第8章-数学形态学图像处理20161128

1、第八章第八章 数学形态学图像处理数学形态学图像处理Chapter 8 Morphological Image ProcessingContents背景&基础二值图像形态学基本运算二值图像形态学实用算法灰度图像形态学算法3背景数学形态学数学形态学是一种基于形状的图像处理理论和方法，数学形态学图像处理的基本思想是选择具有一定尺寸和形状的结构元素度量，并提取图像中相关形状结构的图像分量，以达到对图像分析和识别的目的。Image after segmentationImage after segmentation and morphological processing4背景数学形态学诞生于1

2、964年。法国巴黎矿业学院的赛拉在马瑟荣的指导下进行铁矿石的定量岩石学分析，赛拉设计了一个数字图像分析设备，并从理论和实践两个方面初步奠定了数学形态学的基础；1966年，马瑟荣和赛拉命名了数学形态学。1968年4月，他们成立了法国枫丹白露数学形态学研究中心，巴黎矿业学院为该中心提供了研究基地。1982年出版了图像分析与数学形态学。20世纪90年代后，数学形态学广泛应用于图像增强、图像分割、边缘检测和纹理分析等方向。5集合 和 中的所有元素构成的集合称为其并集并集，记作 集合 和 中的共同元素构成的集合称为其交集交集，记作 集合运算并集交集6不在集合 中的元素构成 的补集补集，记作 在集合 中同

3、时又不在集合 中的元素构成的集合称为 与 的差集差集，记作 集合运算差集补集7集合 的映射映射构成的集合，记作 集合 的平移平移z构成的集合，记作集合运算集合映射集合平移8二值图像的逻辑运算与集合运算之间的关系ABA BA BA BBc二值图像的逻辑运算二值图像形态学将二值图像看成是目标像素的集合，并集、并集、交集、差集和补集交集、差集和补集等集合运算可以直接应用于二值图像，对应于二值图像所用的主要逻辑运算是与主要逻辑运算是与、或或、非非。9结构元素在二值图像形态学中，结构元素结构元素是一个由0值和1值组成的矩阵。每一个结构元素有一个原点，结构元素中的原点指定待处理像素的位置。结构元素中的1值

4、定义了结构元素的邻域，输出图像中对应原点的值建立在输入图像中相应像素及其邻域像素比较的基础上。10结构元素 Structuring elements can be any size and make any shape11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110101011111111100000000011111111111111111111111111111111111111111111111

5、1000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111方形结构元素菱形结构元素圆盘结构元素三种常用形状的结构元素11膨胀运算设 表示二值图像， 表示结构元素，使用结构元素 对二值图像 进行操作。膨胀膨胀是在图像中目标边界周围增添像素，结构元素 对集合 的膨胀，记作 结构元素对集合膨胀的过程为，将结构元素关于原点的映

6、射 平移z，集合 与结构元素 的映射平移 的交集不为空集。换句话说，结构元素对集合膨胀生成的集合是 的映射平移集合与集合 相交至少有一个非零元素时， 的原点位置的集合12腐蚀腐蚀是移除图像中目标边界的像素，结构元素 对集合 的腐蚀，记作 结构元素对集合腐蚀的过程为，将结构元素 平移z后仍包含在集合 中。换句话说，结构元素 对集合 腐蚀生成的集合是 的平移集合完全包含在集合 中时， 的原点位置的集合。腐蚀运算13Structuring Elements, Hits & FitsBACStructuring ElementFit: All on pixels in the structur

7、ing element cover on pixels in the imageHit: Any on pixel in the structuring element covers an on pixel in the imageAll morphological processing operations are based on these simple ideas14Fundamental Operations Fundamentally morphological image processing is very like spatial filtering The structur

8、ing element is moved across every pixel in the original image to give a pixel in a new processed image The value of this new pixel depends on the operation performed There are two basic morphological operations: dilation and erosion15Dilation Dilation of image f by structuring element s is given by

9、f s The structuring element s is positioned with its origin at (x, y) and the new pixel value is determined using the rule:otherwise 0 hits if 1),(fsyxg16Dilation ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image17Dilation ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image With Dilated Pi

10、xels18Dilation Example 1Original imageDilation by 3*3 square structuring elementDilation by 5*5 square structuring elementWatch out: In these examples a 1 refers to a black pixel!19Dilation Example 2Structuring elementOriginal imageAfter dilation20What Is Dilation For? Dilation can repair breaks Dil

