第十章能量法及其应用

1、目 录第一章第一章 绪论绪论及基本概念及基本概念第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第三章第三章 剪切剪切 第四章第四章 扭转扭转第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 第六章第六章 梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 第八章第八章 组合变形组合变形 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 第十一章第十一章 动荷载动荷载交变应力交变应力 第十章第十章 能量法及其应用能量法及其应用 附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质10-1 10-1 概述概述10-2 10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算10-3 10-3 单位载荷法（莫尔定理）单位载荷法（莫

2、尔定理）10-4 10-4 功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理10-5 10-5 用力法解超静定系统用力法解超静定系统第十章第十章 能量法及其应用能量法及其应用 在杆件的基本变形中，变形计算已经分析过，在杆件的基本变形中，变形计算已经分析过，比如：比如：能量法能量法主要是解决主要是解决变形问题变形问题10-1 10-1 概概 述述FFll1 EAlFlN MeMe pGITl q 6 3zBEIql 8 4zBEIqlw 在杆件的组合变形中，已经分析的是强度问题。在杆件的组合变形中，已经分析的是强度问题。其变形比较复杂，一般方法很难求解，其变形比较复杂，一般方法很难求解，工程中常

3、采工程中常采用一种较为简单但用一种较为简单但偏于安全偏于安全的方法的方法能量法能量法。CAB1F1rF2F2rFDzyx1m2m求求E点沿点沿y方向的位移？方向的位移？y EFx A求求A点沿点沿x方向的位移？方向的位移？FFBA/ AB求求A、B两点的相对位移？两点的相对位移？能量法的基本思路：能量法的基本思路： 外力在其相应位移上所做的功在数值上等于构外力在其相应位移上所做的功在数值上等于构件（或结构）所储存的变形能。件（或结构）所储存的变形能。WU 注意：注意：1.1.略去了动能、热能等能量损耗。（略去了动能、热能等能量损耗。（能量守恒能量守恒）2.2.在线弹性范围内。在线弹性范围内。3

4、.3.恒力功：恒力功： 变力功：变力功：lFW lFW 2110-2 10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算一、轴向拉压杆的变形能计算一、轴向拉压杆的变形能计算FFllFWU 21 EAlFlN 2222llEAUEAlFUN 或或注意：注意：1.1.轴力为变量轴力为变量qFl先计算微段的变形能，再积分。先计算微段的变形能，再积分。EAdxxFdUN2)(2 lNEAdxxFU2)(2qdx)(xFN)()(xdFxFNN 2.2.桁架的变形能计算桁架的变形能计算F桁架：由若干杆件所组成的结构，桁架：由若干杆件所组成的结构，这些杆件只承受轴向拉伸或者压缩这些杆件只承受轴向拉伸或者压缩变形。

5、变形。 整个桁架所储存的变形能整个桁架所储存的变形能是各杆所储存的变形能的总和。是各杆所储存的变形能的总和。 niiiNiEAlFU122二、扭转时的变形能计算二、扭转时的变形能计算 eMWU21 pGITl 2222 lGIUGIlTUpp 或或注意：扭矩为变量注意：扭矩为变量先计算微段的变形能，再积分。先计算微段的变形能，再积分。pGIdxxTdU2)(2 MeMe l力偶矩力偶矩Me所做的功（变力功）所做的功（变力功）l lpGIdxxTU2)(2三、弯曲时的变形能计算三、弯曲时的变形能计算 mWU21 zEIMl 2222 lEIUEIlMUzz 或或力偶矩力偶矩m所做的功（变力功）所

6、做的功（变力功）lAm 1.1.纯弯曲纯弯曲2.2.横力弯曲横力弯曲 横力弯曲时，梁的截面上有弯矩和剪力，且随截面位置变横力弯曲时，梁的截面上有弯矩和剪力，且随截面位置变动而变化，这时要分别计算弯矩和剪力相对应的变形能，但是，动而变化，这时要分别计算弯矩和剪力相对应的变形能，但是，对于细长梁（对于细长梁（l/ /h 5），剪力相对应的变形能比弯矩相对应的），剪力相对应的变形能比弯矩相对应的变形能甚小，可以略去不计。变形能甚小，可以略去不计。先计算微段的变形能，再积分。先计算微段的变形能，再积分。列出弯矩方程列出弯矩方程M(x)zEIdxxMdU2)(2 lzEIdxxMU2)(2是指对全梁积分

