中国石油大学华东线性代数第3章-向量组

1、1第三章第三章 向量组的线性相关性与秩向量组的线性相关性与秩 向量的基本概念和运算向量的基本概念和运算 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩和最大无关组向量组的秩和最大无关组 向量组的秩和矩阵的秩的讨论向量组的秩和矩阵的秩的讨论 向量空间的基本概念向量空间的基本概念本章将介绍本章将介绍：2引言、引言、 向量的概念向量的概念向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式),(21

2、nTaaaa 3定义定义 n 个有顺序的数个有顺序的数 所组成的数组所组成的数组naaa,21),(21naaa 叫做叫做 n 维向量维向量， 数数 叫做向量的叫做向量的分量分量（或（或坐标坐标），）， 个分量个分量.naaa,21jaj的的第第叫叫做做 3.1 向量及其相关性向量及其相关性1. 基本概念基本概念 分量为实数的向量称为分量为实数的向量称为实向量实向量；分量为复数的向量；分量为复数的向量称为称为复向量复向量. 4例如例如 矩阵的一行元素是一个向量；矩阵的一行元素是一个向量； 矩阵的一列元素也是矩阵的一列元素也是一个向量一个向量. nbbb21 为为列向量列向量.称称),(21na

3、aa 为为行向量行向量;常称常称 每一个方程中变量的系数就构成一个每一个方程中变量的系数就构成一个 n 维行向量维行向量. 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa中，中，如方程组如方程组5确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n6niba

4、ii, 2 , 1, 向量的相等向量的相等.即即两个向量相等，就是各个对应的分量都相等两个向量相等，就是各个对应的分量都相等.),(),(2121nnbbbaaa 设设都是都是 n 维向量，则规定维向量，则规定:).0,0,0( O即即),(21naaa 零向量零向量 分量都为零的向量称为零向量分量都为零的向量称为零向量,记作记作O. 负向量负向量 设设 为为 称称 的负向量的负向量.),(21naaa 记记7),(),(2121nnbbbaaa ),(2211nnbababa ),()(2211nnbababa 向量的运算向量的运算行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的

5、运算法则进行运算进行运算.定义定义 设设都是都是 n 维向量，规定维向量，规定的的和和与与为为向向量量称称 定义定义即：即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减.8定义定义 设 是 n 维向量，是实数, 规定),(21naaa ),(21naaa 注注 向量相加及数乘两种运算统称为向量相加及数乘两种运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.即：即：数乘向量就是用数乘以向量的每一个分量数乘向量就是用数乘以向量的每一个分量.9OO )()()( )()()()(1由定义，易证：由定义，易证： 向量的线性运算满足如下运算规律向量的线性运算满足如下运算规律10

6、 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 矩阵形式： AX= 0 数的形式：其中： 向量形式：0 0 nnxxx 2211 miiiiaaa21 其中 nxxxX21注：齐次线性方程组不同的表示形式：注：齐次线性方程组不同的表示形式：111、线性相关性 )3(04)2(032)1(02zyxzyxzyx引言引言 设有方程组设有方程组易知方程间有关系易知方程间有关系 (3)=2(1)+(2), 若记若记:)114(),132(),121(321 3.1.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2132 则则213, 可可由由即即经线性运算

7、得到经线性运算得到.12定义定义（线性组合）（线性组合）mmmm 22112121,使使组组数数如如果果有有一一对对于于向向量量或说或说 线性表示线性表示.m ,21可可由由m ,21是是则说向量则说向量 的的线性组合线性组合， 于是知于是知, 方程组中有无多余方程等价于在相应的向量方程组中有无多余方程等价于在相应的向量组中是否有某个向量能由其余向量线性表示组中是否有某个向量能由其余向量线性表示.13定义定义（线性相关）（线性相关）使使不不全全为为零零的的数数组组如如果果存存在在一一维维向向量量组组设设有有,2121mmn m ,21则说向量组则说向量组 线性相关线性相关，否则称它们，否则称它

