第九章 常微分方程5-7

1、5 5 二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程1. 线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程为常数。，qpqypyy,0 设方程的解为设方程的解为则得则得, 02xxxqeepexey, 0)(2xeqp.02qp特征方程特征方程为常数。，qpqypyy,0 设方程的解为设方程的解为则得特征方程和特征根则得特征方程和特征根, 02qpxey).4()4(22122211qppqpp，1. 线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程(1). 1，2为相异实根，则方程通解为为相异实根，则方程通解为.,)(212121为任意常数，CCeCeCxyxx, 02qp).4()4(22122211qppqpp

2、，首先首先.,)()()( 2121212121为任意常数也是方程的解都是方程的解，和CCeCeCxyexyexyxxxx为常数。，qpqypyy,0 其次其次.)()(21们线性无关的朗斯基行列式说明它和xyxy.0)()()()()()(12)(212121212121xxxxxeeeeexyxyxyxyxw(2). 1 =2，即特征方程有二重特征根，即特征方程有二重特征根,则方程通解为则方程通解为.,)(212111为任意常数，CCxeCeCxyxx, 02qpp212, 1为常数。，qpqypyy,0 .,)()()( 2121211111为任意常数也是方程的解都是方程的解，和CCxe

3、CeCxyxexyexyxxxx.)()(21们线性无关的朗斯基行列式说明它和xyxy.0)()()()()(1111112112121xxxxxxexeeexeexyxyxyxyxw(3). 1，2为共轭复根，即为共轭复根，即1=+i, 2=-i,则方程通解为则方程通解为.,)sincos()(2121为任意常数，CCexCxCxyx, 02qp).4()4(22122211qppqpp，为常数。，qpqypyy,0 .)sin(cos)()sin(cos)( )(*2)(*1都是方程的解xixeexyxixeexyxxixxi(3). 1，2为共轭复根，即为共轭复根，即1=+i, 2=-i

4、,则方程通解为则方程通解为.,)sincos()(2121为任意常数，CCexCxCxyx都是方程的解，)sin(cos)()sin(cos)( )(*2)(*1xixeexyxixeexyxxixxi.)()(21们线性无关的朗斯基行列式说明它和xyxy.sin)()(21)(cos)()(21)( *2*12*2*11也是方程的解xexyxyixyxexyxyxyxx也是方程的解。从而)()()( 2211xyCxyCxy 三种情况所对应的情况的形式列表三种情况所对应的情况的形式列表特征根特征根方程的通解方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCCye )(21 一对共轭复根r1,2=

5、i两个不等的实根r1, r2两个相等的实根r1=r2=r( 0)xexCxCy)sincos(21定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .例例7. 求解方程 yy 6y = 0的通解.解：解：特征方程是r2 r 6 = 0其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为 y = C1e3x + C2e2x. 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos

6、(21xCxCeyx .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx .052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2 特征根的情况特征根的情况 通解

7、的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 方程。的三个特解，求此微分次微分方程是二阶常系数线性非齐：已知例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxeyexey2 ,323221 ,31xeyy 解：解：,221xeyy 11 r特特征征根根22 r特特征征根根0)2)(1( rr特特征征方方程程为为：022 rr02 yyy齐齐次次方方程程为为xxxeeyyy22 微微分分方方程程为为例例8. 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.解：解：特征方程是4r2

8、 +12r + 9 = 0.此方程有二重实根 .2321 rr故所求通解为.)(2321xexCCy例例9. 求解方程 y6y+13y=0.解：解：特征方程是 r2 6r + 13 = 0.其根 r1,2=32i为一对共轭复根,)2sin2cos(213xCxCeyx故所求通解为例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程为特征方程为0322 rr特征根为特征根为3, 121 rr齐通解为齐通解为xxececY321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例3 3.

9、052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 设圆柱形浮筒，直径为设圆柱形浮筒，直径为0.5 米，铅直放米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中振动的周期为水中振动的周期为2 秒，求浮筒的质量。秒，求浮筒的质量。解解设浮筒的质量为设浮筒的质量为 m 平衡时平衡时 圆柱浸入水中深度为圆柱浸入水中深度为 l浮力浮力glR 2重力重力mg mgglR 2 设设 t 时刻浮筒上升了时刻浮筒上升了 x 米米 此时此时浮力浮力gx

10、lR)(2 重力重力mg 由由Newton第二定律第二定律 mggxlRdtxdm )(222 glRgxlR 22)( gxR2 0222 xmgRdtxd 记记mgR22 0222 xdtxd tctcx sincos21 T2)(25.1952kggRm 3310mkg 28 . 9smg mR25. 0 14. 3 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 02 qprr0 qyypy 特征根的