7、。是指对全梁积分。xdxlABFmzEI比如：求梁的弹性变形能比如：求梁的弹性变形能 ),0()(1axMACBzEI1 F2 Fa c b D1 x2 x3 x分三段列弯矩方程分三段列弯矩方程 ),()(2baaxM ),0()(3cxM lzEIdxxMU2)(2 czbaazazEIdxxMEIdxxMEIdxxMU033222201122)(2)(2)(是对全梁积分是对全梁积分例例1 1. 求梁的弹性变形能。求梁的弹性变形能。 求求wc解：解：求支反力求支反力0 0 bFlFmAB0 0 aFlFmBAFlaFB FlbFA ACBlb baFzEIFlbFA FlaFB x11 1x

8、22 2列弯矩方程列弯矩方程AC段段BC段段)0( )(111axxlbFxM )0( )(222bxxlaFxM ACBlb baFFlbFA FlaFB 求梁的弹性变形能求梁的弹性变形能 lzEIdxxMU2)(2 bzazEIdxxMEIdxxMU022201122)(2)(x11 1x22 2ACBlb baFFlbFA FlaFB bzazEIdxxMEIdxxMU022201122)(2)(11)(xlbFxM )(22xlaFxM bzazEIdxxlaFEIdxxlbF022201212)(2)(lEIFbaz6222 x11 1x22 2ACBlb baFFlbFA FlaF

9、B lEIFbaUz6222 求求wcC w 知道构件的变形能之后，而构件上只有一个主动力，根知道构件的变形能之后，而构件上只有一个主动力，根据构件所储存的变形能等于构件上的外力功，可求出此据构件所储存的变形能等于构件上的外力功，可求出此主动主动力相应的位移力相应的位移。CFwWU21 FUwC2 lEIFbaFlEIFbaFUwzzC362222222 2lba 若若zCEIFlw483 D wlEIFbaUz6222 x11 1x22 2ACBlb baFFlbFA FlaFB C w如是两个力，变形能如是两个力，变形能U可求，可求，CFwWU21 FUwC2 注意：只有一个主动力，才能求

10、出相应的位移。注意：只有一个主动力，才能求出相应的位移。C wDCwFwFW212121 DCwFwFWU212121 只有一个方程，无法求出只有一个方程，无法求出wc和和wD。1.1.构件（或结构）所储存的变形能在数值上等于构件（或结构）所储存的变形能在数值上等于 外力在其相应位移上所做的功。外力在其相应位移上所做的功。 FU21 线线位位移移力力， F角角位位移移力力偶偶， F2.2. 变形能是广义力或广义位移的二次函数，因此变形变形能是广义力或广义位移的二次函数，因此变形能对载荷是不能叠加的。（变形、内力、应力可叠加）能对载荷是不能叠加的。（变形、内力、应力可叠加）x )(xM)(xM

11、x )(xM 共同作用时共同作用时、21 FF单独作用时单独作用时1 F单独作用时单独作用时2 F)()()(xMxMxM x x )(xM)(xM x )(xM UFF共同作用时的变形能共同作用时的变形能、21 )()()(xMxMxM lzlzEIdxxMxMEIdxxMU2)()(2)(2 2 lzlzlzEIdxxMxMEIdxxMEIdxxM2)()(22)(2)(2 2 lzEIdxxMxMUU)()(21x x )(xM)(xM x )(xM UFF共同作用时的变形能共同作用时的变形能、21 单独作用时的变形能，单独作用时的变形能，11 FU )()()(xMxMxM lzEId

12、xxMxMUUU)()(21单独作用时的变形能单独作用时的变形能22 FU 21UUU 因此变形能对载荷是不能叠加的。因此变形能对载荷是不能叠加的。x x 3.3. 变形能只决定于变形构件的最后形状和载荷的最终变形能只决定于变形构件的最后形状和载荷的最终数值，而与载荷作用的先后次序无关。数值，而与载荷作用的先后次序无关。21 FF，再加，再加先加先加12 FF，再加，再加先加先加一一起起加加、21 FF最后变形能是一样的。最后变形能是一样的。比如比如: :一一起起加加：、mF C wB )( 根根据据叠叠加加原原理理zzCEImlEIFlw164823 zzBEImlEIFl3162 BCmF