8、们线性无关线性无关.Omm 2211问问: 如何用定义来验证一组向量线性相关或线性无关如何用定义来验证一组向量线性相关或线性无关?14 或或k注注 零向量与任一向量线性相关零向量与任一向量线性相关. ,注注 两个非零向量两个非零向量线性相关的充要条件线性相关的充要条件是对应分量成比例，即是对应分量成比例，即O , 来来说说注注 对单个向量对单个向量 为线性相关，为线性相关，O 为线性无关为线性无关.注注 线性无关的叙述线性无关的叙述OkkkOkkkmmm 212211则则必必有有若若有有 m ,21线性无关线性无关关于定义的几点注意：关于定义的几点注意：15 Okkk 631520111321

9、 Okkkkkkkk 321321316532即即 0650320 32132131kkkkkkkk故故 1113213231kkkkkkk可可取取321, 故故线性相关线性相关.例例 (P69例例3) 讨论向量组线性相关性讨论向量组线性相关性. Okkk 332211 使使于是得于是得O 321)1(11 631,520,111321 ,321kkk解解 设有设有16Oekekeknn 2211证证 设有设有neee,21故故线性无关线性无关.,00021 nkkk即即易知：易知：任一任一n n维维向量可由向量可由n n维单位坐标向量组线性表示维单位坐标向量组线性表示. .021 nkkk例

10、例 (P68例例1) n 维向量组维向量组 100,010,00121neee结论结论 n 维单位坐标向量组是线性无关的维单位坐标向量组是线性无关的.称为称为 n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组 。17. , , , 321133322211321线性无关线性无关试证试证线性无关线性无关已知向量组已知向量组bbbbbb 例3例30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设设有有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 证证18., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，

11、所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx19定理定理 1 向量组向量组 线性相关线性相关 的充要条件是其中至少有一个向量可由其余的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 m-1个个 向量线性表示向量线性表示.)2(,21 mm 中中有有一一个个向向量量设设充充分分性性m ,)(21112211 mmm 证证Ommm )1(112211即即有有能能由由其其余余向向量量线线性性表表示示比比如如,)(m 于于是是不不全全为为零零显显然然,)1( ,121 m .,21线线性性相相关关m 20即即有有一一组组线线性性相相关关因因,21m ,

12、0,21 imkkkk不不妨妨设设中中至至少少有有一一个个不不为为零零因因（必要性）（必要性）1111)()( iiiiikkkk 则则.能能由由其其余余向向量量线线性性表表示示即即i 证毕证毕.02211 mmkkk 使使不不全全为为零零的的数数,21mkkk思考：思考： 若若 线性相关，线性相关， 是否是否 一定一定 能用其余向量线性表出？能用其余向量线性表出？m ,211 mimiiikkkk )()( 11 （不一定）（不一定）21定理定理 2 设设 线性无关，而线性无关，而 线性相关，则线性相关，则 能由能由 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的. ,21mm ,21

13、 m ,21, , 11mmkk故故有有线线性性相相关关因因证证明明 . 0(*)1 mk式式中中必必有有则则而而其其中中若若反反证证00,(111 mmmkkk (*), 0111 mmmkkk使使不不全全为为 , 01 mk.), 0,11线线性性无无关关矛矛盾盾这这与与不不全全为为mmkk 22:.设设有有两两个个表表达达式式再再证证表表达达式式的的唯唯一一性性Ommm )()(:,111得得两两式式相相减减:,1知知线线性性无无关关由由m 证毕证毕mmmm 1111及及0 0 ii )., 2 , 1(miii 即即.线线性性表表示示可可由由诸诸于于是是i 23 易知，一个易知，一个

14、mn 的矩阵的矩阵 Amn 既可以看作是由既可以看作是由 m 个个 n 维的行向量构成；也可以看作是由维的行向量构成；也可以看作是由 n个个 m 维的列向量维的列向量构成，反之亦然构成，反之亦然. mnmmmnnmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaA21222212112111212222111211 2 矩阵与向量组矩阵与向量组这里，我们来建立矩阵与向量组之间的联系这里，我们来建立矩阵与向量组之间的联系.24 mnnnnmmaaaaaaaaa21222122121111, 故故A可表示为可表示为 .,2121nmAA 或或 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211

