§9.2二重积分的计算 (1)

1、整理课件1定义定义 设设) ,(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭上的有界函数。将闭 区域区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域: :i ) 3, , 2 , 1( i，并，并 以以i 表示表示个个第第i小闭区域的面积。小闭区域的面积。 ) , (iii ， 作和式作和式 iniiif 1) ,(。若当各小闭区域的最大直径。若当各小闭区域的最大直径 0d时，和式的极限存在，则称此极限为时，和式的极限存在，则称此极限为) ,(yxf在闭在闭 区域区域 D 上的二重积分，记作上的二重积分，记作 Ddyxf),(，即，即 iniiidDfdyxf 10) ,(lim

2、),(整理课件2 在直角坐标系下用平行于坐标轴在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域的直线网来划分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为当函数当函数f(x,y)在区域在区域D上连续时，我们可以用特定的分割上连续时，我们可以用特定的分割来解决定积分的计算。来解决定积分的计算。9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算9.2.19.2.1利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分整理课件3xoabxdxx .)( badxxAVRR xyo xxyoRx 已知平行截面面积已知平行截面面积的立体的体积的

3、立体的体积整理课件4 当当0),( yxf时时， Ddyxf),(的的值值等等于于以以 D 为为底底， 以以曲曲面面),(yxfz 为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积。而而平平行行截截 面面面面积积为为已已知知的的立立体体的的体体积积又又可可以以用用定定积积分分来来计计算算。 这这就就启启示示我我们们可可以以用用二二重重积积分分的的几几何何意意义义来来寻寻求求二二 重重积积分分的的计计算算方方法法。 整理课件5 如如图图所所示示的的积积分分区区域域称称为为X型型区区域域。 oxyab)(2xy )(1xy Doxyab)(2xy )(1xy D1 1积分区域积分区域 D 为为 X 型区域

4、型区域 设设 D： )()(21xyxbxa 其其中中,)(1baCx ，,)(2baCx 。 整理课件6 下下面面用用切切片片法法来来计计算算二二重重积积分分 Ddyxf),(所所表表示示的的柱柱体体 的的体体积积。 )()(21),()(xxdyyxfxA。 )(xAxxx oxyDz)(2xy )(1xy ),(yxfz ab)(1x )(2x )(xA),(yxfz xy z )()(),()(xxdyyxfxA21. 一一般般地地，平平面面的的平平面面且且平平行行于于上上任任一一点点过过yozxba , ， 与与曲曲顶顶柱柱体体相相交交所所得得截截面面的的面面积积为为 整理课件7从从

5、而而得得曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 dxdyyxfdxxAVxxbaba),()()()( 21 ， 于于是是，二二重重积积分分 dxdyyxfdyxfxxbaD),(),()()( 21 公式常记作公式常记作 )()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21 。 这这是是把把二二重重积积分分化化为为先先对对 y 后后对对 x 的的二二次次积积分分的的公公式式。 记记忆忆口口诀诀： “先先积积一一条条线线，再再扫扫一一个个面面” 。 整理课件8 用用公公式式时时，必必须须是是 X X 型型区区域域。 X X 型型区区域域的的特特点点是是：穿穿过过 D 内内部部 且且平平行行于于 y

6、轴轴的的直直线线与与 D 的的边边界界 相相交交不不多多于于两两点点。 oxyab)(2xy )(1xy Dx )()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21 。 整理课件9)(1yx )(2yx oxyDcd)(1yx )(2yx oxyDcd 如如图图所所示示的的积积分分区区域域称称为为Y Y型型区区域域。 设设 D： )()(21yxydyc 其其中中,)(1dcCy 、,)(2dcCy 。 2 2积积分分区区域域 D 为为 Y 型型区区域域 整理课件10 用用公公式式时时，必必须须是是 Y Y 型型区区域域。 Y Y 型型区区域域的的特特点点是是：穿穿过过 D 内内部部 且且

7、平平行行于于 x 轴轴的的直直线线与与 D 的的边边界界 相相交交不不多多于于两两点点。 类类似似可可得得，二二重重积积分分 )()( 21),(),(yydcDdxyxfdydyxf 上上式式右右端端的的积积分分称称为为先先对对 x 后后对对 y 的的二二次次积积分分公公式式。 )(1yx )(2yx oxyDcd整理课件11 当当平平行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线与与 D 的的边边界界曲曲线线的的交交点点多多于于 两两点点时时，一一般般可可把把 D 分分成成几几个个子子区区域域，分分别别按按 X 型型 或或 Y 型型区区域域计计算算，然然后后再再 根根据据区区域域可可加加性性得得到到在在