13、wWU 2121 zzEImlEIFlF16482123 zzEImlEIFlm316212 1669612232mFllmlFEIz/2 l/2 lC1 w1B ：先先加加F zCEIFlw4831 zBEIFl1621 恒恒力力功功）(21222CBFwmW zEImlm321 1669612232mFllmlFEIzm C2 w2B ：再再加加m1121CFwW zCEImlw1622 zBEIml32 221212121CBCFwmFwWWU zEIFlF48213 zEImlF162 /2 l/2 l最后变形能是一样的：最后变形能是一样的：一一起起加加：、mF 1669612232m

14、FllmlFEIUz：再再加加先先加加mF, C1 w1B /2 l/2 lm C2 w2B /2 l/2 lC wB 4.4.一般来说，一般来说，变形能对载荷是不能叠加的。但如果构变形能对载荷是不能叠加的。但如果构件上有两种或两种以上的载荷，其中任意一种载荷在件上有两种或两种以上的载荷，其中任意一种载荷在另一种载荷引起的变形上如不做功，则此两种或两种另一种载荷引起的变形上如不做功，则此两种或两种以上的载荷所计算的变形能是可以叠加的。以上的载荷所计算的变形能是可以叠加的。比如：取微段分析比如：取微段分析)(d)( xMxM dx )( xM)(d)( NNxFxF )( NxF)(d)( xT

15、xT )( xT微段的变形能：微段的变形能：)(d)( xMxM dx )( xM)(d)( NNxFxF )( NxF)(d)( xTxT )( xTzpNEIxxMGIxxTEAxxFU2)d(2)d(2)d(d 222 lzlplNlEIxxMGIxxTEAxxFdUU2)d(2)d(2)d( 222是指对全梁积分。是指对全梁积分。组合变形的变形能计算。组合变形的变形能计算。5.5. 若构件上只有一个载荷作用，则载荷作用点（或若构件上只有一个载荷作用，则载荷作用点（或作用面）与载荷对应的线位移（或角位移）可以直作用面）与载荷对应的线位移（或角位移）可以直接利用关系式接利用关系式U=W求出

16、。求出。CFwWU21 FUwC2 B BmWU 21 mUB2 BCmFwWU 2121 一个方程，无法求出一个方程，无法求出wc和和 B。C wC wB 若梁上只有一个载荷作用，则载荷作用点所对若梁上只有一个载荷作用，则载荷作用点所对应的线位移可以直接利用关系式应的线位移可以直接利用关系式U=W求出。求出。CFwWU21 FUwC2 10-3 10-3 单位载荷法（莫尔定理）单位载荷法（莫尔定理）C w梁上有多个载荷作用，而要求梁上任意一点的位移？梁上有多个载荷作用，而要求梁上任意一点的位移？原原载载荷荷作作用用的的弯弯矩矩)(xM1 1.求原载荷作用时的变形能求原载荷作用时的变形能提出问

17、题：提出问题：比如：梁上载荷有比如：梁上载荷有F1、F2、m，求，求C点的位移点的位移wC。 lzEIdxxMU2)(22 2.在在C点加力点加力F，求变形能，求变形能作作用用时时的的弯弯矩矩FxM )( lzEIdxxMU2)(2 CC wC1 F原原载载荷荷作作用用的的弯弯矩矩)(xM作作用用时时的的弯弯矩矩FxM )( lzEIdxxMU2)(2总总总总3 3. F、F1、F2、m一次性加，求变形能一次性加，求变形能)()()(xMxMxM 总总CC wC1 FC1 FF lzEIdxxMU2)(2总总总总3 3. F、F1、F2、m一次性加，求变形能一次性加，求变形能)()()(xMx

18、MxM 总总 lzEIdxxMxMU2)()(2 总总 lzEIdxxM2)(2 lzEIdxxM2)(2 lzEIdxxMxM2)()(2 lzEIdxxMxMUU)()(U原载荷作用时的变形能原载荷作用时的变形能U力力F作用时的变形能作用时的变形能C1 FF 4 4. 先加先加F，再加，再加F1、F2、m，求变形能，求变形能CwFUUU 总总 lzEIdxxMxMUUU)()(总总 lzCEIdxxMxMwF)()()kN1 ,N11单单位位力力（令令 F lzCEIdxxMxMw)()(莫尔定理莫尔定理原原载载荷荷作作用用的的弯弯矩矩)(xM单单位位力力作作用用时时的的弯弯矩矩 )(xM

