1函数的定义及表示-中等-讲义

1、函数的定义及表示、函数1 .函数的概念概念：设集合A是一个非空数集，对A中的任意的数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f（x）,x?A其中x叫做自变量.自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（a）,所有函数值构成的集合yy=f（x）,x?A）叫做这个函数的值域.2 .函数的三要素：定义域，值域，对应法则3 .函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变

2、量的函数关系；3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.4 .求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零；2）零的零次哥没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零；4）对数式的真数大于零；_H5 ）f（x）=tanx的定义域为x|x?kn-,k?Z;6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集.5 .分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数.6 .复合函数定义：若y=f(u),u=g(x),xa,b),u*(m,n),那么y=f(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域.注意：函数的定义

3、域必须写成集合或区间的形式.二、映射定义：设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x),于是y=f(x)x称为y的原象，映射f也可记为：f:A?Bx?f(x)其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广).由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域.通常记作f(A).映射三要素：集合A、B以及对应法则，三者缺一不可；f:A?B,集合A中每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素.三、

4、函数求解析式1 .换元法2 .方程组法四、函数求值域1 .直接法(分析观察法)2 .函数单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值域.3 .配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域.对于形如y=ax2+bx+c(a10)或F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a10)类的函数的值域问题，土匀可使用配方法4 .分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时.可以采用分离常数法.5 .换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值

5、域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而y_1求得原函数的值域.对形如f（X）的函数，令Xt；形如y=ax+b士反而（a,b,c,d均为常数，ac#°）的函数，令后d=匚形如含.a2_Y2X=acosi,110,7：,人”ax的结构的函数，可利用三角代换，令，或令H2,26 .判别式法：在函数定义域为R时，把函数转化成关于X的二次方程F（X,y）=0；通过方程有实数根，判别式A2从而求得原函数的值域.对形如aY2（a、a不aX+D1X+gaia2y=a2X+b2X+c2同时为零）的函数的值域，通常转化成关于X的二次方程，由于方程有实根，即至0从而求得y的范围，即值域.值得注意的是，要对

6、方程的二次项系数进行讨论.注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论.7 .基本不等式法：利用基本不等式求函数值域，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值.8 .数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域.经典例题题（共12小题）1. （2017秋？潮南区期末）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是C.A.【解答】解：B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性,A,C,D满足函数的定义,故选：B.2. （2017秋?大观

7、区校级期中）已知集合P=x|0<x<4,集合N=y|0<y<2,下列从P到N的各对应关系f不是函数的是（）B.f:x-y=xD.f:xy=A.f:x-y=xC.f:x一y=x【解答】解：f:x一尸x,是函数,f:x-y=x,是函数，f:xfy=x,不是函数，4一一h?N；f:xy=,是函数，故选：C.3. （2017秋？定远县期中）下列各式中，表示y是x的函数的有（）®y=x-（x-3）;y+;V=<为有理数丫二,为实数A.4个B.3个C.2个D,1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故表

8、示y是x的函数；在中由知x?,因为函数定义域不能是空集，所以不表示y是x的函数；在中若x=0,则对应的y的值不唯一，可以等于0,也可以等于1,所以不表示y是x的函数.故选：C.4. （2017秋？凉州区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（）2A.y=xy=B.y=2lgx与y=lgxC.与y=xD.y=x-1与y=【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到A答案中两个函数的对应法则不同，B选项中两个函数的定义域不同，C选项中两个函数相同，D选项中两个函数的定义域不同，故选：C.5. (2017秋？鹰潭期末)下列四组函数中，表示同一函数的是

9、()A.f(x)=|x|,g(x)=B.f(x)=lgx,g(x)=2lgxC.f(x)=,g(x)=x+1D.f(x)=?,g(x)=【解答】解：对于A,g(x)=,f(x)=|x|，两函数为同一函数；对于B,函数f(x)的定义域为x|xw0,而函数g(x)的定义域为x|x>0,两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于C,函数f(x)的定义域为x|xwl,而函数g(x)的定义域为R,两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于D,函数f(x)的定义域为x|x>1,而函数g(x)的定义域为x|x<-1或x>1,两函数定义域不同，一两函数为不同函数.故选：A.6. (2018