15、25线线性性相相关关n ,21证证有有非非零零解解线线性性方方程程组组02211 nnxxx 结论结论 矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组 线性相关线性相关 的的充要条件充要条件是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解. 其中其中 n ,21 ,21Tnxxxx ).,(21nA 0, 221121 nnnkkkkkk 使使存存在在一一组组不不全全为为零零的的数数 有有非非零零解解02121 nnxxx 有有非非零零解解0 Ax证毕证毕26 类似地有，类似地有，矩阵矩阵A的行向量组的行向量组 线性线性相关的充要条件是齐次线性方程组相关的充要条件是齐次线性方程组 AT x=O

16、 有非零解有非零解. .其中其中 x= =m ,21 Tmxxx21 由上可见，向量间的相关性问题可借助于矩阵或齐次由上可见，向量间的相关性问题可借助于矩阵或齐次线性方程组来表述线性方程组来表述. 熟悉同一个问题的不同形式表述，对于学好第三章及熟悉同一个问题的不同形式表述，对于学好第三章及以后内容是很重要的以后内容是很重要的.273.2 线性相关性的判定定理 本节将讨论本节将讨论 从不同的角度（如向量组中向量的从不同的角度（如向量组中向量的个数个数、 维数维数、以及、以及分量的顺序分量的顺序）提出向量组线性）提出向量组线性 相关的判定条件相关的判定条件 利用矩阵来判别向量组的线性相关性利用矩阵

17、来判别向量组的线性相关性 28Okkkrr 2211.,21线线性性相相关关故故mr Okkkmrrr 0012211从而从而.0 , 0 ,1个个数数不不全全为为零零这这因因mkkrmrr ,1,1 r ,21定理定理 3 3 若若 线性相关，线性相关， 则则 也线性相关也线性相关. .r ,21rkkk,21证证 因为因为 线性相关，故有不全为零线性相关，故有不全为零 的数的数 使使29定理定理 4 设有两个设有两个 n 维列向量组维列向量组 2121mm,b,bbB:,a,aaA: 即向量即向量 是把是把 的第一、二个分量对调而得，则向的第一、二个分量对调而得，则向 量组量组A与向量组与

18、向量组B的线性相关性相同的线性相关性相同.jbja证证 记记 mmbbbBaaaA2121, ,m,j,aaab,aaa anjjjjnjjjj21 1221 其中30,0:021212222111211有有非非零零解解即即方方程程组组线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是则则向向量量组组 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaAxA,0:021211121122221有有非非零零解解即即方方程程组组线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是向向量量组组 mnmnnmmxxxaaaaaaaaaBxB31 显然可知，方程组显然可知，方程组 Ax=O 与方程组与方程组 Bx=O 是同解的，是同解的

19、，故若故若 A 组线性相关，组线性相关，B 组也线性相关；若组也线性相关；若 A 组线性无组线性无关，关，B 组也线性无关组也线性无关. 即它们的线性相关性相同即它们的线性相关性相同. 定理定理 4/ 设有两个设有两个 n 维列向量组维列向量组mjaaabaaaa,b,bB:b,a,aaAjpjpjpjnjjjjmmn, 2 , 1,:21212121 其其中中 其中其中 是是 这这 n 个自然数的某个自然数的某个确定的排列，则向量组个确定的排列，则向量组A与向量组与向量组B的线性相关性相同的线性相关性相同.nppp,21n, 2 , 132注注 定理定理4与定理与定理 4/ 对行向量情形也同

