信号与系统第九章 拉普拉斯变换

1、2022-4-15第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换THE LAPLACE TRANSFORM4. 双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；1. 双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2. 双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；5. 单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3. 零极点图；零极点图；29.0 9.0 引言引言傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基本分解为基本分解信号。对更一般的复指数函数信号。对更一般的复指数函数 和和 ，也能以此为基本，也能以此为基本信号对信号进行分解。信号对信号进行分解。jtejnestenz复指数函数是一

2、切复指数函数是一切LTILTI系统的特征函数。系统的特征函数。相当广泛的信号相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合都可以表示成复指数信号的线性组合将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况将连续时间傅里叶变换推广到更一般的情况（拉普拉斯变（拉普拉斯变换）就是本章要讨论的中心问题。换）就是本章要讨论的中心问题。拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用拉氏变换具有很多与傅氏变换相同的性质，不仅能解决用傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅氏分析方法可以解决的信号与系统分析问题，还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面。傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯分析是傅里拉普

3、拉斯分析是傅里叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。叶分析的推广，傅里叶分析是拉普拉斯分析的特例。3一一. .双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：( )( )stX sx t edt其中其中sj若若 ， 则有则有: :0sj()( )j tXjx t edt 这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。( )x t连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 (s (s平面的平面的 轴轴) )上的特例。上的特例。0jFT: FT: 实频率，实频率， 是振荡频率是振荡频率LT: LT: 复频率复频率 ， 是振荡频率，是振荡频率， 控制衰减速度控制衰减速度

4、js9.1 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 jS S平面平面4( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉氏变换就是的拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以存在，就可以使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入使本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变

5、换有更广泛的适用性。( )x tte( )tx t e不满足狄里赫利条件的信号 u(t) 增长信号( ),0ate u t a 乘一衰减因子 后收敛（满足狄里赫利条件）te( ),0tu t e( ),atte eu ta5( )( )atx teu t例例1.()()000( )atsts a ta tj tX seedtedteedt当当 时，时， 的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在: :( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。0aRe sa 0jRe sa 在

6、在 时，积分收敛：时，积分收敛：1( )X ssa比较比较 和和 , ,显然有显然有: : ()X j( )X s( )()sjX sX j6当当 时，时，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )uts可知可知Re 0s 例例2.( )()atx teut 00()( )atsts a tX se e dtedt 与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。不包含不包含 轴，所以不能得出轴，所以不能得出u(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为j1jjRe sa 在在 时，积分收敛：时，积分收敛：1( )X ssa7几点结论：几点结论：1. 1. 拉氏变换与傅

7、里叶变换一样存在收敛问题。并非任拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是何信号的拉氏变换都存在，也不是 s s 平面上的任何复平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。数都能使拉氏变换收敛。2. 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 s s的集合，称为拉氏的集合，称为拉氏变换的变换的收敛域收敛域 (ROC) (ROC) 。收敛域。收敛域 对拉氏变换是非常重要对拉氏变换是非常重要的概念。的概念。3. 3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只是它们的收敛域不同。只有拉氏

8、变换的表达式连同只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。()( )s jX jX s4. 4. 如果一个信号的拉氏变换的如果一个信号的拉氏变换的ROCROC包含包含 轴，则信轴，则信号的傅里叶变换也存在，并且：号的傅里叶变换也存在，并且：j8二二. . 拉氏变换的拉氏变换的ROCROC及零极点图：及零极点图：2( )( )( )ttx te u te u t例例3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2jj21Re 1s 21123(

9、 ),1232sX sssss9可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。分。ROCROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROCROC的边界总是与的边界总是与 的分母的根的分母的根( (极点极点) )相对应。相对应。j( )X sRe 1s j21223( ),32sX sss极点极点零点零点10分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根称为，分母多项式的根称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S S平面上，就构成了平面上，就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以

10、表示一个。零极点图及其收敛域可以表示一个 ，最多与真实的最多与真实的 相差一个常数因子相差一个常数因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。若若 是有理函数是有理函数( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ss119.2 9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域2. 2. 在在ROCROC内无任何极点。内无任何极点。j1. ROC1. ROC是是 s s 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j4. 4. 右边信号的右边信号的ROCROC位于位于s s平面内一条平行于平面内一条平

11、行于 轴的轴的直线的右边。直线的右边。 5. 5. 左边信号的左边信号的ROCROC位于位于s s平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的轴的 直线的左边。直线的左边。j3. 3. 时限信号的时限信号的ROCROC是整个是整个 s s 平面。平面。6. 6. 双边信号的双边信号的ROCROC如果存在，一定是如果存在，一定是 s s 平面内平行于平面内平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j120( )tTx t edt 若若 ，则，则101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。 若若 是右边信号是

12、右边信号, , , , 在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：00( )tx t e( )x tTt 性质性质4的证明：的证明：13()()001( )1TTatsts a ts a TX seedtedtesa例例1.,0( )0, atetTx t其它考查零点，令考查零点，令()1s a Te 有有极点极点sa ( )X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。sa ( )X s2sajkT 得得（k为整数）为整数）当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )

13、X ssbsbRe bsb 当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),bte utsb Re sb 1( ),bteu tsbRe sbbjb例例2.( )b tx te( )( )()btbtx teu te ut15 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割的。极点分割的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：( )X s( )X s3. 双边信号的双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间可以是任意两相邻极点之间的带形区域。的带形区域。( )X s2. 左边信号的左边信号的ROC一定位于一定

