2022年高考数学二轮专题复习《导数与函数恒成立问题》解答题练习(含答案详解)

1、2022年高考数学二轮专题复习导数与函数恒成立问题解答题练习设函数f(x)=ax2ln x1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=ax2ex3，求证：f(x)g(x)在(0，)上恒成立.设函数f(x)=ax2xln x(2a1)xa1(aR).(1)当a=0时，求函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程；(2)若对任意的x1，)，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若任意x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(xa1)ex，g(x)=x2ax，其中a为常数.(

2、1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=xln x.(1)若函数g(x)=f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值.已知函数f(x)=2ex(xa)23，aR.(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围.已知函数f(x)=lnxx2ax(a0).(1)讨论f(x)在(0,1)上极值点的个数；(2)若x1，x2(x1x2)是函数f(x)的两个极

3、值点，且f(x1)f(x2)m恒成立，求实数m的取值范围.已知函数f(x)=mx，g(x)=3ln x.(1)当m=4时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若x(1, (e是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)3恒成立，求实数m的取值范围 .答案解析解：(1)由于f(x)=ax2ln x1(aR)，故f(x)=2ax=(x0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是单调递减函数.当a0时，令f(x)=0，得x=.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值由表可知，f(x)在(0,)上是单调递减函数，在(

4、,+)上是单调递增函数.综上所述，当a0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+).(2)证明：f(x)g(x)=ax2ln x1ax2ex3=exln x2，令F(x)=exln x2(x0)，要证f(x)g(x)，只需证F(x)0.F(x)=ex，由指数函数及幂函数的性质知，F(x)=ex在(0，)上是增函数.又F(1)=e10，F()=e30，所以F(1)F()0，F(x)在(，1)内存在唯一的零点，也即F(x)在(0，)上有唯一的零点.设F(x)的零点为t，则F(t)=et=0，即et=(t1)，由F(x)的

5、单调性知，当x(0，t)时，F(x)F(t)=0，F(x)为减函数；当x(t，)时，F(x)F(t)=0，F(x)为增函数.所以当x0时，F(x)F(t)=etln t2=ln2=t222=0，当且仅当t=1时，等号成立.又t1.故等号不成立.所以F(x)0，即f(x)g(x)在(0，)上恒成立.解：(1)当a=0时，f(x)=xln xx1，则f(x)=ln x，则f(e)=1，f(e)=1，所以函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程为y1=(xe)，即xy1e=0.(2)f(x)=2ax1ln x(2a1)=2a(x1)ln x，易知，ln xx1，则f(x)2a(x1)(x1)=(

6、2a1)(x1)，当2a10，即a时，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)=0符合题意.所以a.当a0时，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)=0显然不满足题意，故a0舍去.当0a时，由ln xx1，得ln 1，即ln x1，则f(x)2a(x1)（1）=(2ax1).因为0a1.当x1,时，f(x)0恒成立，此时f(x)在1,上单调递减，f(x)f(1)=0不满足题意，所以0a舍去.综上可得，实数a的取值范围为,+).解：(1)f(x)=，当a时，x22x2a0，故f(x)0，函数f(x)在(，)上递增，当a

7、时，函数f(x)的递增区间为(，)，无递减区间.当a时，令x22x2a=0x1=1，x2=1，列表由表可知，当a时，函数f(x)的递增区间为(，1)和(1，)，递减区间为(1，1).(2)f(x)112ax2ex，由条件2ax2ex，对任意x1成立.令g(x)=x2ex，h(x)=g(x)=2xex，h(x)=2ex，当x1，)时，h(x)=2ex2e0，h(x)=g(x)=2xex在1，)上递减，h(x)=2xex2e0，即g(x)0，g(x)=x2ex在1，)上递减，g(x)=x2exg(1)=1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max=1e，a，即实数a的取值范围是（，）

8、.解：(1)因为a=2，所以f(x)=(x1)ex，所以f(0)=1，f(x)=(x2)ex，所以f(0)=2，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2xy1=0.(2)令h(x)=f(x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，h(x)=(xa1)exx2ax，所以h(x)=(xa)(ex1)，若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)min=h(0)=a1，则a10，得a1.若a0，则当x0，a)时，h(x)0，当x(a，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以h(x)min=h(a)，又

9、h(a)h(0)=a10，所以不合题意.综上，实数a的取值范围为1，).解：(1)由题意得g(x)=f (x)a=ln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立.aln x1.令h(x)=ln x1，ah(x)max，当xe2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a3，即a的取值范围是3，).(2)f(x)，2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23.又x0，m在(0，)上恒成立.记t(x)=2ln xx，mt(x)min.t(x)=1=，令t(x)=0，得x=1或3(舍).当x(0,1)时，t(x)0，函数t(x)在(

10、0,1)上单调递减；当x(1，)时，t(x)0，函数t(x)在(1，)上单调递增.t(x)min=t(1)=4，即m的最大值为4.解：(1)f(x)=2(exxa)，函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为0，f(0)=2(a1)=0，a=1.(2)由(1)知f(x)=2(exxa)，令h(x)=2(exxa)(x0)，则h(x)=2(ex1)0，h(x)在0，)上单调递增，且h(0)=2(a1).当a1时，f(x)0在0，)上恒成立，即函数f(x)在0，)上单调递增，f(x)min=f(0)=5a20，解得a，又a1，1a.当a1时，则存在x00，使h(x0)

11、=0且当x0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，则f(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，则f(x)0，即f(x)单调递增，f(x)min=f(x0)=2ex0(x0a)230，又h(x0)=2(ex0x0a)=0，2ex0(ex0)230，解得0x0ln3.由ex0=x0aa=x0ex0，令M(x)=xex,0xln3，则M(x)=1ex0，M(x)在(0，ln3上单调递减，则M(x)M(ln3)=ln33，M(x)M(0)=1，ln33a1.综上，ln33a.故a的取值范围是ln33，.解：(1)f(x)=2xa=，令g(x)=2x2ax1，令g(x)=2x2ax1=0得=a28

12、，当0，即0a2时，g(x)0恒成立，此时f(x)在(0,1)上无极值点；当0，即a2时，由g(x)=2x2ax1=0得，x1=，x2=.()若2a3，则0x1=1,0x2=1.故此时f(x)在(0,1)上有两个极值点；()若a3，则0x1=1，而x2=1.故此时f(x)在(0,1)上只有一个极值点；综上可知，当0a2时，f(x)在(0,1)上无极值点；当2a3时，f(x)在(0,1)上有两个极值点；当a3时，f(x)在(0,1)上只有一个极值点.(2)：x1，x2(x1x2)是函数f(x)的两个极值点，x1，x2是f(x)=2xa=0在区间(0,1)内的两个零点.令f(x)=0，得x1，x2是方程2x2ax1=0的两根，=a280，a2，x1x2=0，x1x2=.f(x1)f(x2)=(lnx1xax1)(lnx2xax2)=ln(xx)a(x2x1)=ln(xx)2(x1x2)(x2x1)=lnxx=ln，令t=(0,1)，则f(x1)f(x2)=h(t)=lnt，t(0,1)，又h(t)=0，h(t)在区间(0,1)内单调递减，h(t)h(1)=0，即f(x1)f(x2)0.m0，即实数m的取值范