第节多自由系统的振动学习教案

1、会计学1第节多自由系统第节多自由系统(xtng)的振动的振动第一页，共35页。 方程(fngchng)(5.6-1)构成了n个联立的常系数的常微分方程(fngchng)组。虽然这些方程(fngchng)是线性的，但求解也并非是件容易的事。 用振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基本(jbn)思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组，其变换矩阵就是振型矩阵。 为了用振型分析去求解方程(5.6-1)，首先必须求解特征值问题，即2KuMu(5.6-2)式中u为振型矩阵，2是固有频率平方的对角矩阵。振型矩阵可以正则化，使其满足TT, I2u Muu Ku (5.6-3)多自由度无阻尼系统对任意

2、激振的响应求解推导振型分析第1页/共35页第二页，共35页。 引入正则(zhn z)坐标，作如下的线性变换式中(t)为系统的正则(zhn z)坐标。 因为u是一个常数矩阵,所以 和 之间存在着同样的变换。把式(5.6-4)代入方程(5.6-1)，得( ) tq ( ) t ttqu(5.6-4) tttMuKuF(5.6-5)方程(5.6-5)左乘以uT，有 TTTtttu Muu Kuu F(5.6-6)考虑到方程(5.6-3)，得到 ttt2 N(5.6-7)式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力向量，即正则激励。 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分

3、析第2页/共35页第三页，共35页。 因为2是对角矩阵，故方程(5.6-7)表示(biosh)一组互不相关的方程，即 tNttrrrr2 ), 2 , 1(nr(5.6-8)方程(5.6-8)具有与单自由度系统的运动(yndng)微分方程相同的结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理。 设广义坐标q(t)的初始条件为 000,0qqqq(5.6-9)由式(5.6-4)的变换(t)=u-1q(t)，有 1100000,0u qu q(5.6-10)多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析第3页/共35页第四页，共35页。也可以(ky)在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得TT

4、0000,u Mqu Mq(5.6-11) 由初始条件引起(ynq)方程(5.6-8)的齐次解为 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr (5.6-12)式中 和 为第r阶模态在正则坐标中的初始条件。 0r0r 任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即 trrrrtNt 0 dsin1), 2 , 1(nr(5.6-13)多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析第4页/共35页第五页，共35页。自由(zyu)振动初始条件的响应所以(suy)第r阶模态的全解是由激励Nr(t)引起的响应和初始条件引起的响应之和广义坐标q(t)的响应是广义坐标(t)的响应的叠加，则

5、有因此，将正则坐标的全解(5.6-14)代入方程(5.6-15)就可以得到无阻尼n自由度系统的全部响应。 1nrrrtttquu(5.6-15)(5.6-14) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析第5页/共35页第六页，共35页。例题(lt)：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1） 例5.6-1 考虑图5.6-1所示系统(xtng)，在系统(xtng)上作用有激励向量F(t)=0 F0u(t)T，u(t)为单位阶跃函数。求在零初始条件下系统(xtng)的响应。 解：系统的运动微分方程为了用振型分析方法求解，首先要

6、解特征值问题，得 11220102102120qqmkqqF u t 111 0000000.796226,1 366025.k.mu图 5.9-1第6页/共35页第七页，共35页。 221 0000001 538188,0 366025.k.mu对振型向量(xingling)进行正则化，而后把振型向量(xingling)排列成振型矩阵0.4597010.88807410.6279630.325057mu利用(lyng)振型矩阵作线性变换 T00.6279630.325057Fu tmN tu F t例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）第7页/共35页第八页，共35页。 tmFtu

7、mFtt1210 0 1101cos10.627963dsin1627963. 0 tmFtumFtt2220 0 2202cos10.325057dsin1325057. 0将上式代入方程(fngchng)(5.6-14)，得例题(lt)：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）第8页/共35页第九页，共35页。那么(n me)广义坐标q(t)的响应为 tmk.tmk.kFttmFtq5381881cos112200907962260cos14552950 cos11325057. 0888074. 0cos11627963. 0459701. 0022212101 tmk.tmk.kFt

8、tmFtq5381881cos104465807962260cos16219450 cos11325057. 0cos11627963. 002222121202例题：单位(dnwi)阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）第9页/共35页第十页，共35页。 例5.6-2 若图5.6-1所示系统(xtng)的作用力向量为F(t)=0 F0sintT，求系统(xtng)的响应。 解：根据(gnj)前题，利用振型矩阵u进行变换的正则激励向量为 T00.627963sin0.325057FtmN tu F t将上式代入(5.6-14)，得 dsinsin1627963. 0 0 1101ttmFt21