20、样成立对行向量情形也同样成立.定理定理 5 设有两个列向量组设有两个列向量组mjaaaabaaaa,b,bbB:,a,aaA:jrrjjjjrjjjjmm, 2 , 1, ,121212121 其其中中jbja即向量即向量 是由是由 添加一个分量而得，若向量组添加一个分量而得，若向量组 A 线线性无关，向量组性无关，向量组 B 也线性无关也线性无关.33记记定理定理 5 的证明的证明 AAxO则则向向量量组组 线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是方方程程组组 mmbbbB,aaaA2121 11121121222212 :,nnrrrnnaaaxaaaxOaaax即即只只有有零零解解 BB

21、xO向向量量组组 线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是方方程程组组34 由于方程组由于方程组 Bx=O 的前的前 r 个方程即是个方程即是 Ax=O 的的 r 个方个方程，故方程组程，故方程组 Bx=O 的解一定是的解一定是 Ax=O 的解的解.11121121222212111 21 ,:,nnrrrnnrrrnaaaxaaaxOaaaxaaa即即只只有有零零解解 因为向量组因为向量组 A 线性无关，所以线性无关，所以 Ax=O 只有零解，从而只有零解，从而Bx=O 也只有零解也只有零解, 因此向量组因此向量组 B 也线性无关也线性无关.35推论推论 r 维向量组的每个向量添上维向量组的

22、每个向量添上 n-r 个分量，成为个分量，成为 n 维维 向量组。若向量组。若 r 维向量组线性无关，则维向量组线性无关，则n 维向量组亦线性维向量组亦线性 无关；反过来，若无关；反过来，若 n 维向量组线性相关，则维向量组线性相关，则 r 维向量组维向量组 亦线性相关亦线性相关. 以上我们给出了几个判别线性相关性的定理，为帮助以上我们给出了几个判别线性相关性的定理，为帮助记忆，特总结成以下几句话：记忆，特总结成以下几句话： 改变向量的个数时，改变向量的个数时，. . 改变向量的维数时，改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；低维无关，高维也无关； 高维相关，低维也相关高维相关，低维也相关.

23、同步改变向量的分量顺序时，同步改变向量的分量顺序时，线性相关性线性相关性不变不变.36注注 1) 定理的结论对定理的结论对行行向量情形同样成立向量情形同样成立.2) 此定理是从矩阵的角度来判断向量组的相关性此定理是从矩阵的角度来判断向量组的相关性, 无论无论 在理论上还是在计算中都经常被用到在理论上还是在计算中都经常被用到.定理定理 6 向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要条的充分必要条 件是它们所构成的矩阵件是它们所构成的矩阵 的秩的秩 小于向量的个数小于向量的个数 m, 即即R(A)n 时，时，m 个个 n 维向量维向量 一定线性相关一定线性相关.特别特别 n+1个个n维向量必相关维向

24、量必相关.39 510231202231,343122321,201332CBA解解 对对A，行：，行：3个个2 维向量，必相关维向量，必相关. 列：列：2个个3 维向量，两列不成比例，维向量，两列不成比例， 对对B，行、列皆为，行、列皆为3个个3维向量，考察其行列式维向量，考察其行列式. 例例 讨论下列矩阵的行、列向量组的线性相关性讨论下列矩阵的行、列向量组的线性相关性.,2)(的的列列向向量量组组线线性性无无关关故故AAR 40对对C，列：，列：4个个3 维向量，必相关维向量，必相关. 行：行：3个个4 维向量维向量 R(C)=23, 故故 C 中行向量组线性相关中行向量组线性相关. 51

25、0231202231C 000031202231510231202231C02 B因为因为R(B)=3，故，故 B的行、列向量组皆线性无关的行、列向量组皆线性无关.41 1.已知向量组已知向量组 线性相关，求线性相关，求 t 值值.,054002121 t3 t 002,112121t 25403 练练 习习解题提示：矩阵解题提示：矩阵 的秩的秩 R(A)s ，则由于，则由于 r 个个 s 维向量必相关维向量必相关,即即线性相关，故存在不全为线性相关，故存在不全为 0 的数的数 使使引理证毕引理证毕1212rrKBAO 从从而而 Orr 2121即即故一定有故一定有61证证 设设 A1 组为组

