初三数学切线长定理

1、切线长定理切线长定理问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？OOP POPA问题2、经过圆外一点P，如何作已知 O的切线？ O。ABP思考：假设切线PA已作出，A为切点，则OAP=Rt ,连接OP，可知A在怎样的圆上?用尺规作图：过 O外一点做 O的切线OPABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上切线上某一点与切点间的线段的长。某一点与切点间的线段的长。 若从若从OO

2、外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切点，切点分别是分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA = PB1=2证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB 1=2试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论12PA、PB分别切分别切 O于于A、BP

3、A = PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提 供了新的方法。12我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六

4、个2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；(d=r)3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。APOBM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB

5、是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC切线长定理的基本图形的研究 PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中

6、所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的相似三角形）写出图中所有的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACPBCP（5）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（6）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2224(2)rr解得r=3。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点）

7、连结圆心和圆外一点（角平分线）（角平分线）（2）连结两切点）连结两切点（等腰三角形）（等腰三角形）（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点（直角）（直角）圆外切四边形的性质圆外切四边形的性质如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆 O分别相切于点L、M、N、P由切线长定理得：AL=AP， LB=MB NC=MC， DN=PNAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即 AB+CDA=AD+BC 圆的外切四边形的两组对边的和相等DLMNABCOP1 、 如图，已知AB、AC是 O的切线，B、 C为切点，连结BC交AO于D. 若AD=6，AO=8，求切线AB的长； 若BC=4，B

8、AO=30，求 O的直径。AC OBD902:(1),6 84 3AB ACAOBACABOBDAOAB ACOB CBDABOABADAOAB平分解分别切于是Rt斜边上的高 如图，已知AB、AC是 O的切线，B、 C为切点，连结BC交AO于D. 若BC=4，BAO=30，求 O的直径。AC OBDsin 6024333sin 6021(2)22:,9060,BDBOBDBOBDBCRtABOBOABAORt BDO 而 在中在中 OABCDE2、如图，AB是 O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4， 求OE的长. OABCDEF 3、教材第105页练习第1

9、题C OBDP90:,31sin6230603cos3063 32PB PCBPCPBOPB PCOB CRt PBOBOBPOPOBPOBPCBPPOPO平分解 连结OB.分别切于在中故 4、教材第105页练习第2题AD OFC14EB139D OFC14EB139Azzyyxx1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理