人教版数学七上数轴上的动点问题

1、数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。题1甲乙两地相距200米，小明从甲地步行到乙地，用时3分钟，小明的平均速度为多少米每秒?【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地乙地10，一【解法一】直接利用：速度=路程+时间解决。200+180=一(米/秒)910【解法二】用方程解。设速度为比/秒，根据路程=时间x速度，得：200=180x,解得x=一。9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数

2、轴上的运动问题了。【题2】如图，数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止。设运动时间为t。(1)用含t的代数式表示电子蚂蚁P运动的距离；(2)用含t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；(3)用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。(4)当电子蚂蚁运动多少时间后，点P为线段AB的三等分点？APBo200【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度x时间。其余的点的距离，利用数轴上两点间距离公式解决

3、。(1)根据路程=速度x时间，有：AP=t；AP=t,故点P表示的数为t；(3)点B表示的数为200,点P表示的数为t,且P在B左边，故PB=200-1。(4)若P为AB的三等分点，有两种情况：AP=2PB,即：t=2工(200-t),解得t-00秒；32AP=PB，即：2t=200-t,解得t=90秒；3现在，我们将题2一般化，线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：【题3】如图，数轴上有两点A、B,点A表示的数为a，点B表示的数为b,且数A和数B的距离为200个单位长度，一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止。设运动时间为to(1)用含a的

4、代数式表示数B;(2)用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数;(3)用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。ApB««ab【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。(1)由数轴上两点间距离公式可得：b-a=200,整理得：b=200+a;(2)由路程=速度x时间得，AP=t,即A、P两点间的距离为t；同(1)可得，点P表示的数为a+t。由于数b数P,故根据数轴上两点间距离公式有：BP=b-(a+t)=a+200-(a+t)=200-1。我们发现，只要线段AB的长度固定，点P到B的距离跟A、B表示的数无关。

5、接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题4】。题4如图，数轴上有两点A、B,点A表示的数为0，点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发，以2个单位每秒的速度由B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为to(1)当电子蚂蚁P、Q相距40个单位长度时，求运动时间t;(2)用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。ApQB«*«0200【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。(1)在运动的过程中，点P和点Q的位置有三种情况：P在

6、Q的右边，P和Q重合，P在Q的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但P继续往B运动，故也得考虑这种情况。P、Q都在运动时，0秒Et100秒时，点P表示的数为t,点Q表示的数为200-2t,故P、Q两点间的距离为200-2t-to根据题意有：200-2t-1=40o很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。Q停止运动,P继续运动，此时PQ距离100,故不符合题意。(2)P与Q相遇之前，即P在Q的左边，此时有数Q数P,0秒Mt3°秒，此时：3PQ=200-2t-t=200-3tP与Q相遇后，Q停止运动前，即Q在P的左边，此时有数P数Q

7、,变秒Et100秒，此时:3PQ=t-200-2t=3t-200Q停止运动，P继续向B运动直至停止，数Q为0,数P数Q,100秒tE200秒，此时：PQ二t-0二t【提炼】第(1)问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看题5和【题6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数。题5如图，数轴上有两点A、B,点A表示的数为0，点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发，以2个单位每秒的速度由B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为to(1)当P为AQ中点

8、时，求运动时间t;(2)当Q为BP中点时，求运动时间toApqB0200【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t的代数式表示出数Q、数P,利用两点间距离公式解题。(1)点P表示的数为t,点Q表示的数为200-2t,若P为AQ中点，有AP=PQ,即：t=2002t-t,解得：t=50秒；(2)点P表示的数为t,点Q表示的数为2002t,若Q为BP中点，有PQ=BQ,即：2002t-t=2t,解得：t=40秒。【题6】已知数轴上A、B两点对应的数分别是-2和4,P为原点。若A、B、P三点分别以1个单位每秒、4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动，当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点

9、时，求运动的时间。APB-204【分析】按理说有三种情况，A为P、B中点，B为A、P中点，P为A、B中点，但结合条件，发现A不可能为P、B中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t,则运动过程中，点A表示的数为t-2,点P表示的数为4t,点B表示的数为4+2t。B为A、P中点，有AB=BP,即：4+2t-t+2=4t-4-2t,解得：t=10秒；P为A、B中点,有AP=PB,即：4t-t+2=4+2t-4t,解得：t=0.4秒；接着，我们进一步加深难度，将动线段的等分点放进来，主动点带从动点，看处理是否发生变化呢？请看【题71。【题7】如图，点A表示的数是-3,点B表示的数是1,若Q是点B右侧一

10、点，QA的中点为M,QB的四等分点为N(N靠近点Q),当Q在B的右侧运动时，有两个结论：1_QM+3_BN的值不变，QM-2_BN243的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你判断正确的结论，并求出其值。AMBNq-301【分析】此题有一难处，是Q点的速度未知，一些学生就不知该如何处理了。处理方式，还是比较简单的，直接设BQ=m即可。则点Q表示的数就可以用含m的代数式表示了。设BQ=m,则点Q表示的数为m+1,AQ=m+1+3=m+4,QMAQ=m+2;BN=3BQ=3m,2744将QM、BN代入上面两个式子即可：1QM+3BN=1'm+2、=m+1,值与m有关；242(2J彳QM一，

11、BN=?+2一，父m=2,值与m无关；3234【解后反思】QM-2BN=m+2-2M3m=2的值与BQ的长度没有关系，只与AB的长度有关系，故3234可以将数A、数B推广到任意数，便得到了一般化的情况。【思考】线段(直线、射线)上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？最后，放几个题结束本文。题1如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为-8和12,点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t秒。(1)求经过两秒后，数轴点P、Q分别表示的数；(2)当t=3时，求PQ的值；(3)在运动过程中，是否存

12、在时间t,使得AP=BQ,若存在，求出t值；若不存在，说明理由。一AOB【题2】如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12;线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒。(1)当t=0秒时，AC的长度为;当1=2秒时，AC的长度为;(2)用含有t的代数式表示AC的长为.(3)当t=秒时,ACBD=5,当t=_秒时AC+BD=15.(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD,若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.ACB>-20312【题3】如图，E为线段AC上靠近点A的三等分点，B、D为线段EC上的两点，且满足CD=2BD。(1)若DE=6cm,求线段AB的长；AC(2)若图中所有线段的长度之和是线段DC长度的14倍，求的值；DC(3)若AC=15cm,EB=4cm,动点P从A点、动点Q从D点同时出发，分别以3cm/s、1cm/s的速度沿直线AC向右运动，是否存在某个时刻，使得BP+CQ=AB成立？若存在，求此时PQ的长度；若不存在，说明理