19、CC1 FF C1 FF C wC wC1 F1.1. 要求梁上某一点的线位移，则在该点加一单位力：要求梁上某一点的线位移，则在该点加一单位力：总结：总结： lzCEIdxxMxMw)()()(xM矩矩方方程程列列出出原原载载荷荷作作用用时时的的弯弯)(xM 矩矩方方程程列列出出单单位位力力作作用用时时的的弯弯CC wC1 F求求wc2.2. 要求梁上某一截面的转角，则在该截面加一单位要求梁上某一截面的转角，则在该截面加一单位力偶，用同样的方法可求出此转角。力偶，用同样的方法可求出此转角。 lzCEIdxxMxM)()( )(xM矩矩方方程程列列出出原原载载荷荷作作用用时时的的弯弯)(xM 矩

20、矩方方程程列列出出单单位位力力作作用用时时的的弯弯C C1 FC 求求C3.3. 要计算桁架的某一节点在某一方向的位移，则在要计算桁架的某一节点在某一方向的位移，则在该节点上沿该方向加一单位力。该节点上沿该方向加一单位力。NiF轴轴力力求求出出载载荷荷作作用用下下各各杆杆的的x 求求Fx A1NiF 的的轴轴力力求求出出单单位位力力作作用用下下各各杆杆 niiiNiNixEAlFF1 4.4. 要计算扭转中某截面的扭转角，则在该截面加一要计算扭转中某截面的扭转角，则在该截面加一单位力偶。单位力偶。 lpCGIdxxTxT)()( 载载荷荷作作用用下下的的扭扭矩矩)(xTC 求求单单位位力力偶偶

21、作作用用下下的的扭扭矩矩 )(xT5.5. 要计算结构上某两点的相对位移，则在该两点上要计算结构上某两点的相对位移，则在该两点上沿所求方向加一对方向相反的单位力。沿所求方向加一对方向相反的单位力。BA/ 求求FFAB11AB lzBAEIdxxMxM)()(/ 载载荷荷作作用用时时的的弯弯矩矩)(xM单单位位力力作作用用时时的的弯弯矩矩 )(xMBA/ 求求FAB11AB lzBAEIdxxMxM)()(/ 载载荷荷作作用用时时的的弯弯矩矩)(xM单单位位力力作作用用时时的的弯弯矩矩 )(xMFABBA/ 求求11ABNiF轴轴力力求求出出载载荷荷作作用用下下各各杆杆的的NiF 的的轴轴力力求

22、求出出单单位位力力作作用用下下各各杆杆 niiiNiNiBAEAlFF1/ 6.6. 要计算扭转中某两截面的相对扭转角，则在该两要计算扭转中某两截面的相对扭转角，则在该两截面加一对绕向相反的单位力偶。截面加一对绕向相反的单位力偶。 lpCAGIdxxTxT)()(/ 载载荷荷作作用用下下的的扭扭矩矩)(xTA/C 求求单单位位力力偶偶作作用用下下的的扭扭矩矩 )(xTCA1按照规定给予正负号，积分为正，则位移方向按照规定给予正负号，积分为正，则位移方向与单位力方向一致，积分为负，则位移方向与与单位力方向一致，积分为负，则位移方向与单位力方向相反。单位力方向相反。)()()()()()( . 1

23、xTxTxFxFxMxMNN 、2. 分段问题的讨论分段问题的讨论例例2 2. 各杆各杆EA相等，求相等，求C点的垂直位移点的垂直位移 cy126534aCFaa126534C1 niiiNiNiCyEAlFF1 载载荷荷作作用用下下各各杆杆的的轴轴力力NiF力力单单位位力力作作用用下下各各杆杆的的轴轴 NiF用用“设正法设正法”求轴力，并列表计算。求轴力，并列表计算。杆号杆号杆长杆长li i1 1aF0 00 02 20 00 03 3aF1 1Fa4 4a2F1 12Fa5 56 6a- -F0 00 0NiFNiF iNiNilFF a2a2F2 F2 2 Fa22FalFFiNiNi)