26、为 A 组的最大无关组，组的最大无关组，B1 组为组为 B 组的最大组的最大 无关组，则无关组，则 A1 组、组、B1 组中所含的向量个数分别为组中所含的向量个数分别为 r1，r2 .证毕证毕定理定理7 设向量组设向量组 的秩为的秩为 r1， 向量组向量组 的秩为的秩为 r2， 如果如果A组能由组能由B组线性表示，则组线性表示，则 r1 r2 .rA ,:21sB ,:21 因为因为 A 组能由组能由 B 组线性表示，故组线性表示，故 A1 组也能由组也能由 B1 组线性表示组线性表示.（请思考为什么？请思考为什么？）于是由引理知于是由引理知 r1 r2 .62问问: 推论推论 1 的逆命题是

27、否成立？的逆命题是否成立？ 10000100:,0010,0001:2121 BA答答 推论推论1的逆不真，即的逆不真，即等秩组不一定等价等秩组不一定等价. 则则A组与组与B组的秩皆为组的秩皆为2，但，但A组与组与B组显然不等价组显然不等价.（有关此命题的进一步的结论可参见习题（有关此命题的进一步的结论可参见习题3）推论推论 1 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.定理定理7的若干推论的若干推论简称为等简称为等价组等秩价组等秩如如：63定理定理8 矩阵矩阵A的秩等于的秩等于A的行向量组的秩，也等于的行向量组的秩，也等于A的的 列向量组的秩列向量组的秩.（此性质常称为（此性质常称为三秩

28、相等三秩相等定理定理.）推论推论 2 设在向量组设在向量组T中有中有 r 个向量个向量 满足满足 线性无关；线性无关； 任取任取 线性线性 表示表示. 则则 即是向量组即是向量组T的一个最大的一个最大 无关组，数无关组，数 r 即是向量组的秩即是向量组的秩.r ,21r ,21r ,21rT ,21能能由由 3.3.3 向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系 即即 R(A) = A的的行秩行秩 = A的的列秩列秩.64定理定理8 矩阵矩阵A的秩等于的秩等于A的行向量组的秩，也等于的行向量组的秩，也等于A的的 列向量组的秩列向量组的秩.证证 设设 A 为为mn矩阵，当矩阵，当R(A)=

29、0时，时，A=O，结论自然，结论自然 成立，故下设成立，故下设R(A)0.记记 A 的列向量为的列向量为n ,21 由矩阵秩的定义，由矩阵秩的定义，A 中存在一个中存在一个 r 阶子式阶子式 Dr0, 由定理由定理 6知，知，Dr 所在的所在的 r 列线性无关，又由于列线性无关，又由于A中所中所有有 r+1 阶子式均为阶子式均为 0, 知知 A 中任意中任意 r+1个列向量线性个列向量线性相关，因此相关，因此 Dr 所在的所在的 r 列就是列就是 A 的列向量组的最大的列向量组的最大无关组，所以无关组，所以 A 的列秩等于的列秩等于 r. 同理可证同理可证 A 的行秩也等于的行秩也等于 r.)

30、.,(21nA 即即65推论推论 设矩阵设矩阵 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 Dr 是是 A 的最高阶非零的最高阶非零 子式，则子式，则 Dr 所在的所在的 r 个行向量即是个行向量即是 A 的行向量组的一的行向量组的一 个最大无关组；个最大无关组； Dr 所在的所在的 r 个列向量即是个列向量即是 A 的列向量的列向量 组的一个最大无关组组的一个最大无关组.例例 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： .81507,31312,23123321 解题思路：解题思路：法法 1 从判别向量组的相关性入手从判别向量组的相关性入手. 法法 2 构造矩阵，先