11、情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 例题例题. 设 为实数, 求方程 y + y = 0的通解.解解: 特征方程为 2 + = 0(i) 0时, ,ixCxCysincos21通解为例题例题. 设 为实数, 求方程 y + y = 0的通解.解解: 特征方程为 2 + = 0上述方法可推广到解上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性阶常系数齐次线性方程的情形方程的情形, 此时特征方程为此时特征方程为0111nnnnprprpr特征方程的根对

12、应微分方程的解的情况如下表特征方程的根对应微分方程的解的情况如下表 n阶线性常系数齐次方程为阶线性常系数齐次方程为 n阶线性常系数齐次方程的特征方程为阶线性常系数齐次方程的特征方程为 其其n个特征根个特征根1n所对应的所对应的n个线性无关的特个线性无关的特解的线性组合即为上述齐次方程的通解。解的线性组合即为上述齐次方程的通解。0.1)1(1)(yayayaynnnn0.111nnnnaaa特征根特征根对应的线性无关的特解对应的线性无关的特解(1) 单实根 rrxye,e1rxy r1,2=i(2) k重实根 r,e2rxxy ,e1rxkkxy(3)一对单复根,cose1xyxxyxsine2

13、 r =i(4)一对k重复根,cose1xyx( 0)( 0),12xyy ,11yxykk,sin1xeyxk,12kkxyy,112kkkyxy每个特征根所对应的线性无关的特解：例例10. 求解方程 y(4) 2y + 5y = 0.解：解：特征方程为 r42r3+5r2=0.对应线性无关的特解为y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为).2sin2cos(4321xCxCexCCyx其根为r1= r2=0, r3,4=12i.).(243221xCxCCeeCyxx解：解：特征方程02795234rrrr对应线性无关的特解为y1=e2x, y

14、2= ex, y3=xex, y4= x2 ex, 故所求通解为例例11. 求解方程02795)4( yyyyy其根为r1= 2, r2= r3=r4= 1.例例. 求解方程 y(4) + y = 0解解: 特征方程为 r4 + 1 = 0ier143 , 2 , 1 , 0 ,424keriki即)1 (224sin4cos430iieri)1(2243sin43cos431iieri)1(2245sin45cos452iieri)1 (2247sin47cos473iierir0, r3 共轭, 对应,22cos220 xeyx,22sin223xeyxr1, r2 共轭, 对应,22co

15、s221xeyx,22sin222xeyx故原方程通解为22113300yCyCyCyCy)22sin22cos(3022xCxCex)22sin22cos(2122xCxCex特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 4解解:, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1

16、通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 例：求微分方程例：求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 考虑二阶方程考虑二阶方程2.若干特殊线性常系数非齐次方程的特解若干特殊线性常系数非齐次方程的特解为常数。，qpxfqypyy,0)( (1). 若若.0.)()(01110aaxaxaxaxPxfnnnnn，(i). 当当q0时时,设设是一个特解，则代入方程有是一个特解，则代入方程有比较方程两边的系数，得到比较方程两边的系数，得到n+1个关于个关于b0, b1, , bn 的线性方程，求得的线性方程，求得Qn(x)的系数。的系数。0.)(01110bbxbxbxbxQnnnn

17、n，)()()()( xPxqQxpQxQnnnn为常数。，qpxPqypyyn,0)( (ii). 当当q=0, p0 时时,设设 Q(x)=xQn(x)是方程的特解是方程的特解，代入方程比较方程两边的系数，得到代入方程比较方程两边的系数，得到n+1个关于个关于b0, b1, , bn 的线性方程，求得特解的线性方程，求得特解 xQn(x) 的系数。的系数。.0)( xPpyyn0.)(01110bbxbxbxbxQnnnnn，(iii). 当当 q=0, p=0 时时, 设设 R(x)=x2Qn(x)是方程的特解，是方程的特解，代入方程比较方程两边的系数，得到代入方程比较方程两边的系数，得

18、到 n+1 个关于个关于b0, b1, , bn 的线性方程，求得特解的线性方程，求得特解 x2Qn(x)的系数。的系数。.0)( xPyn0.)(01110bbxbxbxbxQnnnnn，观察观察 对应的齐次方程对应的齐次方程 的特征方程的特征方程q0 的充要条件是特征根不为的充要条件是特征根不为0非齐次方程有特解非齐次方程有特解Qn(x);q=0,p0的充要条件是的充要条件是0为单特征根为单特征根非齐次方程有特解非齐次方程有特解xQn(x); q=0,p=0的充要条件是的充要条件是0为二重特征根为二重特征根非齐次方程有特解非齐次方程有特解x2Qn(x)。0 qypyy。02qp)( xfq