24、223( 126534aCFaa126534C1 61iiNiNiCyEAlFF 611iiNiNiCylFFEA )( 223 EAFaCy 例例3 3. 各杆各杆EA相等，求相等，求B点的水平位移点的水平位移 Bx126534aBFaa126534B1 61iiNiNiBxEAlFF 载载荷荷作作用用下下各各杆杆的的轴轴力力NiF力力单单位位力力作作用用下下各各杆杆的的轴轴 NiF 611iiNiNiBxlFFEA 杆号杆号杆长杆长li i1 1aF1 1Fa2 20 00 03 3aF0 004 4a2F1 12Fa5 50 00 06 6a- -F0 00 0NiFNiF iNiNil

25、FF a2a2F2 F2 FalFFiNiNi3 126534aBFaa126534B1 611iiNiNiBxlFFEA )( 3 EAFaBx 例例4 4. 杆杆EI相等，求相等，求B点的水平位移点的水平位移 Bx。注意：在求结构位移时，对于同时承受弯曲和拉压作用注意：在求结构位移时，对于同时承受弯曲和拉压作用 的杆件，可略去轴力与剪力对变形的影响。的杆件，可略去轴力与剪力对变形的影响。FACBab1ACB lzBxEIdxxMxM)()( 在在B点沿水平方向加一单位力点沿水平方向加一单位力解：解：分段列弯矩方程分段列弯矩方程 lzBxEIdxxMxM)()( 2 x)0 )( )( 11

26、111axxxMFxxMBC （，段段：)0 )( )( 222bxaxMFaxMAC （，段段：求求B点的水平位移点的水平位移 BxFACBab1ACB2 x1 x1 x bzazEIdxxMxMEIdxxMxM02220111)()()()( bzazEIdxaFaEIdxxFx020111)()( 323zzEIbFaEIFa10-4 10-4 功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理构件（或结构）所储存的变形能在数值上等于构件（或结构）所储存的变形能在数值上等于 外力在其相应位移上所做的功。外力在其相应位移上所做的功。外力所做的总功（变形能）只决定于变形构件外力所做的总功（变形

27、能）只决定于变形构件 的最后形状和载荷的最终数值，而与载荷作用的最后形状和载荷的最终数值，而与载荷作用 的先后次序无关。的先后次序无关。 下面利用这两点来建立在结构分析中很重要下面利用这两点来建立在结构分析中很重要的两个定理：的两个定理：功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理1 1 1 F11 w21 w1 2 F12 w22 w表表示示引引起起位位移移的的载载荷荷表表示示位位移移的的点点jiwji 21 WW 1 1. 先加先加，再加，再加1 1 F11 w2 F12 w22 w12122211112121wFwFwFW 2 2. 先加先加，再加，再加21 w11 w1 2 F

28、22 w1 F21211122222121wFwFwFW 212121wFwF 功的互等定理功的互等定理解释：解释： 力力在由力在由力引起的位移引起的位移w12上所做的功等于力上所做的功等于力在由力在由力引起的位移引起的位移w21上所做的功上所做的功功的互等定理功的互等定理1 F 21 w1 F 12 w讨论：讨论：212121wFwF 功的互等定理功的互等定理，令令21FF 2112ww 位移位移互等定理互等定理解释：解释： 一个力作用在点一个力作用在点1引起的点引起的点2的位移的位移w21等于此力等于此力作用在点作用在点2引起的点引起的点1的位移的位移w12相等相等列列1 1.求求wDD

29、wC wB C CDww 由位移由位移互等定理互等定理awCC zzBCEIFaEI)a(F416222 zzCDEIFaaEIFaaw44 32 列列2 2. 实测梁上实测梁上1、2、3、4等点的挠度。等点的挠度。1AF234B1A234B利用位移利用位移互等定理互等定理FFFF总讨论：总讨论：功的互等定理理论推导虽然是用梁，但推导过程中功的互等定理理论推导虽然是用梁，但推导过程中并没有利用弯曲变形的特点，所以按此方式推导的结并没有利用弯曲变形的特点，所以按此方式推导的结论，只要材料服从胡克定理，变形很小，且力与位移论，只要材料服从胡克定理，变形很小，且力与位移成线性关系，如刚架、曲杆、桁架