10、春?天心区校级期末)定义运算a*b,例如1*2=1,>则函数丫=1*2'的值域为()A.(0,1)B.(oo,1)D.(0,1C.1,+00【解答】解：当102、时，即x0时,函数y=1*2x=1当1>2x时,即x<0时,函数y=1*2x=2x由图知,函数丫=1*2'的值域为：（0,1.7.（2018春？海州区校级期末）若函数y=的值域为0,十八则a的取值范围是（A. (3,+00B. 3,+8C.(00,0u3,+00D.(一巴0)U3,+8【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为0,+OO）,则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0,

11、即最小值要小于等于0.则有：解得：a>3所以a的取值范围是3,+oo).故选：B.8. (2017秋？沂南县期末)若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式是()A.3ex+4B.3lnx+4C.3lnxD.3ex【解答】解：设lnx=t则x=et,f(t)=3et+4f(x)=3ex+4故选：A.9. (2017秋？潮南区期末)若f(x)满足关系式f(x)+2f(-)=3x,则f(2)的值为()A.1B.-1C.D.-【解答】解：=f(x)满足关系式f(x)+2f(-)=3x,一，一一，-X2得-3f(2)=3,.f(2)=-1,故选：B.10. (2017秋？咸阳期末)已知函数f(

12、x+1)=3x+2,贝Uf(x)的解析式是(A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x-1D.f(x)=3x+4【解答】解：设t=x+1,:函数f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1函数f(t)=3t-1,即函数f(x)=3x-1故选：C.11. (2017秋？尖山区校级期末)已知f(x2)=x2-4x,那么f(x)=(A.x2-8x-4B.x2-x-4C.彳+8xD.x2-4【解答】解：由于f(x2)=x2-4x=(x24x+4)-4=(x2)2-4,从而f(x)=x2-4.故选：D.12. （2017秋？潮南区期末）已知函数f（x）=的定义域是R,则实数a的取值范围是

13、（）A.a>-B,-12<a<0C.-12<a<0D.a<-【解答】解：由a=0或可得-12<a<0,故选：B.二.填空题(共7小题)13. (2017春？陆川县校级期末)已知函数y=f(x2-1)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).则函数g(x)的定义域为0,2).【解答】解：由函数y=f(x2-1)的定义域为(-2,2),得：-10x2-1<3,故函数f(x)的定义域是-1,3),故-10x-K3,-1<3-2x<3,解得：0&x<2,故函数g(x)的定义域是0,2),故答案为：

14、0,2).一一,，-4t_.14. (2017?重庆模拟)设函数f(x)=，若f(x)在区一一一，问m,4上的值域为-1,2,则实数m的取值范围为-8,-1.【解答】解：函数f(x)的图象如图所示，结合图象易得当mC8,1时，f(x)e1,2.故答案为：-8,-1.15. (2018?俞林三模)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为0,+8),则的最小值为4.【解答】解：由题意知，a,>0,A=4-4ac=0,ac=1,c>0,贝U=-+-+-+-=()+(-+-)>2+2一=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.的最小值为4.16. (2017秋？南阳期中

15、)函数f(x)=x-的佰域是(-8、1.【解答】解：设=t,则t>0,f(t)=1-t2-t,t>0,函数图象的对称轴为t=-一，开口向下，在区间0,+8)上单调减，f(t)max=f(0)=1,函数f(x)的值域为(-1.故答案为：(-8,1.17. (2017秋？天心区校级期末)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是f(x)=3x1.【解答】解：令x+1=t,贝Ux=t1,f(t)=3(t1)+2=3t-1,.f(x)=3x-1.故答案为f(x)=3x-1.18. (2017秋？渭河区校级期中)已知a、b为实数，集合M=-,1,N=a,0,f:x-x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b=1.【解答】解：:a、b为实数，集合M=-,1,N=a,0,f:x-x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,1通过映射可得1CN,解得a=1,一一一CN,可得一二0,解得b=0,a+b=1,故答案为1;,，v一19. (2018?开封一模)则f(f(2)的值为2.【解答】解：由题意，自变量为2,故内层函数f(2)=log3(22-1)=1<2,故有f(1)=2Xe11=2,即f(f(2)=f(1)=2Xe11=2,故答案为2三.解答题(共1小题