解法突破：当研究的两零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是明确的，可根据根与系数的关系得到两根满足的要求，消元后进一步求解。【例6.14】已知函数fW内有两个极值点为用（X1<，且

17、不等式/（X1）三阻之恒成立，求实数m的取值范围。变式1.已知函数“，）=皿一FMr,若函数/（.t）存在极值，且所有极值之和小于5+。2,求实数值的取值范围。变式2.已知函数/（，）=k+=I处的切线19立线工+=0垂直,函数犀（上）=/（#）+Jk'以一求实数口的值；（2）设几必（的<4）是函数£a）的两个极值点，若七三最求孤占）一虱心）的最小值口类型二两零点关系不明确解法突破：当两零点关系不明确时，要利用降元思想，将双元不等式转为单元不等式，即通过人为或者利用函数的性质构建关系解决，具体途径有二：设函数零点用“式司M工士），一般选取f二上为主元，将国+工?,也一看

18、,修必,工+上建立关X|#1必于t的函数，用函数思想建立数量关系，借助导数这一工具证明不等式；利用转化思想，将函数不等式转为函数单调性求解，即将含即与与的形式归到同一个单调区间上，由/（为）=/（4）建立桥梁，转化为单元不等式证明。【例6.15】已知函数/（幻=牛，如果与丰砧旦/1/）=/（xj,求证：事.变式1已知函数/（力二注="（工W如果工丈必，卬（琦=/（右）.求证:XiXi>2变式2已知函数/（x）=/忆上一分的两个零点为口，与，试判断.广（岩的正负，并说明理由。变式3已知函数£（工）=（工-2）。工+仃（大一二。）有两个零点局,心，求证：*|+g<2

19、.核心考点三不等式包成立与存在性问题方向一、函数中的恒成立问题解法突破：我们所研究的函数中的恒成立问题即在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题。核心思想是转化，即将恒成立问题转化为最值问题求解。转化途径有：1.分离自变量与参变量；2.不分离自变量与参变量。对于是否分离自变量与参变量的标准在于区间端点值代入验证，看不等式是否取等号。若区间端点值代入，不等式取等号，则不分离自变量与参变量；若区间端点值代入，不等式不能取等号，则可以分离自变量与参变量。分离自变量与参变量的作用在于有效地避免对参数的讨论。若不分离自变量与参变量，接下来可有以下三种方法来求解。解法一：整体分析法，即构造函数分析单调

20、性，求最值。解法二：从充分条件入手，找到目标成立的一个充分条件，得到参数范围A,再验证C14对于不等式不恒成立，从而得到参数范围。如对含参数口的函数/*）押1孑0,八。）W。恒成立，求a的取值范围，可以大胆假设目标成立的充分条件是单调递增，即，'（*）5口（工20）,得出参数a的范围，再证明其范围的补集不能使/&）左0恒成立，即找到一个反例即可，这样综合求得参数范围。解法三：从必要条件入手，即找到目标成立的必要条件，其目的是缩小参数范围，有效地避免复杂的讨论，得出范围A,再证明充分性（即在此范围内，目标成立），综合求得参数范围。如对于含参数a的函数10/(jORjv'O

21、JCO)=o,fl/lx)、。恒成立，求a的范围，则可先得出a所要满足的必要条件，即/(0)之0,得出参数a的取值范围，再证明在此范围内，不等式恒成立。类型一恒成立问题处理理论【例6.16(1)若总工一x420对任意xj尺恒成立，求a的范围；(2)若产一x三0对任意x三口，+R)恒成立，求a的范围；变式1.若产一公一IN。对任意，0,+2)恒成立，求a的取值范围。变式2.若1)mJA0对任意kE0,+足)恒成立，求a的范围。变式3.设函数/(x)=(1-x2)e(1) 讨论/")的单调性；(2) 当X二0时，/(x)W以4】，求a的取值范围。类型二可转化为不等式恒成立类型的问题解法突

22、破：很多的问题可以通过数学语言进行转化，将问题转化为恒成立问题解决。【例6.17已知函数/(幻=fnr+若函数在其定义域上为增函数，求a的取值范围。变式1.已知函数f*)=/nx+汉式门为实数)口JC(1)当&=0时,求/(幻的最小值；(2)若"工)在2,+Q)上是单调函数，求a的取值范围。0J变式2.已知函数/(x)=alnx+三bMuWR)。(1)讨论/(工)的单调性：(2)若对任意冽(0,。»阳上小有一/5)C1恒成立,求实数a的取值范围。疗？一n方向二、函数中的存在性问题解法突破：我们所研究的函数中的存在性问题即在不等式有解的条件下，求参数的取值范围问题。(

23、1)若函数/在区间。上存在最曲/(幻3=阳和最大值JM4=/即/QM也，则对不等式有解11问题有以下结论：不等式bv“外在区间。上有解o"/不等式Z/在区间力上有解”幻2；不等式方a”d在区间。上行解不等式6三/（功在区间。上有解4/（幻；（2）若函数/（#）在区间D上不存在最大（小）值，如值域为（m,n）则不等式有解问题有以下结论：不等式召f（x）（或口W/（x）在区间D上有解=1H；不等式方/（算）（或人3/0）在区间。上有解O5见类型一存在性问题处理理论【例6.18已知函数f（x）=x-anx,（x）=一号。£氏）。若存在上存在点/，使得fGJ虱相）成立，求a的取值范