30、、扭轴，它都适用，成线性关系，如刚架、曲杆、桁架、扭轴，它都适用，因而可写成同一个表达式：因而可写成同一个表达式：ijjjiiFF 上述功的互等定理也可以是一个力上述功的互等定理也可以是一个力Fi和一个力偶和一个力偶Fj分别作用，此时：分别作用，此时：点点处处的的线线位位移移点点所所引引起起的的作作用用在在为为力力偶偶ijFjji 点点处处的的角角位位移移点点所所引引起起的的作作用用在在为为力力jiFiij 若若Fi在数值上等于在数值上等于Fj，那么得：，那么得：表表示示）单单位位力力作作用用下下用用 ( ijji ijjjiiFF 力力角位移角位移线位移线位移力偶力偶ijji 注意：也是在数

31、值上相等，量纲不一定是一样的。注意：也是在数值上相等，量纲不一定是一样的。若令若令Fi = =Fj =1=1（单位力），（写成标准形式）得：（单位力），（写成标准形式）得：注意：量纲也可能不一样的。注意：量纲也可能不一样的。列列1 1. 求求 CCA1B/2 l/2 lCAFBzEI(换成单位力作用，换成单位力作用，求出后乘以求出后乘以F即可）即可）C CA1B1C Bw 1B BCw 211lwwCCB 211lwwBCB 2212212lEIlEIlzz zEIl832 BCCwFF zEIFl832 10-5 10-5 用力法解超静定系统用力法解超静定系统一、概述一、概述 仅仅依靠静力平

32、衡方程不能求解所有未知力（包括仅仅依靠静力平衡方程不能求解所有未知力（包括约束反力和内力）的结构。（也叫约束反力和内力）的结构。（也叫静不定结构）静不定结构）1.1.超静定系统超静定系统mFxFyFFFxFyFFF分为外力静不定和内力静不定分为外力静不定和内力静不定外力静不定外力静不定内力静不定内力静不定FABABFFA约束反力可以求出，但内力求不出。约束反力可以求出，但内力求不出。2.2.出现静不定系统的原因出现静不定系统的原因 静不定结构或静不定系统在几何组成上具有所静不定结构或静不定系统在几何组成上具有所维持几何平衡的更多的联系，也就是有了多余的约维持几何平衡的更多的联系，也就是有了多余

33、的约束。束。 但是从结构的工作需要并不多余，因为增加约但是从结构的工作需要并不多余，因为增加约束可以提高结构的强度和刚度。束可以提高结构的强度和刚度。 FABFABF3.3.求解静不定问题的一般关系求解静不定问题的一般关系建立并解建立并解平衡方程平衡方程变形协调关系方程变形协调关系方程力力- -位移关系方程位移关系方程求解求解平衡方程平衡方程补充方程补充方程由变形协调方程和力由变形协调方程和力- -位位移关系方程组合而成移关系方程组合而成方程数等于静不定次数方程数等于静不定次数静不定度（次数）静不定度（次数）= =未知力的数目未知力的数目- -有效平衡方程的数目有效平衡方程的数目4.4.静不定

34、度（次数）的判定静不定度（次数）的判定 通常采用切除多余联系的方法来确定结构的静不定通常采用切除多余联系的方法来确定结构的静不定次数（静不定度），即要使静不定结构变为静定结构，次数（静不定度），即要使静不定结构变为静定结构，要切除几个多余的联系，那么它就是几度静不定。要切除几个多余的联系，那么它就是几度静不定。 去掉或切断一根连杆或者去掉一个活动铰支，去掉或切断一根连杆或者去掉一个活动铰支， 相当于去掉一个联系。相当于去掉一个联系。FAB一度静不定（一次静不定）一度静不定（一次静不定） ABAB 打开一个单铰或去掉一个固定铰，相当于打开一个单铰或去掉一个固定铰，相当于 去掉两个联系。去掉两个联

35、系。两度静不定（二次静不定）两度静不定（二次静不定） 在刚架结构上，切开一个切口，或者去掉一个在刚架结构上，切开一个切口，或者去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。固定端，相当于去掉三个联系。三度静不定（三次静不定）三度静不定（三次静不定） 三个内力：三个内力： 轴力轴力 剪力剪力 弯矩弯矩三个约束反力三个约束反力ABFABF两度静不定（二次静不定）两度静不定（二次静不定） 例例. 求梁的约束反力。求梁的约束反力。静不定度的判定；静不定度的判定；解：解：解除多余的约束解除多余的约束静定基（基本系统）；静定基（基本系统）；找找变形协调条件：变形协调条件：在去掉的多余约束处代之在去掉的多余约束处代之