11、ation can repair intrusions Watch out: Dilation enlarges objects21膨胀运算+111111111222222二值图像结构元素结构元素映射膨胀结果原点属于结构元素的膨胀运算+22222211111111原点不属于结构元素的膨胀运算二值图像结构元素结构元素映射膨胀结果22Erosion Erosion of image f by structuring element s is given by f s The structuring element s is positioned with its origin at (x, y)

12、and the new pixel value is determined using the rule:otherwise 0 fits if 1),(fsyxg23Erosion ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image With Eroded Pixels24Erosion ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image25Erosion Example 1Watch out: In these examples a 1 refers to a black

13、 pixel!Original imageErosion by 3*3 square structuring elementErosion by 5*5 square structuring element26Erosion Example 2Original imageAfter erosion with a disc of radius 10After erosion with a disc of radius 20After erosion with a disc of radius 527What Is Erosion For? Erosion can split apart join

14、ed objects Erosion can strip away extrusions Watch out: Erosion shrinks objectsErosion can split apart 28腐蚀运算二值图像结构元素腐蚀结果原点属于结构元素的腐蚀运算原点不属于结构元素的腐蚀运算000001111+000001111二值图像结构元素腐蚀结果29对图像中目标区域的膨胀(腐蚀)运算相当于对图像中背景区域的腐蚀(膨胀)运算，即，结构元素 对集合 腐蚀的补集等价于映射 对补集 的膨胀。腐蚀运算和膨胀运算的对偶性可表示为如下的等式：膨胀与腐蚀的对偶性30膨胀与腐蚀的对偶性膨胀运算与腐蚀运

15、算的对偶性示意图+0000011112222211111111111111111111111111111111111122222211111111111111111111100000031Compound Operations More interesting morphological operations can be performed by performing combinations of erosions and dilations The most widely used of these compound operations are: Opening Closing32开运

16、算开运算为先腐蚀后膨胀的运算，结构元素 对集合 的开运算，记作 开运算开运算的简单几何解释目标区域 和结构元素实线包围区域为开运算结果结构元素 沿着目标区域 的边界内平移Note a disc shaped structuring element is used33Opening ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image34Opening ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image35不同尺寸圆盘结构元素的开运算示例不同尺寸圆盘结构元素的开运算示例(a)二值

17、图像(b) 半径为9的圆盘结构元素 (c) 图(b)所示结构元素的开运算结果 (d) 半径为15的圆盘结构元素 (e) 图(d)所示结构元素的开运算结果36闭运算闭运算为先膨胀后腐蚀的运算，结构元素 对集合 的闭运算，记作 闭运算闭运算的简单几何解释实线包围区域为闭运算结果结构元素 沿着目标区域 的边界外部平移目标区域 和结构元素37Closing ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image38Closing ExampleStructuring ElementOriginal ImageProcessed Image39不同

18、尺寸圆盘结构元素的闭运算示例不同尺寸圆盘结构元素的闭运算示例(b) 半径为9的圆盘结构元素 (d) 半径为15的圆盘结构元素 (c) (b)所示结构元素的闭运算结果(e) (d)所示结构元素的闭运算结果(a)二值图像40开运算与闭运算的对偶性开运算与闭运算也具有对偶性开运算与闭运算也具有对偶性，可表示为如下的等式： 41开运算与闭运算的结合开运算和闭运算独立处理过程开运算和闭运算结合处理过程42 二值图像 开运算的结果 闭运算的结果 先开运算后闭运算的结果开运算和闭运算的结合处理示例开运算和闭运算的结合处理示例43击中击不中运算击中击不中运算定义在交集为空集的两个结构元素的膨胀和腐蚀运算的基础

19、上。设 表示结构元素对 ，且 ，结构元素对 对集合 的击中击不中运算，记作 击中击不中运算的过程击中击不中运算的过程为，当且仅当 平移某一z值包含在集合 的内部即 击中 ，且 平移同一z值包含在集合 的外部即 击不中 ，这两个条件同时成立时， 的原点位置的集合。击中击不中运算44击中击不中运算示意图010000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000011111111111111

20、111111111111111111110000000000111111111111111111111111111111111111111100001111B1+00001110B2+0001111B+0000000000000000000000000111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000001111111111111111111111111111111100000000001111111111111111111111111111

21、11111100000000000000000000000000000000000000001100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000击中击不中运算示意图45击中击不中运算示例 (a) 二值图像 (b) 击中击不中模板 (c) 击中击不中运算的结果1010000+击中击不中运算示例46Morphological Algorithms Using the simple technique we have looked at so far we can begin to

