北京海淀区2015届高三上学期期中练习数学理试题版含解析

1、如14-2015年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年基本一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。1 .本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。2 .试卷总体难度与去年类似，但是难易程度的分布与去年期中考试不同，更类似于2014年的高考真题的难度分布，即常规基本问题的难度下降，产生了很多“送分题”；但是中档问题考核方向不变，但是考核方法有所改变，增强了知识

2、方法之间的综合和深入理解知识后的灵活视同；对于难题而言，从命题和设问的角度可以看出，依旧本着考察数学思想、思维方法的方向，同时鼓励归纳猜想的特征依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方法有明确的认识，而不是简单记忆。值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并不是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。3 .由于具备以上特征，本次考试相比之前的考试具有了更好的区分度，靠着对于题目“熟悉”才能入手的考生无法在此次考核中获得较高的分数，更加强调了知识和概念的理解，以及方法背后隐含的数学思想。通过以上分析，高三的数学复习，题海战术与高

3、考的要求是相违背的，是一种低效的复习方式。应在对基础知识和概念的理解上多下工夫，思考和总结与做题并重，特别是要注重对重要数学思想和思维方法的训练和体会。【试卷分析】一、选择题部分1.设集合A=xWR|xA。，B=xWR|-1xW2,则AB=()A.1-1,:B.1,二C.1,21D.1-1,1【分析】本题考查集合的表示与运算，难度不大，掌握表示方法、了解运算概念即可解决。集合的核心考察主要就集中在集合的表示和运算上，常与基本的解不等式结合考察；同时还要强调，集合作为基本的数学语言，考生应该注意掌握，可以读懂用集合语言表述的答案，同时也可以灵活使用集合语言表述数学问题。【解】C.A=(1,),B

4、=-1,2,通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为x三R|1<x<2,即1,21,故选C.44442.已知向量a=(2,1),b=(3,x),若ab=3,则x=()A.6B.5C.4D.3I-【分析】本题考察平面向量的坐标表不及坐标表布下的点乘运算(a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab=x1x2+必丫2),考核难度较低，属于基本的运算方法的考核。对于这部分的考核，考生需要注意，向量的坐标表示和基本运算属于常规的运算工具，考生应该把重点放在这种运算的应用上，结合应用之后的向量问题的难度较大，而且重点的难度不在于向量，多在基本的代数运算，可以参考2013年重庆高考第10题。【解

5、】D.43根据平面向量坐标下的运算法则，可知a匕=2父3十(-1)x=6-x=3,求解方程可以得到x=3,故选D.3.若等比数列an满足a1+a3=5,且公比q=2,则徭+a5=()A.10B.13C.20D.25【分析】本题考察等比数列的基本性质，难度不大，但入手角度较多。对于做题经验较为丰富的同学，可以选择猜想实验，即可以轻松发现本题的数列通项为an=2n，可以直接求得答案；或者使用等比数列的性质去解决，这是一种经典的“对应项”问题，即a1与改对应，a3与a5对应，则加和可以公比推导；亦或者使用等差等比数列中最基本的“基本量法”建立关于基本量司和q的方程，求解基本量取处理问题。【解】C.方

6、法一：根据观察，数列可以为1,2,4,8,16,.,即an=2n/,那么a3+%=4+16=20,故选C.方法二：对于a3+a5=a1q2+a3q2=4（a1+a3又2+a3=5,则a3+a5=4黑5=20,故选C.方法三：对于a1+a3=a1+a1q2=a1+4al=5,解方程可得，a1=1,那么通项an=2n,可知徭=4,a5=16,则a3+a5=20,故选C.（n）4.要得到函数y=sin2x+I的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）3A.向左平移三个单位B.向左平移三个单位36C.向右平移工个单位D.向右平移工个单位36【分析】本题考察三角函数的图象变化的基本方法，难度中等，但是包

7、含很多细节，容易导致考生失误，常见的关注点有如下三点：（1）在自变量前存在系数时，要注意平移的大小，平移是针对于X的变化，而不是函数内部整体；（2）关注两个图象关系，哪个是原始的函数图象，哪个是变化后的函数图像，避免审题失误；（3）关注变化前后图象的函数名，若问题是从cos变为sin（或反之），要注意应先利用诱导公式变名后，再利用图象变化原则进行变化。【解】B.y=sin2,x+Hi6,明显是利用首先分析哪个是原始函数，本题中，原始函数为y=sin2x,要将其变化为JIx+'替换x,再根据“左加右减”的原则可知，应该向左平6移二个单位，故选B.6i13.11c5.设a=-I,b=log