19、ypyy有如下结论：有如下结论：例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2x

20、eC23由初始条件得0432CC,0于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常数。是常数。设非齐次方程有形如设非齐次方程有形如y=Aex的特解，代入方程得的特解，代入方程得.)(2xxaeeqpA(i)当当 ，即，即不是齐次方程不是齐次方程的特征根时，由上式可确定的特征根时，由上式可确定A，得特解，得特解y=Aex。02qp为常数。，qpxfqypyy,0)( 0 qypyy(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常数。是常数。(ii)当当 时，02qp,)2(xxaepAe则由上式可确

21、定则由上式可确定A,从而得非齐次方程的特解从而得非齐次方程的特解y=Axex .为常数。，qpxfqypyy,0)( 不是方程的特解。此时可知，由观察xxxeaeeqpA )( 2设方程有形如设方程有形如y=Axex的特解，代入方程得的特解，代入方程得.0,2.1根不是特征方程的重特征即若 p(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常数。是常数。(ii)当当 时，02qp,)2(xxaepAe为常数。，qpxfqypyy,0)( 若方程有形如若方程有形如y=Axex的特解，代入方程得的特解，代入方程得.0,2.2不是方程的特解观察上述方程可知。是特征方程的重特征根即若xxep设方程有形

22、如设方程有形如y=Ax2ex的特解，代入方程得的特解，代入方程得,2xxaeAe可确定可确定A，从而得非齐次方程的特解，从而得非齐次方程的特解y=Ax2ex 。.,.,.,2xxxeAxAxeAe方程有特解根时是齐次方程的二重特征若方程有特解但不是重特征根时是齐次方程的特征根若方程有特解时不是齐次方程的特征根若. xaeqypyy2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解的通解 (其中其中为实数为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(1

23、2时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221(3). f(x)=acosx+bsinx, 0,a,b中可以有一个为中可以有一个为0。设非齐次方程有形如设非齐次方程有形如y=Acosx+Bsinx的特解，代入的特解，代入方程得方程得,)()(22bBqpAapBAq上述方程有唯一解的充要条件是上述方程有唯一解的充要条件是：.0)(0222222pqqppq，即为常数。，qpxfqypyy,0)( (i)若若0 q-2与与p不同时为不同时为0. i不是不是2+p+q=0的根的根.此时可唯一确定此时可唯一确定A,B, 得特解得特解 y=Acosx+Bsin

24、x。设非齐次方程有形如设非齐次方程有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解。的特解。.sincos xbxaqypyy.0)(0222222pqqppq，即(ii)若若=0q- 2=0且且p=0 i是是2+p+q=0的根。的根。此时设非齐次方程有形如此时设非齐次方程有形如y=x(Acosx+Bsinx)的特解，代的特解，代入方程得：入方程得：,22bApBaBAp可唯一解得可唯一解得A,B, 从而得非齐次方程的特解。从而得非齐次方程的特解。若非齐次方程有形如若非齐次方程有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解。的特解。.sincos xbxaqypyy.0)(0222222pqqppq，即

25、042222ppp例例3 3.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解 对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy （取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3co

26、s(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例5 5.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方程通解对应齐方程通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解

27、为.tanseclncossincos21xxxxCxCy (4)若(5)对高阶线性常系数非齐次方程也可用待定系数法求解。可做类似的讨论，得类似的结果。xexPxfexPxfxnxncos)()()()(，或)(xfqyypy 型型)()()1(xPexfmx , )(xQexymxk 设设 是是重重根根是是单单根根不不是是根根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不

28、是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk类型类型 I)(21xPeypypymx (13)设方程(13)特解具有形式)(*xQeyx)()( *xQexQeyxx则)()(2)(*2xQexQexQeyxxx 代入(13) 并消去 ex ,)()()()()2()(212xPxQppxQpxQm (i) 当 不是特征根, 即2 + p1 + p2 0 , Q(x) 为 m 次多项式mmmmmaxaxaxaxQxQ1110)()()(*xQeymx(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0.Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零.Q(x) = x Q