9、21121011sinsin0.627963ttmF例题：受简谐激励系统的响应（例5.6-2）第10页/共35页第十一页，共35页。最后(zuhu)，得 dsinsin1325057. 0 0 1202ttmFt2222222011sinsin325057. 0ttmF 21211210111sinsin1455295. 0ttmFtq222222211sinsin1122009. 0tt例题(lt)：受简谐激励系统的响应（例5.6-2）第11页/共35页第十二页，共35页。可见，由方程(fngchng)(5.6-14)得到的解，包含由外加激励作用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。当存在阻尼时，

10、瞬态响应将很快衰减。若只考虑强迫振动的稳态响应，则只取sint项。 21211210211sinsin1621945. 0ttmFtq222222211sinsin1044658. 0tt例题：受简谐激励(jl)系统的响应（例5.6-2）第12页/共35页第十三页，共35页。阻尼(zn)概述 在工程实际中，阻尼总是存在(cnzi)的(如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、结构阻尼、粘性阻尼等)，并对系统的振动产生影响。 由于各种阻尼的机理比较复杂，在线性系统振动分析计算中，需将各种阻尼简化为粘性阻尼，其阻尼力的大小与速度的一次方成正比。 阻尼系数须由工程上各种理论与经验公式给出，或直接根据实验数据确

11、定。第13页/共35页第十四页，共35页。阻尼矩阵的特点(tdin)及几种常用的阻尼 对于(duy)一般粘性阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为 ttttMqCqKqF(5.7-1) 式中质量矩阵M、刚度矩阵K和外激励向量F(t)的意义与前面相同，而阻尼矩阵C的形式为ijCcnji, 2 , 1,(5.7-2) 阻尼矩阵C一般为正定或半正定的对称矩阵。 1.比例阻尼：若阻尼矩阵C恰好与质量矩阵M或刚度矩阵K成正比，或者C是M与K的某种线性组合，即abCMK (5.7-3)式中a和b为正的常数，称这种阻尼为比例阻尼。 第14页/共35页第十五页，共35页。 对这种比例阻尼来

12、说，当广义坐标转换成正则坐标时，在正则坐标中的阻尼矩阵将是一个对角矩阵，即使用无阻尼系统(xtng)的正则振型矩阵u可以使C对角化，即有TTTT21222nuababababababCuuMK uu Muu KuI(5.7-4)几种常用的阻尼(zn)1 比例阻尼(zn)第15页/共35页第十六页，共35页。称r为振型比例阻尼。可以(ky)看出，令a=0，而b0有 这意味着在各个振型振动中，阻尼正比(zhngb)于该振型所对应的固有频率。令22rrrab (5.7-5)或写成22rrrab(5.7-6)2rrb(5.7-7)几种常用的阻尼2 振型比例阻尼第16页/共35页第十七页，共35页。 适

13、当地选取a和b的值，就有可近似(jn s)地反映实际振动中出现的倾向性。几种常用的阻尼(zn)2振型比例阻尼(zn)2rra(5.7-8)这意味着在各个振型振动中，阻尼反比于该振型所对应的固有频率。 若b=0，而a0，有第17页/共35页第十八页，共35页。 再讨论方程（5.7-1）的解耦问题。可以看到，是否能利用正则坐标变换进行解耦，关键在于阻尼矩阵(j zhn)是否能对角化。 有阻尼振动(z n zhn dn)系统解耦问题 uTCu一般不是对角阵。在工程实际的振动系统中，经常遇到的是阻尼比较小的情况，这时，由uTCu的非对角项引起的耦合很少出现大于或者远大于对角项的情况。因此，略去uTCu

14、非对角线元素组成的各阻尼项，即令uTCu的所有非对角线元素的值为零，不会引起很大的误差。 第18页/共35页第十九页，共35页。 对应正则(zhn z)坐标的阻尼矩阵就可以表为对角矩阵，即1122T222nn u Cu(5.7-9)因此(ync)，就可以把振型叠加法有效地推广到有阻尼的多自由度系统的振动问题的分析求解。 有阻尼的多自由度系统的正则坐标的运动微分方程为 22rrr t t tN t(5.7-10)有阻尼振动系统解耦问题第19页/共35页第二十页，共35页。 实践经验表明，它一般适用于振型阻尼(zn)比r不大于0.2的弱阻尼(zn)系统。或展开(zhn ki)为(5.7-11) 2