22、consider some more interesting morphological algorithms We will look at: Boundary extraction Region filling Extraction of connected components There are lots of others as well though: Thinning/thickening Skeletonisation47开运算和闭运算的结合处理是一种简单的图像去噪方法。设 表示二值图像， 表示结构元素，去噪过程一般为先开运算后闭运算为二值图像形态学去噪图像去噪示例 二值图像

23、开运算的结果 先开运算后闭运算的结果48结构元素 对集合 腐蚀的作用是收缩目标区域，集合 与腐蚀集合 的差集也就是腐蚀运算移除的目标边界元素构成 的边界集合，边界 提取的过程可表示为边界提取+AB49边界提取AB 二值图像 单像素宽的8连通边界50孔洞是指由连通的边界包围的背景区域。设 表示边界集合， 表示结构元素，给定边界内的一个点p，初始集合 中点p所在位置值为1，其他位置值为0，孔洞填充过程孔洞填充过程可表示为 当 时迭代终止，此时， 与其边界 的并集构成目标区域。孔洞填充51孔洞填充+p11121p11221221p11232123321p112321234321p1123212345

24、321p11232123456321p1123721234567321p11237821234567321p112378212345673219p52孔洞填充示例 血细胞图像 二值图像 孔洞填充结果孔洞填充示例 硬币图像 二值图像 孔洞填充结果53连通分量提取设 表示集合 中的连通分量， 表示结构元素，给定连通分量中的一个点 ，初始集合 中点p所在位置值为1，其他位置值为0。连通分量提取的过程连通分量提取的过程可表示为当 时迭代终止，此时， 为连通分量提取的最终结果。54连通分量提取+p11111p22112221112p3332321122211132p4443332321122211132

25、p5555544543332321122211132p55连通分量提取示例 多目标图像 各个连通分量的像素数连通分量序号连通分量的像素数1357529937941151637381096连通分量提取示例56骨架骨架骨架是指在不改变目标拓扑结构的条件下，利用单像素宽的细线表示目标。设 为目标集合， 为结构元素，一种形态学骨架为：骨架提取的过程是可逆的骨架提取的过程是可逆的， 集合 可以用骨架子集 进行重构。57骨架+58二值图像骨架提取结果形态学骨架提取示例形态学骨架提取示例59凸包若连通集合 中任意两点的直线段都在该集合内部，则称 是凸集合，集合 的凸包是指包含 的最小凸集合，可表示为， 其中

26、， 表示4个方向的结构元素。当 时迭代终止， 表示收敛集合，其并集构成集合 的凸包 ，+凸包的结构元素组60细化细化细化是在保持目标连通性和边界几何特征的条件下，利用线状结构来表示图像中的连通分量。其过程是不断删除目标区域的边界像素，将目标区域细化成为单像素宽的线状结构来表示。结构元素 对集合 的细化，记作 ，结构元素组 连续作用于集合 ，可表示为，细化的结构元素组+消除多重路径的细化结果细化过程示意图61形态学细化示例形态学细化示例 (a) 二值图像 (b) 细化结果62粗化粗化粗化：粗化与细化在形态学上是对偶的过程。结构元素 对集合 的粗化，记作 ，结构元素组 连续作用于集合 ，可表示为，

27、粗化的结构元素组消除断点的粗化结果粗化过程示意图+63剪枝剪枝剪枝：剪枝实际上是对骨架和细化的补充，它的作用是删除骨架和细化产生的毛刺或分支，剪枝的过程中不断删除分支的端点。设 表示端点检测的结构元素序列，使用结构元素序列 对集合 进行k次迭代细化 ，细化集合 可表为， ；再使用结构元素序列 检测细化集合 中的所有端点，端点集合 的计算式为， ；将集合 作为定界符，对端点集合进行条件膨胀，条件膨胀将膨胀集合限制在集合 中，端点膨胀集合 可表示为， ；最后，剪枝集合 为， 。剪枝的结构元素组+64剪枝过程示意图剪枝过程示意图65 (a) 骨架图像 (b) 剪枝结果骨架图像的剪枝示例骨架图像的剪枝

28、示例66灰度图像形态学二值图像形态学的操作对象是集合，灰度图像形态学的操作对象是函数。灰度图像形态学灰度图像形态学算法算法包括灰度膨胀和灰度腐蚀、灰度开运算和灰度闭运算，以及建立在基本运算基础上的几种灰度形态学算法，包括顶帽变换和底帽变换、灰度形态学重构。67灰度图像形态学中，结构元素 对二维函数 的灰度膨胀，记作 ， 式中， 和 分别为 和 的定义域。灰度图像形态学算法-灰度膨胀一维函数结构元素灰度膨胀结果灰度膨胀的一维图释68平坦结构元素灰度膨胀的二维图释10221487140137816021295742101101251081704434251243240178143444323510