29、m(x)(*xQxeymx(iii) 是重根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 2 + p2 = 0. Q(x)是 m +2次多项式, 取常数项和一次项系数为零, Q(x) = x2 Qm(x)(*2xQexymx总之, )(*xQexymxkk 取0, 1 或 2 视不是特征根, 是一重根或是二重根而定, Qm(x)与 Pm(x)次数相同, 为待定多项式.例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特

30、解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2例例12. 求方程 y+9y=xe5x的特解.解：解：特征方程是 r2+ 9 = 0 ,由于=5不是特征方程的根, Pm(x)=x, 可设特解为 y* = (ax+b)e5x代入原方程得34ax+(10a+34b)=x.其根为r1,2=3i.比较等式两边同次幂的系数，得34a=1,10a+34b=0,解得.17345,341ba于是求得一个特解为.)175(341*5xexy例例13. 求方程 y 2y+ y = ex(1+x)的通解.解：解：特征方程是r22

31、r+1=0,其根为r1=r2=1，对应齐次线性方程的通解为.)(21xexCCy 因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为).(*2baxexyx代入原方程中得. 126xbax所以.21,61ba从而有一特解为).2161(*2xexyx故原方程的通解为).2161()(221xexexCCyxx例例14. 写出下列方程特解的形式.(1) y 2y + y = 1 + x + x2(2) y 3y + 3y + y = ex (x5)解解: (1)特征方程是 r2 2r +1 = 0因= 0不是特征根，故有特解形式为.*2cbxaxy其根为r1= r2=1.(2)特征方程为,

32、 013323rrr因 = 1是特征方程的三重根, 故有特解形式为)(*3baxexyx其根为 r1 = r2 = r3= 1.类型类型 IIsin)(cos)(21xxQxxPeypypynlx (14)当 i 不是特征根时, k = 0;当 i 是一重特征根时, k = 1;).,max(,)(),()2()1(nlmmxRxRmm次待定多项式是在不加推导的情况下, 给出的 y* 形式sin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk(15)例例15. 求方程 y+y=xcos2x 的通解.解：解： 特征方程为 r2+1=0,其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为y

33、 = C1cosx + C2sinx.因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xy*代入原方程，得.2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax比较两端同类项的系数，得, 13 a, 043cb, 03 c. 043ad解之得.94, 0, 0,31dcba于是求得一个特解为.2sin942cos31*xxxy因此方程的通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy例例6 求通解求通解xey

34、yxcos 解解 相应齐方程相应齐方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齐通解齐通解xcxcYsincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解设设xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考虑辅助方程考虑辅助方程jxeyy 是是单单根根j 可设可设jxAxey jxjxAjxeAey jxjxAxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取实部得取实部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解为所求通解为)sin(21sincos

35、21xxexcxcyx 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:例例16. 设连续函数 f (x) 满足方程xxtttfttfxxxf00.d)(d)(sin)(,d)()(sin)(0 xttftxxxf上式两边关于

36、 x 求导得解：解：将方程写为.d)(cos)( 0 xttfxxf再求导，得).(sin)( xfxxf设 y = f (x), 则问题可化为求解初值的问题： y+y = sinx, y|x=0, yx=0 =1.因特征方程 r2+1=0 的根为r1,2=i，故对应应齐次线性方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.又因 i =i是特征方程的根，可设特解为y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得. 0,21ba于是.cos21*xxy 故原方程的通解为.cos21sincos21xxxCxCy将初始条件代入上式，得C1=0， ,212C从而,cos21sin21xxxy即.co

37、s21sin21)(xxxxf例例17. 写出方程 y4y+4y=8x2+e2x+sin2x的一个特解 y* 的形式.解：解：令 f1(x) = 8x2, f2(x) = e2x, f3(x) = sin2x. r2 4r + 4 = 0,其根为r1 = r2 = 2. 于是方程y 4y + 4y = f1(x)对应齐次方程的特征方程是的特解形式是;*21cbxaxy方程y 4y + 4y = f2(x)的特解形式是;*222xeAxy方程y4y+4y = f3(x)的特解形式是.2sin2cos*3xCxBy由本节定理5知方程的特解形式为.2sin2cos*222xCxBeAxcbxaxyx

38、3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex例例7 设设)(22yxfu 具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数且满足且满足2222221yxuxuxyuxu 求求 u 的表达式的表达式解解记记 22yxr 则则)(rfu rxdrduxudrduxu drdurydrudrxxu 3222222)(同理同理dr

39、durxdrudryyu 3222222)(udruduxuxyuxu 22222212222yxudrud 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得解得2sincos221 rrcrcu222221sincosyxcyxcu 222rudrud 即即内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也