31、求矩阵的秩构造矩阵，先求矩阵的秩. （矩阵的秩可用初等变换法求得）（矩阵的秩可用初等变换法求得）66.2213 解法解法 1 易见易见从从而而线线性性无无关关又又线线性性相相关关故故,21321 ., 2,21为为一一个个最最大大无无关关组组且且向向量量组组的的秩秩为为知知 .81507,31312,23123321 ,815073131223123321 A记记解法解法 2071223 易知，二阶子式易知，二阶子式67故知故知 R(A)=2， 815073131223123 A又又 0000031312231232132rrr., , 2 , 21为为一一个个最最大大无无关关组组且且向向量量

32、组组的的秩秩为为知知由由三三秩秩相相等等定定理理及及推推论论 问：能否取问：能否取其它的二阶其它的二阶子式？子式？68例例 证证 设设 C=AB特别，特别，当当 A可逆时可逆时，有，有 当当 B可逆时可逆时，有，有)(),(min()(BRARABR )()(ARABR 则知则知 C的行向量组可由的行向量组可由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示; C的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表示的列向量组线性表示,从而由定理从而由定理7及三秩相等定理，知及三秩相等定理，知 R(C)R(B)，R(C)R(A) 故命题成立故命题成立.)()(BRABR 69定理定理 9 矩阵矩阵 A 经过初

33、等经过初等行行变换化为矩阵变换化为矩阵 B，则，则 A 、B 的的行行向量组之间等价，而向量组之间等价，而 A、B 的的 列列向量组之间有向量组之间有 相同的线性组合关系相同的线性组合关系.本定理的证明略去本定理的证明略去, 但要注意此定理在解题中的应用但要注意此定理在解题中的应用. 43333320126624220121A 1）求矩阵的秩；求矩阵的秩； 2）求其列向量组的一个最大无关组，）求其列向量组的一个最大无关组， 3）将其余的列向量用此最大无关组线性表示）将其余的列向量用此最大无关组线性表示.例例 设有矩阵设有矩阵A70)(00000130001223020121B 行行)(0000

34、0311000910321091603101C 行行 43333320126624220121A（思考：从阶梯形B 和最简形 C 能了解原矩阵的什么信息？）解解 用初等用初等行行变换法可同时解决题中的几个问题，变换法可同时解决题中的几个问题， 其理论依据正是定理其理论依据正是定理9.711）R(A)=R(B)=R(C)=3. )(00000311000910321091603101)(00000130001223020121CB 2）根据）根据 B、C 的结构可知的结构可知 B、C 的第的第 1、2、4 列线性无列线性无 关，由定理关，由定理 9 知，知，A的第的第 1、2、4 列也线性无关，

35、故列也线性无关，故 A 的第的第 1、2、4 三个列向量是三个列向量是 A 的列向量组的最大无的列向量组的最大无 关组关组.723）为将）为将A 的其它的列向量用最大无关组表示，记的其它的列向量用最大无关组表示，记 54321 C 54321 A421542133191916,03231 421542133191916,03231: 易易见见由由C则在则在A中亦有中亦有 43333320126624220121 0000031100091032109160310173综上所述，我们有综上所述，我们有 .)3)2)( ?)()1),(关关组组线线性性表表示示大大无无将将其其余余的的列列向向量量用

36、用此此最最组组的的列列向向量量组组的的最最大大无无关关直直接接看看出出由由可可求求行行最最简简形形行行ABRARBA .)3)2)( ?)()1),(关关组组线线性性表表示示大大无无将将其其余余的的行行向向量量用用此此最最组组的的行行向向量量组组的的最最大大无无关关直直接接看看出出由由可可求求列列最最简简形形列列ABRARBA)(?)(),(,BRARBA 可可求求标标准准形形列列行行741. 设有行向量组设有行向量组 123,312,23321 x?,?,:321321线性无关线性无关为何值时为何值时线性相关线性相关为何值时为何值时问问 xx解解 考虑考虑32213321xA 357 x.,