29、717022510027132514517116710613451691520518877179255334994+251210251251243240178212212188212210125140170170170134251251243240225167251251251251225212235251251251225212251251188188210212251255255255255255255 图像区域结构元素结构元素在图像区域滑过的位置灰度膨胀结果平坦结构元素灰度膨胀的二维图释69灰度图像形态学中，结构元素 对二维函数 的灰度腐蚀，记作 ， 式中， 和 分别为 和 的定义域。灰

30、度腐蚀灰度腐蚀的一维图释70平坦结构元素灰度腐蚀的二维图释10221487140137816021295742101101251081704434251243240178143444323510717022510027132514517116710613451691520518877179255334994+ 图像区域结构元素结构元素在图像区域滑过的位置灰度腐蚀结果平坦结构元素灰度腐蚀的二维图释4154487882774135115448788214487883413131345454413131333332727451514741313333333333371灰度膨胀与灰度腐蚀示例平坦结构元

31、素的灰度膨胀平坦结构元素的灰度腐蚀72 (a) 灰度图像 (b) 灰度膨胀结果 (c) 灰度腐蚀结果 (d) 形态学梯度图像形态学梯度示例形态学梯度示例73灰度图像的开运算和闭运算与二值图像的对应运算具有相同的形式。在灰度图像形态学中，结构元素 对灰度图像 的灰度开运算，记作 ，在灰度开运算中，灰度腐蚀运算根据结构元素的尺寸和形状消除图像中的明亮细节，并使图像整体变暗，灰度膨胀运算重新增加图像的整体亮度，但是不会再恢复已消除的明亮细节。灰度开运算74灰度开运算的一维图释，图中曲线为图像的水平线灰度级剖面图先灰度腐蚀 灰度图像后灰度膨胀灰度开运算的一维图释75在灰度图像形态学中，结构元素 对灰度

32、图像 的灰度闭运算，记作 ，在灰度闭运算中，灰度膨胀根据结构元素的尺寸和形状消除图像中的灰暗细节，并使图像整体变亮，灰度腐蚀重新降低图像的整体亮度，但是不会再恢复已消除的灰暗细节。灰度开运算与闭运算76灰度闭运算的一维图释，图中曲线为图像的水平线灰度级剖面图后灰度膨胀先灰度腐蚀灰度闭运算的一维图释77一维函数 圆盘在曲面下方滑动 灰度开运算灰度开运算和灰度闭运算的一维几何解释 圆盘在曲面上方滑动 灰度闭运算灰度开运算和闭运算的一维几何解释78灰度开运算与闭运算示例灰度开运算灰度闭运算79形态学顶帽(Top-hat)变换定义在灰度开运算的基础上，结构元素 对灰度图像 的顶帽变换定义为 与其灰度开

33、运算的差值，可表示为底帽(Bottom-hat)变换定义在灰度闭运算的基础上，结构元素 对灰度图像 的底帽变换定义为 与其灰度开运算的差值，可表示为顶帽变换与底帽变换80顶帽变换与底帽变换顶帽变换和底帽变换则通过图像减法的作用仅保留灰度开运算和闭运算中消除的明亮和灰暗目标。顶帽变换和底帽变换能够应用于图像中的目标提取。顶帽变换适用于暗背景亮目标的情况下亮目标的提取，而底帽变换适用于亮背景暗目标的情况下暗目标的提取。81顶帽变换和底帽变换的一维图释，图中曲线为图像的水平线灰度级剖面图 灰度开运算 顶帽变换 灰度闭运算 底帽变换 灰度图像顶帽变换和底帽变换的一维图释82顶帽变换示例 灰度图像 灰度

34、开运算 顶帽变换顶帽变换示例83 灰度图像 顶帽变换 底帽变换 增强图像顶帽变换和底帽变换的结合应用于灰度图像增强结合顶帽和底帽变换的图像增强示例84顶帽变换和底帽变换的结合应用于图像增强的一维图释，图中曲线为图像的水平线灰度级剖面图原图像中第260行的水平线灰度级剖面图增强图像中第260行的水平线灰度级剖面图结合顶帽和底帽变换的图像增强一维图释85灰度形态学重构利用两幅图像来约束图像变换，其中一幅称为标记图像（Marker），另一幅称为模板图像（Mask）。灰度形态学重构是在模板图像的约束下，对标记图像进行处理。设 和 分别表示标记图像和模板图像， 和 的尺寸相同，且对于灰度值， 。 关于