36、相应的反力，再加上原载荷相应的反力，再加上原载荷相当系统；相当系统；静定基静定基F相当系统相当系统 0 BwABCFl/2l/2ABCzEI二、弯曲静不定梁的解法二、弯曲静不定梁的解法1X 0 1 0 1方方向向的的线线位位移移为为沿沿XFl/2l/2ABC找找变形协调条件变形协调条件; ;F11CB 1B 1CwF1 2 111lwBCF 计算计算X1 ; ;11 X 1XF1X 0 1 0 111 XF 22232 23lEIlFEIlFzz zEIFl485 3 3 3111zXEIlX Fl/2l/2ABCF11CB 1B 1CwF1 计算计算X1 ; ;11 X 1XF1X 0 11

37、1 XF zFEIFl485 31 3 3111zXEIlX 03485 313 zzEIlXEIFlFX165 1 计算其它支反力计算其它支反力 ; ;Fl/2l/2ABCFX165 1 计算其它支反力计算其它支反力 ; ;FF165 mAFAxFAy01652 0 lFmlFmAA0 0 AxFx0165 0 FFFyAyFFAx1611 FlmA163 0 AxF计算强度、刚度。计算强度、刚度。讨论：选取不同的约束作为多余约束，其变形协调条讨论：选取不同的约束作为多余约束，其变形协调条 件也不同，但都可以用统一的形式来表示。件也不同，但都可以用统一的形式来表示。变形协调条件：变形协调条件

38、：静定基静定基 0 BwFl/2l/2ABCzEI静定基静定基ABF相当系统相当系统变形协调条件：变形协调条件： 0 A相当系统相当系统FABC1X 0 1 0 1方方向向的的线线位位移移为为沿沿X1X 0 1 0 1方方向向的的角角位位移移为为沿沿XFl/2l/2ABCzEIABFF1 zEIFl16 21F FlX163 1 AB11 X 1XABF1X 0 1 0 111 XF zXEIlX3 111 0316 12 zzEIlXEIFlABFFl163 FAxFAyFB01632 0 FllFlFmBA0 0 AxFx0 0 BAyFFFyFFAy1611 FFB165 0 AxF例例

39、1. 求梁的约束反力。求梁的约束反力。变形协调条件：变形协调条件：相当系统相当系统 0 BwFl/2l/2ABCzEIFABC1X 0 1 0 1方方向向的的线线位位移移为为沿沿X 0 111 XF 三、力法及正则方程三、力法及正则方程力法：力法：以力为基本未知量，由变形协调条件建立以力为基本未知量，由变形协调条件建立 补充方程的方法。补充方程的方法。在力法中把补充方程建立成在力法中把补充方程建立成标准形式标准形式 叫力法正则方程。叫力法正则方程。 111？、如如何何求求XF 用莫尔定理用莫尔定理力法正则方程力法正则方程 )( xM 11？求求X 1？求求F FABCAB1XABAB11 )(

40、 xM lzFEIdxxMxM)()(1 )( 1xM )( xM lzXEIdxxMxM)()(111 AB1X1 )( xM lzEIdxxMxM)()(11 11111XX 0 111 XF 0 1111 XF 0 1111 XF 写出力法正则方程写出力法正则方程 )( xM1 )( xM lzFEIdxxMxM)()(1 lzEIdxxMxM)()(11 1111 FX 0 1111 XF AB1XFABC1XABFC相当系统相当系统例例2. 求刚架的约束反力。求刚架的约束反力。FFa2aaCAB 基本系统基本系统（静定基）（静定基）相当系统相当系统1X2X3X变形协调条件：变形协调条

41、件： 0 0 11方方向向的的线线位位移移为为沿沿X 0 0 22方方向向的的线线位位移移为为沿沿X 0 0 33方方向向的的角角位位移移为为沿沿X 三度静不定（三次静不定）三度静不定（三次静不定） F3X12X12F 1F 3F 22 12 32 23 13 33 用叠加法及莫尔定理求变形用叠加法及莫尔定理求变形1X121 11 31 0 3132121111 XXXF 0 3232221212 XXXF 0 3332321313 XXXF 力法正则方程：力法正则方程：1X1 0 3132121111 XXXF 0 3232221212 XXXF 0 3332321313 XXXF 力法正则方程：力法正则方程：F2X13X1写成矩阵：写成矩阵： 0 F3F2