14、位于 最左边极点最左边极点的左边。的左边。( )X s1. 右边信号的右边信号的ROC一定位于一定位于 最右边极点最右边极点的右边。的右边。16例例3.21( )321112X sssss可以形成三种可以形成三种 ROC：1) ROC：2) ROC：3) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此时此时 是是右边信号右边信号。( )x t此时此时 是是左边信号左边信号。( )x t此时此时 是是双边信号双边信号。17对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法, ,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。( )X s 1. 将

15、将 展开为部分分式。展开为部分分式。( )X sv 部分分式展开法：部分分式展开法：3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。对每一项进行反变换。( )X s2. 根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC 。9. 3 拉普拉斯反变换的求法拉普拉斯反变换的求法181,2ss 极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。1( )(1)(2)X sss例例1.右边信号右边信号12j左边信号左边信号12j双边信号双边信号12j19例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1

16、s 11( )12Xsss2( )( )()ttx teu te ut 思考题：对于本例中的思考题：对于本例中的X(s),若收敛域分别为：若收敛域分别为：(a) Res-1;(b)Res-2,求这两种情况下的求这两种情况下的x(t)？1: Re 1()R1OCtse uts 1 121:Re 2ROC( )2tseu ts 2 2ROC1、ROC2必须各自包含必须各自包含ROC20可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包包括轴时，以括轴时，以 代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此为基础可以用几何求值的方法。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得从零极点图求

17、得 的特性。这在定性分析的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。系统频率特性时有很大用处。( )X sjsj()X j()X j( )X s9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值（一般了解即可）（一般了解即可）21( )X ssa1. 单零点情况：单零点情况： 矢量矢量 称为称为零点矢量零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 , ,其幅角即为其幅角即为 。1()X s1( )X s1sa 1|sa1sa0a1sj 零点零点 , , 要求出要求出 时的时的 ，可以，可以作两个矢量作两个矢量 和和 ，则，则 。1ss11( )()X ssa 1( )X s1sa

18、sa1sa 221( ),X ssa极点极点sa111()X ssa 11( )X ssa 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒量为其长度的倒量为 , ,幅角的负值为幅角的负值为 。1s1( )X s1()X s2. 单极点情况：单极点情况：1sa0a1sj1sa 23对对s s平面任意一点平面任意一点s s1 1有有: :111( )iiiisX sMs ( )( )( )iiiisN sX sMD ss111( )iiiiX sss 3. 一般情况：一般情况：即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极点向，从所有

19、极点向 点点作作极点矢量极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为量的长度之积即为 。所有零点矢量的幅角之和减。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为去所有极点矢量的幅角之和即为 。1s1( )X s1( )X s1s当当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化的变化，即可得出，即可得出 的幅频特性和相频特性。的幅频特性和相频特性。1s1sjj()X j24例例1. 画出信号画出

20、信号 的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性1( )( ),0tx te u tj1/1/( ),(1/ )H ss1Re s 包含包含 轴轴j幅频特性：幅频特性：是是 的偶函数，的偶函数， 时，取最大值时，取最大值1 1，随着随着 ， 单调下降，单调下降， 时，时，下降到最大值的下降到最大值的()H j1120相频特性：相频特性：是是 的奇函数，的奇函数， 时，时，随着随着 ， 趋于趋于 ， ， 趋于趋于0()0H j()H j/2()H j/21/1/()H j1/(),(1/ )Hjj11/|()|H j121/251212( )( )( )( )ax tbx taXsbXs则则ROC

21、至少是至少是12RR9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于里只着重于ROC的讨论。的讨论。1. 线性：线性：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若26112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC扩大为整个扩大为整个S平面。平面。 当当 与与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. . 1( )tx tte u t 2( )tx te u t

22、 （原因是出现了零（原因是出现了零极点相抵消的现象）极点相抵消的现象）272. 时移性质时移性质:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不变不变则则3. S域平移域平移:( )( ),x tX sROC:R若若则则00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是将是将 的的ROC平移了平移了一个一个 。这里是指。这里是指ROC的边界的边界平移平移。0()X s s( )X s0Res28例例. . ( ),tx te u t1( ),1X ss1 显然显然ROC :3 31)2()()()()(32ssXsYtue

23、etxtytt29Re sa R 4. 时域尺度变换时域尺度变换:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR则则当当 时时 收敛，收敛， 时时 收敛收敛R( )sXaRRe sa( )X s30 可见：可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC :R特例特例例例. . 1( )( ),1tx te u tX ss1 2( )2ttxe u t求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC12( ),1212X sss1ROC:2 31如果如果 是实信

24、号，且是实信号，且 在在 有有极点（或零点），则极点（或零点），则 一定在一定在 也有极点（或零点）。这表明：也有极点（或零点）。这表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。必共轭成对出现。( )x t( )X s0s( )X s0s当当 为实信号时，有：为实信号时，有：( )x t( )( )x tx t由此可得以下重要结论：由此可得以下重要结论：( )()X sXs( )()XsX s或或5. 共轭对称共轭对称性性（Conjugation）：）：( )(),x tXsROC:R( )( ),x tX sROC:R若若则则j32 6. 卷积性质卷积性质

25、:（Convolution Property）1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC:R若若则则121RR 显然有显然有:例例. .11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23Xs Xsss2, ROC扩大扩大原因是原因是 与与 相乘时，发生了零极点相抵消的现象。相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。的边界上时，就会使收敛域扩大。2( )X

26、s1( )X s337. 时域微分时域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC: RROC包括包括R, ,有可能扩大。有可能扩大。若若则则 8. 时域积分时域积分:（Integration in the Time Domain ）( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 则则( )( )( )txdx tu t1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 证明：证明：349.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对 1s( )ateu tas 1)(t1)(0tt 0ste( )u t35 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。因果信号的双边拉氏变换。一一. .定义定义: :0( )( )stsx t edt 如果如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。