35、的1次测地膨胀（Geodesic dilation）定义为式中， 表示结构元素 对标记图像 的连续 次灰度膨胀。灰度形态学重构86灰度形态学重构 关于 的 次测地膨胀定义为该式实际上表明 是前式的 次迭代，初始值 为标记图像 。标记图像 关于模板图像 的膨胀式形态学重构 定义为 关于 的测地膨胀，迭代上式的过程直至膨胀不再发生变化为止，可表示为式中， 满足 。f87灰度形态学重构膨胀式形态学重构的一维图释模板图像约束下标记图像的反复膨胀膨胀式形态学重构结果88灰度形态学重构在开重构运算中，首先对灰度图像进行腐蚀运算，然后，利用腐蚀图像作为标记图像，而原图像作为模板图像，执行膨胀式形态学重构。灰

36、度图像 的 次开重构运算，记作 ，定义为 的 次灰度腐蚀的膨胀式形态学重构，可表示为式中， 表示结构元素 对灰度图像 的连续 次灰度腐蚀， 表示关于模板图像 的膨胀式形态学重构操作。f开重构运算运算的一维图释89灰度形态学重构闭重构运算将膨胀图像的灰度反转作为标记图像，原图像的灰度反转作为模板图像，执行膨胀式形态学重构，然后对结果图像的灰度求反来实现的。灰度图像 的 次闭重构运算，记作 ，可表示为式中， 表示结构元素 对灰度图像 的连续 次灰度膨胀， 表示灰度反转图像， 表示关于模板图像 的膨胀式形态学重构操作。闭重构运算运算的一维图释90灰度形态学重构顶帽重构变换定义为灰度图像与其开重构运算

37、的差值，可表示为开重构运算保持了背景的整体形状，因此，顶帽重构变换能够更完整地提取出暗背景中的亮目标。91灰度形态学重构开重构运算顶帽重构变换顶帽重构变换的一维图释92灰度形态学重构底帽重构变换定义为灰度图像的闭重构运算与灰度图像本身的差值，可表示为闭重构运算保持了背景的整体形状，因此，底帽重构变换能够更完整地提取出亮背景中的暗目标。93灰度形态学重构闭重构运算底帽重构变换底帽重构变换的一维图释94灰度图像的开重构运算和闭重构运算开重构运算和闭重构运算不仅消除了图像中过亮和过暗的细节部分，对图像起着平滑的作用，而且，保持了目标原来的形状，可以用于边缘保持的平滑。开重构运算示例闭重构运算示例95

38、灰度形态学重构灰度形态学重构灰度形态学重构利用两幅图像来约束图像变换，其中一幅称为标记标记图像图像，另一幅称为模板图像模板图像，在模板图像的约束下对标记图像进行处理。设 和 分别表示标记图像和模板图像、尺寸相同，且对于灰度值， ， 关于 的1次测地膨胀定义为， 式中， 表示结构元素 对标记图像 的连续k次灰度膨胀。 关于 的n次测地膨胀定义为， 上述迭代过程不再发生变化，可表示为，膨胀式形态学重构对标记图像进行反复膨胀，直至标记图像的边界拟合了模板图像的边界。96膨胀式形态学重构的一维图释 (a) 模板图像约束下标记图像的反复膨胀 (b)膨胀式形态学重构结果膨胀式形态学重构的一维图释97开重构

39、与闭重构运算开重构与闭重构运算开重构与闭重构运算：开重构运算和闭重构运算是两种常用的灰度形态学重构技术，不同于灰度开运算和灰度闭运算，这两种运算都定义在膨胀式形态学重构的基础上。开重构运算开重构运算：首先对灰度图像进行腐蚀运算，而是利用腐蚀图像作为标记图像、原图像作为模板图像，执行膨胀式形态学重构。灰度图像 的k次开重构运算，记作 ，定义为 的k次灰度腐蚀的膨胀式形态学重构，可表示为， 式中， 表示结构元素 对标记图像 的连续k次灰度膨胀。闭重构运算闭重构运算：在灰度膨胀运算后并不是执行灰度腐蚀运算，而是将膨胀图像的灰度反转作为标记图像，原图像的灰度反转作为模板图像，执行膨胀式形态学重构，然后对结果图像的灰度求反来实现的。灰度图像 的k次闭重构运算，记作 ，可表示为， 式中， 表示结构元素 对标记图像 的连续k次灰度膨胀。98开重构运算和闭重构运算的一维图释，图中曲线为图像的