8、整整个个 区区域域 D 上上的的二二重重积积分分。例例如如 在在图图中中，把把 D 分分成成三三部部分分， 它它们们都都是是 X 型型区区域域。 D1 1D2 2D3 3o oxy3积分区域积分区域D既不是既不是X型区域也不是型区域也不是Y型区域。型区域。整理课件12 D 是是 X X 型型的的，可可表表示示为为 D： )()(21xyxbxa； D 又又是是 Y Y 型型的的，可可表表示示为为 D： )()(21yxydyc，则则有有 4 4积积分分区区域域 D 既既是是 X X 型型区区域域又又是是 Y Y 型型区区域域。 .),(),(),()()()()( yy d cxx b aDd

9、xyxfdydyyxfdxdyxf2121o oxyabcdD整理课件13 二二重重积积分分化化为为二二次次积积分分，确确定定积积分分限限是是关关键键。 其其定定限限方方法法如如下下： （1 1）在在xoy平平面面上上画画出出积积分分区区域域 D 的的图图形形； （2 2）若若区区域域 D 为为 X 型型的的，则则把把 D 投投影影到到 x 轴轴上上，得得 投投影影区区间间,ba，a 和和 b 就就是是对对 x 积积分分的的下下限限和和上上限限。 ,bax ， 过过点点 x 画画一一条条与与 y 轴轴平平行行的的直直线线，假假如如它它 与与边边界界曲曲线线交交点点的的纵纵坐坐标标分分别别为为)

10、(1xy 和和)(2xy ， 且且)()(12xx ，则则)( )(21xx 和和就就是是对对 y 积积分分的的下下限限 和和上上限限。 整理课件14 定定限限原原则则： （1）上上限限一一定定要要大大于于下下限限， （2）最最外外层层的的限限不不允允许许有有积积分分变变量量。 )()(),(),(xxbaDdyyxfxdyxf21 doxy)(2xy )(1xy Daxb整理课件15解解法法1：D是是X型型的的。 例例 1计计算算 Dxyd，其其中中 D 是是由由直直线线1 y，2 x及及xy 所所围围成成的的闭闭区区域域。 12o oxyxy 1 y)2 , 2() 1 , 2() 1 ,

11、 1 (x 21 21 21 12dxyxxydydxxydxxD.89482222421 31 xxdxxx整理课件16解法解法 2：D是是 Y 型的。型的。 21 222 21 2dyxyxydxdyxydyyD .8982224221 31 yydyyy 21o oxyyx 2 x 注注：化化二二重重积积分分为为二二次次积积分分时时，积积分分限限的的确确定定顺顺序序 与与积积分分顺顺序序相相反反。 在在计计算算内内积积分分时时，外外积积分分变变量量是是常常数数。 y整理课件17解解法法 1 1：先先积积 x 后后积积 y， D： 2, 212yxyy， 例例 2 2计计算算 Dxyd，其

12、其中中 D 由由xy 2和和2 xy所所围围成成。 o oxy2 yx)1, 1( )2 ,4(2yx 2212yyDxydxdyxyddyyyy)2(212152 dyyxyy2212221 .8556234421262341 yyyy1 2y整理课件18o oxy2 xy)1, 1( )2 ,4(xy xy 1D： 10 xxyx，2D： 412xxyx。 .8552411021 xxxxDDDxydydxxydydxxydxydxyd4D1 1D2 21解解法法 2 2：先先积积 y 后后积积 x， 2121DDDDD且且， 整理课件19因因为为2ye 的的原原函函数数不不是是初初等等函

13、函数数， 则则无无法法计计算算积积分分的的值值，故故只只能能用用 先先积积 x 后后积积 y 的的次次序序进进行行计计算算。 yo oxxy 1 y1解解：若若先先积积 y 后后积积 x，得得 11022 xyDydyedxde， 例例 3 3 Dyde2，其其中中D是是由由直直线线xy ，1 y和和 y 轴轴所所围围成成。 10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102 eey整理课件20 积积分分次次序序的的选选择择原原则则： （1 1） 第第一一原原则则函函数数原原则则：必必须须保保证证各各层层积积分分的的原原函函数数 能能够够求求出出。 （2 2） 第第二二原

14、原则则区区域域原原则则：若若积积分分区区域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 则则先先对对积积分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原则则分分块块原原则则：若若积积分分区区域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且满满足足第第一一原原则则时时， 要要使使积积分分分分块块最最少少。 整理课件21例例 4交交换换二二次次积积分分的的积积分分次次序序。 （1） yyf(x,y)dxdy2 4 0 改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历图形，要经历 “由限画图由限画图”和和“由图定限由图定限”两个过两个过程。程。先先积积 y 后后积积 x，则则21DDD ， 1D： xyxx2022，2D： xyx2020， yyf(x,y)dxdy2 4 0 .2 0 2 0 2 0 22 xx xf(x,y)dydxf(x,y)dydx解解：先先积积 x 后后积积 y， 则则 D： yxyy240， yo ox4(2,