8、2-,c=log23,则（）23D.cbaA.abcB.cabC.acb【分析】本题是一种十分常见的考核方法，即数大小的比较，这类型问题处理方法主要有两种：（1）利用函数单调性解决数的大小比较；（2）利用对数指数函数的函数值的大小，与“分界点”进行比较，得到结论。本题则需要使用方法（2）,使用十分常规的“分界点”0和1,。这类型问题在近些年趋向于复杂，不单单只考核对数和指数，又是还会结合一些特殊的三角函“一，1数，例如sin,sin1等;另外，也会出现一些不是0和1的分界点，如判断log52和log732的大小时，选择分界点1才可以做出（10g52c10g5v5=1=log7J7<log

9、73）。22【解】B.113,一1一八，c.对于a=,则0<ac1；对于b=log2,则b父0；对于c=log23,则c>1,那么2 3可得b<0<ac1cc,那么c>a>b,故选B.，口“11,6.设a,bWR,则“abA0且a：>b”是“一<一”的（）abA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】本题是结合不等式的基本性质考核充分必要条件，难度适中，充分必要条件是高考的必考题型之一，这类型的考核以充分必要条件为框架，结合不同的知识点进行考核，多是在考核这个结合着的知识点的细节，北京近两年结合的都是数

10、列的知识点，所以，充分必要条件问题的复习重点不应该过多点的放在充分必要条件上，而是要放在其余的知识细节上。【解】A.，11一f(x由于ab>0,可知a,b同号，对于函数f(x)=-而后，在(-«,0/口(0,收)这对于3bA0且a>b”的充分性考核，可以有两种方法：第一种方法可以采用函数x11两个区间单调递减，由于a>b,则f(a)<f(b),即一<一。第二种万法单纯使用不等式ab性质，由于a>b,左右分别先同时除以a,再同时除以b,由于ab0,则a,b同号，若11,八一均大于0,则两次除法不变方，可得g>一；若a,b同时大于0,则两次除法变

11、了两次号，1 1一,最终并没有变化，同样,那么可知条件“ab>0且aAb”具有充分性。对于其必要性ba的考核，可以找出明显的反例，即a<0但bA0,是明显的反例，故不具备必要性。故选A.-x,x:07.已知函数f(x)=«L，若关于x的万程f(x)=a(x+1)有二个不相等的实数根,，卜x,x-0则实数a的取值范围为()1a2,二)B.0,二C.0,1【分析】本题属于常规的函数与方程的设问方法，利用函数图象的交点个数来判断方程根的个数，此处有三个不相等的实根本质是y=f(x)的图象和y=a(x+1)有三个交点。图象交点的研究需要对于常见的图象绘制了如指掌，同时，参数变化对

12、于图象的影响也需要掌握良好。就本题而言，综合程度较高，但是仍然属于常见的综合问题，把切线、直线方程、分段函数、方程与函数的内容通过图象的载体结合在一起，本题需要注意切线起到的特殊作用，很多函数问题的“临界点”都是切线，本题图象如下图所示：分段函数和过定点（-1,0）的直线在如上图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示:但是，斜率不能无限下降，当斜率等于0时，就只存在一个交点，当斜率继续减小时，交点个数不会超过1个。可知满足条件的直线应该在切线和x的范围内。对于此类型问题，核心的处理方式类似，但在高三的复习中，务必关注切线的

13、“临界”作用。【解】D.根据上述分析，首先计算切线斜率，假设直线与y=JX的切点为（Xo,y。）,对函数求导可.1，一一得丫'=一产，那么可以得到如下三个方程:2.xy0=ax01y0=，讲后两个方程代入到第一个1a二-2”。方程中，得到Jx=1=(x0+1),即2x02xo1=%+1,解得=1,从而余率a=产2x01一，根据分析可知，若要有二个交点，则斜率aw（0,）,故选D.28.设等差数列an的前n项和为Sn,在同一个坐标系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分图象如图所示，则（上an(Sn)0.7-0.4-0.878.,*nA.当n=4时，Sn取得最大值B.当n=3时,sn取

14、得最大值C.当n=4时，Sn取得最小值D.当n=3时,sn取得最小值【分析】本题是综合考察等差数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高。首先，考生需要对于图象中三个点具体表示的含义有做出具体详尽的分析，三个点的含义是处理这个问题的前提和基础，要分析清楚含义，考生要有有条理清晰的分析能力及较好的数列基础。当分析出三个点的含义之后，对于前n项和的最值问题也存在两种做法，第一种可以直接利用题目中点的坐标完成数列通项公式的求解，第二种方法就是直接利用等差数列的性质进行处理。本题的难度较高，对学生的数学思维能力提出了挑战，十分符合北京高考的命题思路和方向，熟悉的知识点，但是给出了不同于以往的

