在第三章中我们已经知道,当分子分母都是无穷小

1、6.2L.Hospital法则法则 在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极商的极限等于极限的商限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式这一运算法则。这种极限称为未定式 ,00 本节我们就利用本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式中值定理来建立求未定式极限的极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求法则，利用这一法则，可以直接求 和和00这两种基本未定式的极

2、限，也可间接求出这两种基本未定式的极限，也可间接求出 1 ,0 ,000等其它类型的未定式的极限等其它类型的未定式的极限洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或称为称为那末极限那末极限大大都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFx

3、fxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在 ,为端点的

4、区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 注注定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的；导数之比的 极限存在或为极限存在或为定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的定理的结论：函数之比的极限等于导数之比

5、的 极限极限未定式为止未定式为止使用法则，直到不再是使用法则，直到不再是续续所要求的条件，则可继所要求的条件，则可继定理中对定理中对满足满足还是未定式，且还是未定式，且若若)(),()(),()()(lim0 xgxfxgxfxgxfxx )()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx )()(lim0 xgxfxx xxxxxxxxx,000换成换成将将仍有类似的结论仍有类似的结论型的极限型的极限时时00 x如：如：定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)(|)(),()2(0)(lim)(lim)1(|)(),( 或或则则或或时可导，且时可导，且在在

6、上有定义，且上有定义，且在在设设AxgxfxgxfAxgxfxgNxxgxfxgxfNxxgxfxxxxx 关于关于型的极限型的极限，有下述定理，有下述定理定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(000000 或或则则或或可导，且可导，且的某邻域内有定义，且的某邻域内有定义，且在在设设AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxxxx xxxxxxxxx,000换成换成将将结论仍成立结论仍成立例例1 1.123lim2331 xxxxxx求求)00(解解12333lim221 xxxx

7、原式原式)00(266lim1 xxx.23 例例2xxxeexxxsin2lim0 )00(xeexxxcos12lim0 )00(xeexxxsinlim0 )00(xeexxxcoslim0 2 注注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。未定式，若不是未定式，不可使用法则。例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00

8、()( axbxxcoscoslim0 例例5证明证明0lnlim xxx)0,(0lim xxex证证分两种情况分两种情况正整数正整数若若 则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得xxxxeex !limlim 0 正整数正整数若若 )10( rr 记记则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得xxxxexex )1()1(limlim xrxex )1()1(lim xrxex 11)(1()1(lim rxxxe 11)(1()1(lim 0 本例说明：本例说明： 都趋于都趋于时，时，当当xexxx ,ln但它们趋于但它们趋于+的速度有快有慢的速度有快有慢由慢到快依次是：由慢到快依次是：对

9、数函数、幂函数、对数函数、幂函数、指数函数指数函数这一点从图上即可看出这一点从图上即可看出oxyxy ln xy xey 例例6 6.3tantanlim2xxx 求求)( 解解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则xxxxxxxxcos3cos3sinsinlim3tantanlim22 )00(xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxcos3coslim2 xxxsin3sin3lim2 3 例例711sinlim20 xxexx)00(xxexxx1cos1sin2lim0 分母分母1，分子振荡而没有极限，分子振荡而没有极限L

10、.Hospital法则法则“失效失效”xxexexxxxxx1sin1lim11sinlim020 但但01 0 注注分子分母中出现分子分母中出现xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0时时或或时时 不可使用不可使用L.Hospital法则法则例例8 8.tantanlim20 xxxxx 求求解解30tanlimxxxx 原式原式22031seclimxxx xxxx6tansec2lim20 xxxtanlim310 .31 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法但与其它求极限方法尤其是等价无穷小的代尤其是等价无穷小

11、的代换换结合使用，可以简化运算过程，效果会更结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。好，使用起来也更有效。型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 关键关键: :通过适当的恒等变形通过适当的恒等变形将其它类型未定式化将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型为洛必达法则可解决的类型 .),00()( 仍可使用仍可使用L.Hospital法则来求极限法则来求极限型型 0. 1步骤步骤:,10 .000100 或或即将其中之一个因子下放至分母就可转化为即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型型或或 00例例9xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxx

12、x xx 0lim0 注意注意：对数因子不下放，要放在分子上：对数因子不下放，要放在分子上型型 . 2步骤步骤:0101 .0000 例例1010).1sin1(lim0 xxx 求求)( 解解xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型00,1 ,0. 3 步骤步骤: ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1111.lim0 xxx 求求)0(0解解xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 xxxe1lnlim0 2011limxxxe 0e . 1 例例1212.lim111xxx 求求)1( 解解xxxeln111li

13、m 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 13 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 14 4解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件几点说明几点说明 L

14、.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为极限存在或为，当定理的条件不满足时，主要是，当定理的条件不满足时，主要是指（指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不不存在但不，函数之比的极限未必不存在，此时，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：法则：“失效失效”xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0时时或或时时若出现若出现 不宜使用不宜使用L.Hospital法则法则L.Hospit

15、al法则只能对法则只能对 ，00这两种基本未定式这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好效果会更好使用使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则）乘积极限的运算法则）可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算简化计算三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型0