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文档简介
1、2022年高考数学二轮专题复习导数与函数恒成立问题解答题练习设函数f(x)=ax2ln x1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=ax2ex3,求证:f(x)g(x)在(0,)上恒成立.设函数f(x)=ax2xln x(2a1)xa1(aR).(1)当a=0时,求函数f(x)在点P(e,f(e)处的切线方程;(2)若对任意的x1,),函数f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若任意x1,),不等式f(x)1恒成立,求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(xa1)ex,g(x)=x2ax,其中a为常数.(
2、1)当a=2时,求函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若对任意的x0,),不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.已知函数f(x)=xln x.(1)若函数g(x)=f(x)ax在区间e2,)上为增函数,求a的取值范围;(2)若对任意x(0,),f(x)恒成立,求实数m的最大值.已知函数f(x)=2ex(xa)23,aR.(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,求a的值;(2)若x0,f(x)0恒成立,求a的取值范围.已知函数f(x)=lnxx2ax(a0).(1)讨论f(x)在(0,1)上极值点的个数;(2)若x1,x2(x1x2)是函数f(x)的两个极
3、值点,且f(x1)f(x2)m恒成立,求实数m的取值范围.已知函数f(x)=mx,g(x)=3ln x.(1)当m=4时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)若x(1, (e是自然对数的底数)时,不等式f(x)g(x)3恒成立,求实数m的取值范围 .答案解析解:(1)由于f(x)=ax2ln x1(aR),故f(x)=2ax=(x0).当a0时,f(x)0在(0,)上恒成立,所以f(x)在(0,)上是单调递减函数.当a0时,令f(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:xf(x)0f(x)极小值由表可知,f(x)在(0,)上是单调递减函数,在(
4、,+)上是单调递增函数.综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,),无单调递增区间;当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+).(2)证明:f(x)g(x)=ax2ln x1ax2ex3=exln x2,令F(x)=exln x2(x0),要证f(x)g(x),只需证F(x)0.F(x)=ex,由指数函数及幂函数的性质知,F(x)=ex在(0,)上是增函数.又F(1)=e10,F()=e30,所以F(1)F()0,F(x)在(,1)内存在唯一的零点,也即F(x)在(0,)上有唯一的零点.设F(x)的零点为t,则F(t)=et=0,即et=(t1),由F(x)的
5、单调性知,当x(0,t)时,F(x)F(t)=0,F(x)为减函数;当x(t,)时,F(x)F(t)=0,F(x)为增函数.所以当x0时,F(x)F(t)=etln t2=ln2=t222=0,当且仅当t=1时,等号成立.又t1.故等号不成立.所以F(x)0,即f(x)g(x)在(0,)上恒成立.解:(1)当a=0时,f(x)=xln xx1,则f(x)=ln x,则f(e)=1,f(e)=1,所以函数f(x)在点P(e,f(e)处的切线方程为y1=(xe),即xy1e=0.(2)f(x)=2ax1ln x(2a1)=2a(x1)ln x,易知,ln xx1,则f(x)2a(x1)(x1)=(
6、2a1)(x1),当2a10,即a时,由x1,)得f(x)0恒成立,所以f(x)在1,)上单调递增,f(x)f(1)=0符合题意.所以a.当a0时,由x1,)得f(x)0恒成立,所以f(x)在1,)上单调递减,f(x)f(1)=0显然不满足题意,故a0舍去.当0a时,由ln xx1,得ln 1,即ln x1,则f(x)2a(x1)(1)=(2ax1).因为0a1.当x1,时,f(x)0恒成立,此时f(x)在1,上单调递减,f(x)f(1)=0不满足题意,所以0a舍去.综上可得,实数a的取值范围为,+).解:(1)f(x)=,当a时,x22x2a0,故f(x)0,函数f(x)在(,)上递增,当a