15、题目特征。【解】A.首先分析图象中三个点各自的含义，若横坐标为8的点表示为,那么a7的情况分为两种：（1）a7A0,在这种情况下，根据图象可知，S必然小于0，但我们可以根据图象发现，a7A0,a8<0,等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于0的，那么前7项和S7>0,与图象给出的信息矛盾，故&>0不成立；（2）a7<0,在这种情况下，根据图象可以推理出前7项和&A0,但是，a7<a8<0,说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于0,那么前7项和必然大于0,又产生矛盾。说明横坐标为8处的点表示的是数列的前8项和&,

16、此时需要分析横坐标为7处的两个点各自的含义，若a7=0.7,则a8=8-S=-0.4-(-0.8)=0.4,说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么S8AS7>0,与图象信息矛盾，故a7=-0.8,6=0.7,0=0.4,可以解得出=S8-S=-1.1,可知等差数列公差为d=-0.3,接下来可以有两种基本思路去处理。方法一：直接求解数列通项，根据公差d=-0.3,解得a1=1,那么可以解得前n项和的表d2d2达式为Sn=dn2+a1-dn=-0.15n2+1.15n,可知其对称轴2121.1511.5n=，距它最近的整数为n=4,故其在n=4时取最大值，故选A.2-0

17、.153方法二：从前n项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知，a7=-0.8,那么a6=-0.5,a5=-0.2,a4=0.1,可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前n项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A.二、填空题部分9.设复数z=-，则z=.1-i【分析】本题考察复数运算中的模的运算，虽然简单，但是方法的选择不同也会带来不同的效果。复数的运算在高考的考核中难度较低，通常是填选的前几个基础问题，重点在于掌握基本的运算法则和复平面的理解。本题中模的运算也可以有两种手段，第一就是直接对复数z进行分母实数化处理，从而得到a+bi的形式，利用|z|=

18、，a2+b2处理，第二种处理方法可以利用复数除法的性质，即亘=且，以此直接求解。复数难度不大，掌握基本的方Z2法可以直接求解，若要进行最有效最快速的求解，还需对这部分的常见性质有所掌握。方法一：首先进行分母实数化处理，即ii1iii2i-111.Z=2=十i，1-i1-i1i1-i222方法二：根据复数运算的除法性质，可知z=Jr，其中i=1,1-i=42,故1-i|1-i|12+22=f=,故填,222xa10 .已知函数y=2的图象关于y轴对称，则实数a的值是【分析】本题考察函数的基本性质，本题处理的方法如果不同，那么本题侧重的知识点就有所不同，但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解

19、。第一种入手的方法就是从条件“关于y轴对称”入手，得知函数为偶函数，从而利用偶函数的代数性质，进行求解；另外一种处理手段是通过解析式y=2卜划对原始的y=2x图象带来的图象变化入手可以解得问题，或者直接使用图象变化的二级结论，即y=f(|x-a|)的图象关于x=a对称，利用二级结论解决小题是最快的求解手段，而且，近几年北京高考对于函数图象变化的考核明显增多，望考生在后续复习时加大关注力度。【解】0方法一：由于函数图像关于y轴对称，那么函数为偶函数，那么2r加=274a,根据指数函数的单调性可知，x+a=-x+a,只有当a=0时，等式恒成立，故填0.方法二：根据函数图像的变化规律可知，函数y=2

20、x*L由函数y=2x得到，首先将函数y=2x关于y轴进行翻折，可以得到函数y=2x,此时函数关于y轴对称，再将图象向左平移a个单位得到y=2x*，此时函数关于x=-a对称，根据题目条件可知对称轴为y轴,故*=-a=0,故填0.【注：此法结论可以当作一个二级结论记下，在考试小题求解中直接使用】11 ./xsinxdx=31【分析】本题考察基本的定积分运算，难度不大,但同样可以从两个角度入手，其一就是常规的定积分运算，其二就是利用定积分的几何含义进行分析【解】0方法一:jiixsinxdx=2x-cosx2一cos二2-JI-cos(-)=0,故填0.方法二：由于定积分性质可知,对于奇函数，若积分

