第7讲-曲线曲面造型基础

1、计算机图形学与计算机图形学与CADCAD技术技术 7.1 7.1 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NURBS7.4 NURBS曲面曲面 7.5 7.5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法7.1 7.1 解析曲面（代数曲面）解析曲面（代数曲面）代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求适合构造简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序实现量大工程设计交互性差因此，CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力B

2、ezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中常见。 7.1 7.1 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NURBS7.4 NURBS曲面曲面 7.5 7.5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法给定空间n+1个点的位置矢量P Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线定义为：其中Bi,n(u)是n次Bernstein基函数： 7.2 Bezier曲面定义曲面定义- -张量积曲面张量积曲面1 , 0 )()(0,uuBuniniiPPiniinniutCuB)1 ()(,展

3、开上式得：展开上式得：P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.71. Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系2. Bezier曲面特性1）2） 事实上，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。vu101xyzo3）4）其它特性与Bezier曲线类似：3. Bezier曲面的计算与绘制4. Bezier曲面的拼接 ，即两曲面的首末控制点相同。A）G0连续B）G1连续最简单直接的方法为：最简单直接的方法为：，即有公共切平面，即有公共切平面l为了实现多张曲

4、面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。l 特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲面的形状控制减弱；l不具有局部性，即修改一控制点对曲面产生全局性影响。l1972年年Gordon等用等用B样条基代替样条基代替Bernstein基函数，从基函数，从而改进上述缺点。而改进上述缺点。5. Bezier曲面的不足 7.1 7.1 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NURBS7.4 NURBS曲

5、面曲面 7.5 7.5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法 类似类似BezierBezier曲面，将均匀三次曲面，将均匀三次B B样条曲线样条曲线推广可得到推广可得到均匀双三次均匀双三次B B样条曲面样条曲面的定义如下：的定义如下：7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 2. B样条曲面的性质 由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，并比Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。3. B样条曲面的计算与绘制先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制 4. B样条曲面的反算n,j;m,i ,.10210jid1）以U向截面数据点（型值点）及端点u向切矢，应用

6、B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点： 借鉴B样条曲线的反算思想，先对给定型值点进行u向反算，反算得到一组控制点，再以此控制点为型值点进行v向反算，具体步骤如下：b b）仍以）仍以U U向视首末截面数据点处向视首末截面数据点处v v向切矢为向切矢为“位置矢量位置矢量”表示的表示的“数据数据点点”，又视四角角点扭矢为，又视四角角点扭矢为“端点端点v v向切矢向切矢”，应用曲线反算，求出定，应用曲线反算，求出定义首末义首末u u参数边界参数边界( (即首末截面曲线即首末截面曲线) )的跨界切矢曲线的控制顶点。的跨界切矢曲线的控制顶点。 c c）然后固定指标）然后固定指标i i

7、，以第一步求出的，以第一步求出的n n1 1条截面曲线的控制顶点阵条截面曲线的控制顶点阵列中的第列中的第i i排即：排即： n,j,10 jid为为“数据点数据点”，以上一，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第步求出的跨界切矢曲线的第i i个顶点为个顶点为”端点切矢端点切矢”，在节点矢量，在节点矢量V V上应用曲线反算，分别求出上应用曲线反算，分别求出m m3 3条插值曲线即控制曲线的条插值曲线即控制曲线的B B样条样条控制顶点控制顶点 210210n,j;m,i ,.jid三次三次B B样条插值曲面的控制顶点样条插值曲面的控制顶点。 ，即为所求双，即为所求双4. B样条曲面的反算 7.1 7.1

8、 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NURBS7.4 NURBS曲面曲面 7.5 7.5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法7.4 NURBS7.4 NURBS曲面曲面追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。（目前样条表达能力更强，但控制参数更多） 7.1 7.1 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NURBS7.4 NURBS曲面曲面 7.5 7.

9、5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法7.5 其他表达方式二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。1）Quadric surface2) superquadricsuperquadric toroids1)rz(a)ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex superquadric ellipsoids1)rz()ry()rx(112222/Ez/EE2/Ey2/Ex superquadric曲面在商用CAD系统应用相

10、对较少，但在动画软件中常用 3) Implicit surface隐式曲面隐式曲面 隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。 4. 偏微分方程（PDE）曲面 PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。 5. 等距曲面（Offset） F（u，v） S（u，v）+ d N S（u，v） 6. 细分曲面 7.1 7.1 解析曲面解析曲面 7.2 Bezier7.2 Bezier曲面曲面 7.3 B7.3 B样条曲面样条曲面 7.4 NU

11、RBS7.4 NURBS曲面曲面 7.5 7.5 曲面的其它表达曲面的其它表达 7.6 7.6 曲面求交算法曲面求交算法 前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比较规则。 而实际工程中会有各种不规则的曲面，很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。 这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成，裁剪操作的关键在于曲面的求交，如图：7.6 曲面求交算法介绍曲面求交算法介绍 当前的CAD系统，大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、Bezier曲线、B样条、NURBS

12、曲线等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条、NURBS曲面等，求交情况十分复杂。 在一个典型的CAD系统中，用到的几何元素通常有25种，为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求交函数多达 25325种！一种好的思想是将几何元素进行归类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。 C225 NURBS具有强大的表示能力，能使造型系统的几何元素表示统一起来，那么，几何造型系统的求交是否可以简化为NURBS求交呢？非也 ！7.6 曲面求交算法介绍曲面求交算法介绍 通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对共点、共线、共面难以处理，从

13、而影响布尔运算的效率和稳定性。 基本的求交算法：基本的求交算法： 由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管，面被看成是厚度为2e的薄板。 1. 点于其它几何元素的求交比较简单，计算两个点是否相交，实际上是判断两个点是否重合，判断点和线（或面）是否相交，实际上是判断点是否在线（或面）上。 2. 线与线的求交：有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。 3. 线与面的求交：有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。7.6 曲面求交算法介绍曲面求交算法介

14、绍 在几何元素之间的求交算法中，曲面与曲面之间的求交是最为复杂的一种，比其它元素的求交要复杂得多，曲面与曲面求交的基本方法主要有代数方法、代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法几何方法、离散方法和跟踪方法四种。1 1代数方法代数方法 代数方法是利用代数运算，特别是求解代数方程的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交，如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通过曲面方程求解计算交线，对于某些复杂的情况，则需要进行分析和化简的运算后求解。2 2几何方法几何方法 几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精确求出交线。 几何求交适

15、应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。(机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法)3 3离散方法离散方法 离散方法求交是利用分割的方法，将曲面不断离散成较小的三角形平面片来逼近，然后用这些简单面片求交得一系列交线段，连接这些交线段即得到精确交线的近似结果。 离散求交一般过程：1）用包围盒作分离性检查排除无交区域；2）根据平坦性检查判断是否终止离散过程；3）连接求出的交线段作为求交结果。 然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较高，需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。 离散求交的难点在于求交精度不高，难以构成完整的交线离散求交的难点在于求交精度不高，难以构成完整的交线。因此多用于初始点的确定。S 1的参数域S 2 的参数域S 1S 2交线在两曲面参数域的映射 跟踪方法求交是通过先先求出初始交点求出初始交点，然后从已知的初始交点出发，相继跟踪跟踪计算出下一交点计算出下一交点，从而求出整条交线的方法。 跟踪法的本质是构造交线满足的微分方程组，先求先求出出满足方程组的某个某个初初值解值解，通过数值求解通过数值求解微分方