7、时,函数f(x)的递增区间为(,),无递减区间.当a时,令x22x2a=0x1=1,x2=1,列表由表可知,当a时,函数f(x)的递增区间为(,1)和(1,),递减区间为(1,1).(2)f(x)112ax2ex,由条件2ax2ex,对任意x1成立.令g(x)=x2ex,h(x)=g(x)=2xex,h(x)=2ex,当x1,)时,h(x)=2ex2e0,h(x)=g(x)=2xex在1,)上递减,h(x)=2xex2e0,即g(x)0,g(x)=x2ex在1,)上递减,g(x)=x2exg(1)=1e,故f(x)1在1,)上恒成立,只需2ag(x)max=1e,a,即实数a的取值范围是(,)
8、.解:(1)因为a=2,所以f(x)=(x1)ex,所以f(0)=1,f(x)=(x2)ex,所以f(0)=2,所以切点的坐标为(0,1),所以切线方程为2xy1=0.(2)令h(x)=f(x)g(x),由题意得h(x)min0在x0,)上恒成立,h(x)=(xa1)exx2ax,所以h(x)=(xa)(ex1),若a0,则当x0,)时,h(x)0,所以函数h(x)在0,)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=a1,则a10,得a1.若a0,则当x0,a)时,h(x)0,当x(a,)时,h(x)0,所以函数h(x)在0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增,所以h(x)min=h(a),又
9、h(a)h(0)=a10,所以不合题意.综上,实数a的取值范围为1,).解:(1)由题意得g(x)=f (x)a=ln xa1.函数g(x)在区间e2,)上为增函数,当xe2,)时,g(x)0,即ln xa10在e2,)上恒成立.aln x1.令h(x)=ln x1,ah(x)max,当xe2,)时,ln x2,),h(x)(,3,a3,即a的取值范围是3,).(2)f(x),2f(x)x2mx3,即mx2xln xx23.又x0,m在(0,)上恒成立.记t(x)=2ln xx,mt(x)min.t(x)=1=,令t(x)=0,得x=1或3(舍).当x(0,1)时,t(x)0,函数t(x)在(
10、0,1)上单调递减;当x(1,)时,t(x)0,函数t(x)在(1,)上单调递增.t(x)min=t(1)=4,即m的最大值为4.解:(1)f(x)=2(exxa),函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行,即在x=0处的切线的斜率为0,f(0)=2(a1)=0,a=1.(2)由(1)知f(x)=2(exxa),令h(x)=2(exxa)(x0),则h(x)=2(ex1)0,h(x)在0,)上单调递增,且h(0)=2(a1).当a1时,f(x)0在0,)上恒成立,即函数f(x)在0,)上单调递增,f(x)min=f(0)=5a20,解得a,又a1,1a.当a1时,则存在x00,使h(x0)
11、=0且当x0,x0)时,h(x)0,即f(x)0,则f(x)单调递减,当x(x0,)时,h(x)0,则f(x)0,即f(x)单调递增,f(x)min=f(x0)=2ex0(x0a)230,又h(x0)=2(ex0x0a)=0,2ex0(ex0)230,解得0x0ln3.由ex0=x0aa=x0ex0,令M(x)=xex,0xln3,则M(x)=1ex0,M(x)在(0,ln3上单调递减,则M(x)M(ln3)=ln33,M(x)M(0)=1,ln33a1.综上,ln33a.故a的取值范围是ln33,.解:(1)f(x)=2xa=,令g(x)=2x2ax1,令g(x)=2x2ax1=0得=a28
12、,当0,即0a2时,g(x)0恒成立,此时f(x)在(0,1)上无极值点;当0,即a2时,由g(x)=2x2ax1=0得,x1=,x2=.()若2a3,则0x1=1,0x2=1.故此时f(x)在(0,1)上有两个极值点;()若a3,则0x1=1,而x2=1.故此时f(x)在(0,1)上只有一个极值点;综上可知,当0a2时,f(x)在(0,1)上无极值点;当2a3时,f(x)在(0,1)上有两个极值点;当a3时,f(x)在(0,1)上只有一个极值点.(2):x1,x2(x1x2)是函数f(x)的两个极值点,x1,x2是f(x)=2xa=0在区间(0,1)内的两个零点.令f(x)=0,得x1,x2是方程2x2ax1=0的两根,=a280,a2,x1x2=0,x1x2=.f(x1)f(x2)=(lnx1xax1)(lnx2xax2)=ln(xx)a(x2x1)=ln(xx)2(x1x2)(x2x1)=lnxx=ln,令t=(0,1),则f(x1)f(x2)=h(t)=lnt,t(0,1),又h(t)=0,h(t)在区间(0,1)内单调递减,h(t)h(1)=0,即f(x1)f(x2)0.m0,即实数m的取值范
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