24、围。变式1.已知函数/（）=J+rMxQ=0，口初若在区间（0,f上至少存在一点网,使得/（工。）0成立t求实数a的取值范围。变式2.已知函数=Rmc4上:/一加（口丰1）.曲线y=/（幻在点（IJID）处的切线斜率为0.（1）求b;（2）若存在xQ1,使得心1f），求丈数"的取值范围。G1类型二可转化为存在性类型的问题【例6.19已知函数/（h）=-；/+2瓯（1）若函数/（外在（|.一g）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0。2时，函数”工）在口，4上的最小值为一竿，求函数在该区间上的最大值。变式1.已知函数/«=Y+一/用用且函数/（*）在+皿）上存在单调递

25、增区间，求实数m的取值范围。方向三、函数中恒成立与存在性的综合问题12解法突破:对于任意的工|£。,句,总存在尤士W风门,使/（莺）4目&）对于任意的马E凡用,总存在X工七忌,用，使f（城Lg（x“0八第）1ntoWgQ）a；对于任意的XiE口力由w限雨，使/G1）廿晨4）C，a）附行&（孙）H存在修£5司，任意的.ff，使/GJ0月）c/3）11mlwgQjw；【例6.20已知函数/G）=-+=W1HKxS丰叱（1）求函数/（幻的单调区间：（2）求证：当/。时，对于任意修，七以息市虱修）式/（均）成立。Y-、,变式1.已知函数=xlnx,式N）=求证：对任

26、意m,n（0,+oc）,都有了（1）三式门）成立之£4-1【例6.21已知函数/（h）=Imrar一|（以FH），设虱工）=工二一2取+4=；时，若对任意的寸（0,2）.总存在七己L2工使”为）M虱小）,求实数b的取值范围。变式1.已知函数f。）=!ax*j+1#+21n工S亡犬）,（1）求/（幻的单调区间；（2）设=x*-2x,对任意的工（0,2）使得/珀虱动，求a的取值范围。核心考点四函数不等式的证明思路提示：构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，而构造辅助函数是导数证明不等式的关键，构造辅助函数的一般方法及解题程序如下：1、移项（有时

27、需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为0,另一端即为所作的辅助函数/W；2、求，（工）,并验i正ZU）在指定区间上的增减性；3、求出区间端点的函数值（最值），作比较即得所证。方向一函数不等式的证明理论【例6.22】证明不等式：三工十1.变式1.证明不等式：KAlnx+L变式2.证明不等式：esAIu+2,13方向二函数不等式证明中的变形原理解法突破：不等式证明过程中通常涉及两类问题，即不含参函数与含参函数，常见的表达式主要是enx以及关于#的单项式或多项式的混合形式，下面梳理了几种常见的形式进行讲解：类型一涉及“募函数”与“lnx”的积商形式解法突破：对于这类函数，一般来说，每次求导，多项式

28、的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含“lnx”的式子，如/（a）=（x-Fl）lnx,需两次求导，才能化成不含“lnx”的式子，如将“lnx”分离出来，只需一次求导，即可化成不含“lnx”的式子，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把“alnx（a是非零常数）”分离出来。【例6.23已知，。且上*1.求证：用一工x+I芥x1变式1.已知函数/=（工+1）tu九+1（JTH）,求瓜（克一1）/（幻变式2.已知函数/（幻=署+1,曲线v=/在点（1J）处的切线方程为M+2y3=0.（1）求a,b的值；（2）如果当工0,旦4#1时，/（公三+"恒成仁求人的取值回MX1K类型二涉及“尸

29、与“lnx”的和差形式解法突破：对于原函数中含有小旨1口父的混合形式，可通过隐零点（导函数/'（）的零点不能具体算出时，设为几，它满足方程）=0）所在的方程，将k与In、转化为哥的形式处理，简化不等式。【例6.24设函数f（x）=©区一口1口工（1）讨论八上）的导函数/'（，）零点的个数：（2）求证：当口0时,工）三2口一口1口不变式1.已知函数/。）=（工一+时。.（1）设定=0是“X）的极值点,求叫并讨论的单调性工（2）当街W2时，求证：/M0类型三涉及“哥函数”"”与“lnx”的混合形式解法突破：对于同时含有哥函数、-与1僦的形式，一般的处理方法或思路是将含幕函数形式的代数式Sd对，14以及将hu与哥函数形式的代数式进行配对。【例6.25】设函数/=(1)求/G)的单调区间；(2)设氏=求证工对任意X0.式上)1+婷.变式1.证明不等式：工+1二alX变式2.已知3=号二.虱幻=?/(第)一。求证：当，0时，方向三借助铺设条件证明不等式【例6.26已知函数y(x)=M(:+),(1)求/0)的单调性：(2)若工0,求证：(1l)ln。+】)一,【例6.27已知函数/(*)=(0+)lnx+ov'+1，(1)讨论函数/G)的单调性；(2)设hW-2