21、对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为0（通过图像也可以判别），故填0.12 .为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位:20tmg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C一，则经过h后池水中药品的t4浓度达到最大。【分析】本题直观从题面看的话是一个函数应用问题，但本质上只是一个均值不等式的应用问题，经典的一次比二次的代数式最值求解，这种最值求解也经常在解析几何中的最值问题中出现。当然，本题也可以理解为对勾函数的问题，但对勾函数的最值求解也可以用均值不等式求解。本题如果选择求导找最值同样可以，但是难度较大，不建议。【解】2、，_20t厂0202-t2t方

22、法一：利用导数研究函数单调性，其关系式C=-,求导可得C'=一2t4t24当tw（0,2州，C'a0,函数递增，当tw（2,+=）,C'<0,函数递减，可知，当t=2时,函数取最大值，故填2.方法二：对于解析式2020口tt20_,4<-4=5,当t=时取得最值，此时t=2,故填2.13.如图所示，在AABC中，D为BC边上的一点，且TTBD=2DC，若AC=mA也nAm,nwR）,则m-n=.【分析】本题考察向量的线性表示，属于常规问题，难度适中，可以通过两个思路去解决问题，第一，利用几何关系处理问题，通过建立平行线寻找几个向量的关系；第二，则可以使用向量

23、之间的相互表达的手段去处理，或者直接使用共线定理（即：若A,B,C共线，且AB=ABC,则OB=OA+'-OC)。;1"1【解】-2方法一：由于BD=2DC,则BC=3CD，其中BC=ACAB,CD=ADAC,那么BC=-3CD可转化为AC-AB=-3(AD-AC),可以得到2AC=-3AD+AB,即13AC=AB+AD,则22方法二：直接利用共线定理,1 3-13m=,n=,那么m-n=-二一2,故填一2.2 222一一1一一11-31BC=-3CD,则九二3,则AC=AB+AD,则221 3-13m=,n=,那么m-n=-2,故填2.2 222方法三：利用几何方法，如右图

24、所示构造辅助线，做AB的2，TT三等分点E,根据平行线等分定理则DE=AC,在新构造的AAED中，ED+AE=AD,3又ED=2Ac3,2r1-*口,那么一AC十一AB=AD,可以得到33一1313则m=-一，n=，那么m_n=_-=_2,故填一2.222214.已知函数f（x）=Asin（cox+邛）（A,®,中是常数，A>0,o>0）的最小正周期为n.设集合M=直线l|1为曲线y=f（x）在点（xo,f（xo）处的切线，xowb,n.若集合M中有且只有两条直线相互垂直，则co=;A=.【分析】本题是一个综合性较强的考题，与往年14题的命题思路有些不同，重点放在了知识的

25、综合和深入理解上。题目利用三角函数为基本背景，以切线关系为桥梁，代数的数值关系为核心构成的，同时利用集合的数学语言描述问题，内容十分丰富。首先需要理解集合M是一个切线集合，同时x0wb,n）这个条件要特别注意，这说明集合M是一个完整周期内的全部切线，所以对于只影响左右位置的参数邛对于本题无关紧要。那么这道题目本质就是在说，三角函数一个周期内只存在一组相互垂直的直线，要去求出参数A的值，那么我们就要关注所有的切线斜率及其之间的关系，这个斜率构成的集合中，只有两个斜率乘积为-1即可。11【解】2,-22二由于函数的周期为冗，则丁=n，可以解得a=2,那么函数为f（x）=Asin（2x+中）,接下来

26、求解函数在一个周期内的所有切线的斜率，f'（x）=2Acos（2x+邛），由于xo可以取遍一个周期内的所有的点，故cos（2x0+邛）的范围为11,1，则f'（x0产I2A,2AL那么集合M中所有的直线斜率取值范围为-2A,2A，那么要有在这个集合中只存在两个数互为负倒数。对于区间l-2A,2A1而言，其负倒数的对应区间为111.一1、一.,-U-,+ocI,若区间-2A,2A中有两个值互为负倒数，则其与对应的负倒11.1数区间的交集中有且只有两个兀素，那么=-2A（或=2A）,解得A=±,又2A2A21A>0,故A=.2三、解答题部分15.已知函数f(x)=s

27、inIn)x-sinlx.,3（i）求f-j的值;2（n）求f（x）的单调递增区间.冗、.冗.冗,工11八【解】（I）f（一）=sinsin（-+）=1一一=一.（3分）222322(n)f(x)=sinx-sin(x).,冗.冗、，_八、=sinx(sinxcos-+cosxsin)(5分)331731v3冗=sinx-(sinxcosx)=-sinx-cosx=sin(x).22223(9分)冗冗函数y=sinx的单调递增区间为2k：t,2k冗十(kwZ),22兀兀.兀_由2k冗一一Wx2k冗+一(k=Z),111分)2325得2ku_<x<2k冗*(k匚Z).6 65冗一、所

