第五节平面的投影

1、第二章 投影的基本知识 第五节 平面的投影一、平面的表示方法一、平面的表示方法 OXZYHYWaaabbbccc1、 几何元素表示法不在同一直线上的三个点，唯一地确定了一个平面OXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbccc几何元素表示平面的方法 PV PW PH水平迹线水平迹线PH正面迹线正面迹线PV侧面迹线侧面迹线PW 用迹线表示的用迹线表示的一般位置的平面：一般位置的平面：new2、 迹线表示法迹线平面与投影面的交线PvPHPw平面的迹线表示二、平面的投影特性二、平面的投影特性

2、平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影反映投影反映实形实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影投影积聚积聚成线段成线段 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影投影类似类似原平面原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个

3、投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面三、一般位置平面三、一般位置平面 对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。 投影特性投影特性 一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）（类似性） cbaabcbacACB一般位置平面的投影一般位置平面的投影投影为空间平面的类似形投影为空间平面的类似形YW c aY PW一般位置平面的投影一般位置平面的投影 c b a b a b

4、 c投影为小于三角形实形的类似形投影为小于三角形实形的类似形四、特殊位置的平面四、特殊位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面（一）投影面的平行面（一）投影面的平行面 平行于一个投影面，垂直于另两个投影面。 正平面：平行于V面，对H，W面垂直 水平面：平行于H面，对V，W面垂直 侧平面：平行于W面，对H，V面垂直水平面水平面的投影的投影qqq水平面水平面的投影的投影qqqqqq水平面水平面的三面投影的三面投影 水平面Ywzx0YHabcabcbac正平面正平面正平面的三面投影的三面投影 正平面YwzxoYHabcabbacc侧平面侧平面的投影的投影Rrrrrrr 侧平面a

5、 abYwzxoYHabbccc平行面的投影特性Ywzx0YHabcabcb a cYwzxoYHabcabbacca abYwzxoYHabbccc1 1 在与其平行的投影面上的投影反映实形。2 2 在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴二、投影面的垂直面二、投影面的垂直面 垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜 铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜 侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜铅垂面的投影铅垂面的投影铅垂面的投影铅垂面的投影铅垂面的三面投影铅垂面的三面投影ppp铅垂面OXZYHYWaaabbbccc正垂面正垂面的投影的投影qqq正垂

6、面正垂面的三面投影的三面投影qqq正垂面OXZYHYWaaabbbcccPvPwPh侧垂面侧垂面R的投影的投影rrrr侧垂面侧垂面的三面投影的三面投影rrnew侧垂面OXZYHYWaaabbbccc垂直面的投影特性正垂面铅垂面侧垂面1 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。OXZYHaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbccc2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。例题：根据投影判定平面的位置abcabcababccOXZYHYWaaabbbcccaabbccbbccaaabcabc正平面正平面铅垂

7、面铅垂面正垂面正垂面水平面水平面侧垂面侧垂面侧平面侧平面例题：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影ABCDEFHILKOJMN四、平面上的点和直线四、平面上的点和直线 点和直线在于面上的几何条件是： (1)点在于面上，则该点必定在于面上的一条直线上。 (2)直线在于面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题： 判别已知点、线是否属于平面； 完成已知平面上的点和直线的投影； 完成多边形的投影。 1、平面内的点、平面内的点点在平面内，则该点必在已知平面内的一条直线

8、上2、平面内的直线、平面内的直线 如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线cb ba aaabcbbaaccAC CB BM Maabcmmmmm m 若一直线通若一直线通过平面上的两点过平面上的两点，则此直线在该，则此直线在该平面上。此直线平面上。此直线上的任意点都在上的任意点都在该平面在上。该平面在上。new例：判别已知点、线是否属于平面例：判别已知点、线是否属于平面例：完成多边形的投影例：完成多边形的投影YW c aY c b a b a b c m m m

9、 例：例：已知点在平面三角形上，作已知点在平面三角形上，作出点的三面投影。出点的三面投影。 练习练习：求作平面梯形：求作平面梯形ABCDABCD上的梯形上的梯形EFGHEFGH的水平投影。的水平投影。 解：解：adegfh1c2bdefc1ag2hb练习：已知平面四边形练习：已知平面四边形ABCDABCD的水平投影的水平投影abcdabcd和正面投和正面投影影a a b b d d ，试完成四边形的正面，试完成四边形的正面投影投影。解：解：平面和直线投影特点平面和直线投影特点 实形性：投影反映实形。 直线或平面平行于投影面时。 积聚性：投影积聚成一点或一条线。 直线或平面垂直于投影面时。 类似性：投影成为缩小的类似形。直线或平面倾斜于投影面时。例：例：已知平面的两投影，求第三投影。已知平面的两投影，求第三投影。new例：找出图中所标各例：找出图中所标各面的第三投影，并判断面的第三投影，并判断它们的空间位置。它们的空间位置。1322水平面水平面侧平面侧平面铅垂平面铅垂平面实形实形PQBFECp 练习：找出投影图中所标的平面、平面及练习：找出投影图中所标的平面、平面及、直线的三投影，并判断它们的空间位置。、直线的三投影，并判断它们的空间位置。q