37、5,5321321线线性性无无关关时时线线性性相相关关时时故故当当 xxCan You Answer Them?75 2 判断判断1 若若A组向量与组向量与B组向量等价，则组向量等价，则A组与组与B组的线性组的线性 相关性相同相关性相同.（）3 若矩阵若矩阵A的行向量组与的行向量组与B的行向量组等价，则方的行向量组等价，则方 程组程组AX=0与与BX=0同解同解.（）（）2 若若C=AB，则，则C的行向量组可由的行向量组可由B的行向量组线性的行向量组线性 表示表示, C的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表示的列向量组线性表示.Can You Answer Them?763.4 向量空

38、间 本节将讨论：本节将讨论： 向量空间的定义向量空间的定义 向量空间的基和维数的概念向量空间的基和维数的概念 用初等变换法验证一组向量是否构成向量空用初等变换法验证一组向量是否构成向量空 间的基并将其余向量用这组基线性表示间的基并将其余向量用这组基线性表示77所谓运算封闭，是指所谓运算封闭，是指.,VkkVVVV 则则是是数数则则 1. 定义定义（向量空间）（向量空间） 设设V为为 n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V对于加法及数乘两种对于加法及数乘两种运算封闭运算封闭，那么就称集合，那么就称集合V为为向量空间向量空间。78 2）定义中也指明了验证一个向

39、量集合是否为向量）定义中也指明了验证一个向量集合是否为向量 空间的步骤：空间的步骤： V非空；非空； V关于向量加法封闭；关于向量加法封闭； V关于关于 向量数乘封闭向量数乘封闭.注注 1）n 维向量的全体维向量的全体 Rn 是向量空间是向量空间. 1. 定义定义（向量空间）（向量空间） 设设V为为 n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V非空，且集非空，且集合合V对于加法及数乘两种对于加法及数乘两种运算封闭运算封闭，那么就称集合，那么就称集合V为为向量空间向量空间.79例例 1 是一向量空间是一向量空间6-这就是解析几何中讨论的三这就是解析几何中讨论的三维欧氏维欧氏 空间空间 R3

40、. ,321321RxxxxxxxV ,021211RxxxxxV 例例 2 验证验证 是一向量空间是一向量空间.80 ,021211RxxxxxV ,11VV 0,21kxxkkRk 则则解解 因为零向量因为零向量 0 V1 ，故，故V1 非空非空.综上知，综上知， V1 是一向量空间是一向量空间.又设又设 0,02121yyxx 记记 设设 02211yxyx 121,VkRkxkx 所所以以其其中中12211,VRyxyx 所所以以其其中中81,22VV 解解 以下说明以下说明 V2 对加法运算不封闭对加法运算不封闭.所以所以 V2 不是向量空间不是向量空间.设设 1,12121yyxx

41、 记记 22211yxyx ., 12V 故故的的第第三三个个分分量量不不是是由由于于 212121 ,Vxxxx xR 例例 3 说明说明 不是一向量空间不是一向量空间.82结论结论 设设 是两个已知的是两个已知的 n 维向量，则维向量，则 是一个向量空间是一个向量空间. , RxV ,（称（称V是由是由 所所生成的向量空间生成的向量空间） ,RkVxVx ,21验证验证 设设故故V是向量空间是向量空间. 222111, xx记记Vxx )()(212121Vkkkx )()(11183一般地，由一般地，由 所生成的向量空间为。所生成的向量空间为。m ,21 RxVmmm ,212211即若

42、向量组即若向量组 与与 等价，等价，m ,21s ,21 RxVRxVsssmmm ,11121111结论结论 等价的向量组所生成的向量空间相同等价的向量组所生成的向量空间相同.又又.21VV 则则842. 定义定义 （基和维数）（基和维数）,21Vr 设设 V 为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量个向量且满足：且满足：线性无关；线性无关；r ,) 1 (21(2)(2) V 中任一向量都可由中任一向量都可由r ,21线性表出线性表出. 则向量组则向量组 就称为向量空间就称为向量空间 V 的一个的一个基基，r 称为向量空间称为向量空间V的的维数维数，并称，并称V是是 r 维向量空间维向量空间.r ,21规定：零向量空间的维数为规定：零向量空间的维数为 0.851）V的基就是的基就是V的最大无关组，的最大无