刘盼计算方法试验

1、计算方法实验报告学号2015216772姓名刘盼班级计算机一班实验项目名称插值与拟合一、实验名称实验一插值与拟合二、实验目的：1,明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；2 .编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；3 .理解最小二乘拟合，并编程实现线性拟合，掌握非线性拟合转化为线性拟合的方法4,运用常用的插值和拟合方法解决实际问题。二、实验内容及要求，一1-(1)对于f(x)=7，一5WxM51+x2要求选取11个等距插值节点，分别采用拉格朗日插值和分段线性插值，计算x为0.5,4.5处的函数值并将结果与精确值进行比较。输入：区间长度，n(即n+1个节点)，预测

2、点输出：预测点的近似函数值，精确值，及误差(2)已知&=1,J4=2,，9=3,用牛顿插值公式求J5的近似值。输入：数据点集，预测点。输出：预测点的近似函数值四、实验原理及算法描述1. Lagrange插值法的基本原理：名精确函数y-f(x)非常里杂或未知，在系列下点XoXn处测得函数值yo=f(xo),ny=f(xn),布望由此构造个间单易算的近似函数g(x)定f(x),满足条件g(xi)-f(xi)(i=0,。n)里的g(x)称为f(x)的插值函数，由插值函数可以去近似估计f(x)在一些未知点处的函数值。最常用的插值函数是多项式插值。所谓多项式插值即求n次多项式R(x)=a0+a1

3、x+anxn使得Pn(Xj)=f3)基于基函数的拉格朗日插值是构造多项式插值最基本方法。也是推导数值微积分和微分方程数值解的公式的理论基础。nnx-X；拉格朗日插值公式为：pn(x)-Zyklk(x)其中1k(x)nks2xk-xjj#2. Lagrange插值算法描述：(也可以是算法流程图)步骤1：构造xo,x1,L,xn处的插值基函数lo(x)J(x),L,ln(x),其中，插值节点K处的插值计算机科学与工程学院基函数li(x)为li(x)=(x-Xo)L(x-Xi-1)(X-Xi+1)L(x-Xn)(Xi-xo)L(x-xi-i)(xi-x+i)L(xi-xn)步骤2：以yi作为li(x

4、)的系数，使得yli(x)通过插值点(Xi,yi)；步骤3：把所有的yJi(x)线性叠加，得到通过所有插值点(X,y),i=0,1,L,n的插值函数nLn(x)=?yJi(x)。i=0Lagrange插值伪代码：给定n个插值点(Xo,yo),(Xi,yi),L,(4,yn)的情况下，求插值函数Ln(x)在点t处的函数值。/*输入参数* X=(X0,Xl，Xn),插值节点* y=(yo,yi,yn)；被插函数f(x)在插值节点处的函数值* t求插值函数Ln(X)在t处的函数值* 返回值插值函数Ln(X)在t处的函数值* /五、程序代码及实验结果1 .主程序intmain()(doublex11=

5、-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,y11=0.038461,0.058823,0.100000,0.200000,0.500000,1.000000,0.500000,0.200000,0.100000,0.058823,0.038461;doubleu1,u2;doublem1,l1,p1,m2,l2,p2;printf("请输入要计算的x的值：")；scanf("%lf",&u1);m1=1/(1+u1*u1);printf("x=%lf时的精确值为：%fn",u1,m1);printf("x

6、=%lf时的拉格朗日差值近似值为：fn",u1,Lagrange(x,y,u1);拉格郎日插值printf("x=%lf时的分段线性差值近似值为：%fn",u1,PiecewiseLinear(x,y,u1);/分段线性插值l1=m1-Lagrange(x,y,u1);p1=m1-PiecewiseLinear(x,y,u1);printf("x=%lf时的拉格朗日误差为：%fn",u1,l1);printf("x=%lf时的分段线性误差为：%fn",u1,p1);printf("请再输入要计算的x的值："

7、;)；scanf("%lf",&u2);m2=1/(1+u2*u2);printf("x=%lf时的精确值为：%fn",u2,m2);printf("x=%lf时的拉格朗日差值近似值为：%fn",u2,Lagrange(x,y,u2);/拉格郎日插值printf("x=%lf时的分段线性差值近似值为：%fn",u2,PiecewiseLinear(x,y,u2);/分段线性插值计算机科学与工程学院I2=m2-Lagrange(x,y,u2);p2=m2-PiecewiseLinear(x,y,u2);pri

8、ntf("x=%lf时的拉格朗日误差为：%fn",u2,l2);printf("x=%lf时的分段线性误差为：%fn",u2,p2);newton();return0;2 .Lagrange插值子程序：doubleLagrange(double*x,double*y,doublexx)/拉格郎日插值inti,j;double*a,yy=0.000;a=newdouble11;for(i=0;i<11;i+)ai=yi;for(j=0;j<11;j+)if(j!=i)ai*=(xx-xj)/(xi-xj);yy+=ai;deletea;retu

9、rnyy;3 .分段线性插值子程序doublePiecewiseLinear(double*x,double*y,doubleinput)/分段线性插值doubleoutput;inti;for(i=0;i<10;i+)if(xi<=input&&xi+1>=input)output=yi+(yi+1-yi)*(input-xi)/(xi+1-xi);break;returnoutput;4 .牛顿插值子程序voidnewton()/牛顿插值计算机科学与工程学院floatx100,y100,c100100,x1,xp,wx;intn,i,j;cout<&

10、lt;"输入数据组的个数"<<endl;cin>>n;for(i=0;i<n;i+)cout<<"当前输入第"<<i<<"组数据"<<endl;cin>>xi;cin>>yi;for(j=0;j<n;j+)if(j>0)for(i=0;i<n-j;i+)cij=(ci+1j-1-cij-1)/(xi+j-xi);elsefor(i=0;i<n;i+)ci0=yi;xp=y0;charm='y'w

11、hile(m='y')cout<<"请输入你要求的点的X值："<<endl;cin>>x1;for(i=1;i<n;i+)wx=1;for(j=0;j<=i-1;j+)wx=wx*(x1-xj);xp=xp+c0i*wx;cout<<"newton插值的结果为："<<xp<<endl;cout<<"是否想继续计算(Y/N)"<<endl;cin>>m;实验结果：计算机科学与工程学院ES阳道11为为的M

12、近胃为M.僵重上0.圈襄误4:耋误误盥即筑朗翳精一兴已兴空Q拉分数.JrrrJTTTJTTTTT-JTTFmkJTTJTT-JTTJTrjmyJ-二、二.-二.：4.-.1.-4.-二.二.-二.-CT-3J.m_BBhtmb_bhJtT11C:Uc#rtac»fDfcktop12府输入你要求的点的X值:5 _neffto口插值的结果为；2.26667O如图一所示。计算机科学与工程学院21.510.50-0.5-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81六、实验总结1 .拉格朗日插值在高次插值时同原函数偏差大、存在龙格现象，高次插值多项式不收敛。2 .牛顿插值和拉格朗日插值的区别和联系