15、2rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 若系统的阻尼较大，不能用无阻尼系统的振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵C不能对角化，也有一般的理论适用于这种情况，它将包含复特征值和复特征向量，这个问题已超出了本书的范围。 有阻尼振动系统解耦问题第20页/共35页第二十一页，共35页。 对于有阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动(yndng)微分方程为 Mq tCq tKq tF t 假设有粘性阻尼系统的运动微分方程中的阻尼矩阵C可以实现对角化，利用(lyng)正则坐标变换解耦后，得到有阻尼系统的运动微分方程为 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1根据式(5.7-9)得振型阻

16、尼比r为 T2rrrruCunr, 2 , 1(5.8-1)多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析第21页/共35页第二十二页，共35页。对应第r阶正则(zhn z)坐标r(t)模态力向量为 TrrNtuF tnr, 2 , 1(5.8-2) 激励(jl)类型：简谐激励；周期激励；任意激励。多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分析第22页/共35页第二十三页，共35页。1 简 谐 激 励(jl) 假定(jidng)一个具有粘性阻尼的多自由度系统，它的各广义坐标上有同频率、同相位的简谐激励作用。令将方程(5.7-11)写程复数形式 sint0F tF(5.8-3) 202s

17、in()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1(5.8-4)式中 T0rrN0uF(5.8-5)多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析第23页/共35页第二十四页，共35页。式中这里Hr()，r和r分别为相应于正则坐标(zubio)的放大因子，相位角和频率比。 则正则坐标(zubio)的稳态响应为 02sin(-)rrrrrNtHt (5.8-6) 222112rrrrH (5.8-7)122tg1rrrr (5.8-8)rr(5.8-9)多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析第24页/共35页第二十五页，共35页。因此(ync)系统对简谐激励的稳态响应可以表示为

18、(5.8-10) 02222sin12rrrrrrrNtt 则 原 广 义 坐 标 的 稳 态 响 应(xingyng)为 1T022221sin12nrrrrrnrrrrrrtt q tuuuF(5.8-11)多自由度有阻尼系统对简谐激振的响应求解推导振型分析第25页/共35页第二十六页，共35页。 不难看出，当外激励频率与系统第r阶固有频率r值比较接近时，即r=/r1，这时第r阶正则坐标r(t)的稳态强迫振动的振幅值就会很大，这与单自由度系统的共振现象(xinxing)是完全类似的。 2周期(zhuq)激励 如果系统各坐标上作用的外激励为具有同一周期的周期力，则可将各外力先按傅里叶级数展开

19、，即 10sincos2jjjrtjbtjaatN(5.8-12)式中系数a0，aj和bj可用第三章3.2节给出的公式计算。有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析第26页/共35页第二十七页，共35页。 把外激励各简谐分量所引起的系统(xtng)各稳态强迫振动解分别求出，然后将各解叠加起来，就得到系统(xtng)在这种周期力作用下的响应 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat(5.8-13)式中 2222112rjrrrHjjj(5.8-14)1222tg1rrrjrjj(5.8-15)rr(5.8-16)有阻尼系统对一般(ybn)周期激振的响应求解推导振型分

20、析第27页/共35页第二十八页，共35页。 对于任意阶正则坐标响应(xingyng)r(t) (r=1,2,n)，是由各个不同频率的激励引起的响应(xingyng)叠加而成。 因而，就一般周期性激励(jl)函数来说，产生共振的可能性要比简谐函数大的多。所以很难预料各振型中哪一振型将受到激励(jl)的强烈影响。 但是，当激励函数展成傅里叶级数之后，每一个激励频率j可以和每个固有频率r相比较，从而预先推测出强烈振动所在。 有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析第28页/共35页第二十九页，共35页。原坐标(zubio)的稳态响应为 10211cos2sinnrrrrnrjjrjrjrjrjtaHjaj tbj tq tuu(5.8-17)3任意(rny)激励 对于外力是一般任意随时间变化的激励，用振型叠加法也很容易求出各广义坐标的响应。 有阻尼系统对一般周期激振的响应求解推导振型分析第29页/共35页第三十页，共35页。 000 0ecossin1esindrrrrtrrrrrrdrdrdrttrdrdrtttNt (5.8-18)21drrr (5.8-19) TT00,rrrr00uMquMq(5.8-20) 1nrrrtq tu(5.8-22)有阻尼系统对非