28、以f(x)的单调递增区间为2kL,2k(k=Z).(13分)66116.已知an是各项均为正数的等比数列，&=一，且a1，a3,-a2成等差数列2（I）求Qn的通项公式;(n)求数列an-n的前n项和Sn.【解】(i)因为a1，a3,a2成等差数列,所以2a3=a1-a2.1一一设数列an的公比为q(q>0),由4=万可得C12112-q-q,（2分）（4分）222即2q2q-1=0.解得:1，人q=或q=1（舍）.2（5分）所以an112（2）n12n（7分）(H)由(I)得:1an-n=-n.2n一1111所以Sn1-2-3III-n222232n（8分）1111-p?IH?

29、-1-2-3-IH-n（9分）1（1.1）2（2n）n（n1）1-12n（n1）17.如图所示，在四边形ABCD中，/D=2/B,且AD=1,CD=3,cJ3(I)求MCD的面积;(n)若BC=2卮求AB的长./?【解】（I）因为/D=2/B,cosB=321所以cosD=cos2B=2cosB-1二一一3（3分）所以22,2sinD=.1-cosD=3因为AD=1,CD=3,112一2所以ACD的面积S=ADCDsinD=乂1乂3乂=近223（n）在ACD中,_2_22_AC=ADDC2ADDCcosD=12.所以AC=2,3.ACAB因为BC=2j3,=,sinBsin.ACB2.3ABA

30、BABABsinBsin（二-2B）sin2B2sinBcosB2、3sinB3所以AB=4.(5分)(7分)(9分)(11分)(13分)218.已知函数f(x)=2alnxx+1.(i)若a=1,求函数f(x)的单调递减区间；(n)若a>0,求函数f(x)在区间1,收)上的最大值；(出)若f(x)W0在区间1,收)上恒成立，求a的最大值.【解】(I)当a=1时，f(x)=2lnxx2+1.2f,x)=2_2x=_2(x_1),x>0.xx-2(x-1)令f(x)=0<0.x因为x0,所以x1.（2分）（3分）所以函数f(x)的单调递减区间是(1,收).（4分）/、2a-2(

31、x2-a)八(n)f(x)=-2x=,x0.xx令f'(x)=0,由aa0,解得xi=yfa,X2=-va(舍去).(5分) 当y<1,即0<aM1时，在区间1,代)上f'(x)<0,函数f(x)是减函数.所以函数f(x)在区间1,+=)上的最大值为f(1)=0;(7分) 当ja>1,即a>1时，x在1,收)上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表x1(1,忖c西,十)f'(x)+0-f(x)0alna-a+1所以函数f(x)在区间1,十比)上的最大值为f(J&)=alnaa十1.(1。分)综上所述：当0<aW1

32、时，函数f(x)在区间1,上)上的最大值为f(1)=0;当a>1时，函数f(x)在区间1,十比)上的最大值为f(«)=alnaa+1.(出)由(n)可知：当0caW1时，f(x)Ef(1)=0在区间1,收)上恒成立;(11分)当a>1时，由于f(x)在区间1,Ja上是增函数，所以f(Ja)>f(1)=0，即在区间1,y)上存在x=J1使得f(x)>0.(13分)综上所述，a的最大值为1.(14分)n1an19.已知数列an的刖n项和Sn=(n=1,2,3,.).2(i)求a1的值；(n)求证：(n2)an+1=(n1汨1(n之2)；(出)判断数列an是否为等差

33、数列，并说明理由.【解】(D解：由题意知：Si=上生，即ai=上电.22解得：a1=1.(2分)(II)证明：因为Sn=n(1+an)(n=123,|),2(n-1)(1-ani)-八所以Sn=1(n02).(4分)2因为an=Sn-Sn(n>2).(6分)所以an=nan1(n一加,即(n-2)an1=(n-1)anJ(n-2).2(7分)(出)数列an是等差数列.理由如下：(8分)又Sn(n-2)(1+"(n>3),由(n)可得：2-一1).1-2)an-=Sn厂S-2(3).(")nan_2(n_1)anJ(n_2)anJ以anan二一,2即(n2)an2(n2)an+(n2)an=0.(11分)因为n>3,所以an2an+anj=0,即