40、可推广到高阶方程的情形.6.6.用常数变易法求解二阶线性非齐用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法次方程与欧拉方程的解法1. 常数变易法常数变易法(i)先求出二阶线性齐次方程先求出二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解1(x),2(x),则其通解为0)()( yxqyxpy).()(2211xCxC.)()( f(x)yxqyxpy(ii)设设 是非齐次方程是非齐次方程 的解。代入方程得的解。代入方程得)()()()()(2211xxCxxCxy因为因为所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解C1(x),C2(x)，再积分，再积分求得求得C1(x),C2(x)。.)(

41、)()()()(0)()()()(21221121xfxCxxCxxCxxC假设0)(2121xW.)()( f(x)yxqyxpy2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc(4)22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 得得代代入入方方程程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(2222111122

42、11xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy .)()( f(x)yxQyxPy,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次

43、方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例.的通解。用常数变易法求方程xyysin1 .sincos . , 01 . 0 212xCxCyiyy齐次方程的通解为特征根为特征方程为先解齐次方程解：解：.sin)(cos)( 21xxCxxCy设非齐次方程的通解为ctgxxCxCxxxCxxCxxCxxC)(1)(sin1cos)(sin)(0sin)(cos)(212121则2211|sin|)()(cxInxCcxxC.sin)|sin|(cos)(21xcxInxxcy通解为对于二阶方程y + p1 (x) y + p2 (x)y = f

44、(x)(4)对应齐次方程y + p1 (x) y + p2 (x)y = 0(3)如何求如何求(3)和和(4)的通解的通解? 步骤一步骤一: 先找出先找出(3)的一个特解的一个特解 y1 :当 p1 (x) + x p2 (x) = 0时, y1 = x当 1 + p1 (x) + p2 (x) = 0时, y1 = ex当 2 + p1 (x) + p2 (x) = 0时, y1 = e x当 1 p1 (x) + p2 (x) = 0时, y1 = e x例例4.0112 yxyxy0)1(1)()( 221xxxxxpxp因故方程有解 y1 = x0) 1( yyxyx又有解 y1 =

45、x定理定理 3步骤二步骤二: 找出找出 y1 后再找后再找 y2 .如果 y1是方程(3)的一个非零特解,则xyeyyxxpd21d)(121是方程(3)的一个与y1线性无关的解.证证: 用常数变易法用常数变易法, 112)()(yxCyxCy1112)()(2)(yxCyxCyxCy 代入(3), 得0)()()(2()()()(11111211 xCyxCyxpyxCyxpyxpy设 y2 = C (x) y1令 z (x) = C (x), 则0)(2(dd1111zyxpyxzy即0)(2dd111zxpyyxz简化为0)()()(2(1111 xCyxCyxpyxxpyyCezd)(

46、2111xxpxyyCed)(dd211xxpyeCed)(ln12121d)(1yCexxp取 C =1.xeyxCxxpd1)(d)(211xeyxCxxpd1)(d)(211xeyyyxxpd1d)(21121故例例4.011 : yxyxy求通解解解: y1 = xxeyyyxxpd1d)(21121xxexxxpd2d)(1xxxd13方程通解为xCxCy21x21例例5. 求方程 (x2+1)y2xy (9x26x+9y)=0的通解.解：解：这里,12)(21xxxp1)969()(222xxxxp由, 01)969()12(2222xxxxx得 = 3.(2 9)x22( 3)

47、x + (2 9) = 0,故 y1=e3x 是方程的一个特解.再由定理3得方程的另一线性无关的特解为.)181931(61322xexxy故原方程的通解为.)181931(32231xxexxCeCyxeeyxxxxdd123221)d(263xxeexx定理定理 步骤三步骤三: 求方程求方程(4)的特解的特解 y*设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出 xyyyyxfyyyxyyyyyxfyyyd)(0d)(0*21211122121221此时, (4)的通解为 y= y* + C1 y1 + C2 y2例例6. 求方程 xyy =x2的通解.解：解：由是

48、齐次线性故得1. 0, 0)1(12yx方程 xy y = 0的解. xxx2 201 2从而由公式(4.6)并取积分后的任意常数为0,得又由定理3可求得y2=x2也是方程xyy=0的与y1线性无关的一个特解.332161xx 331x故所求通解为xCCxy21331xxxxxxxxyd2d2*22其中其中ai(i=0,1,2,n)为常数。为常数。2. 欧拉方程：形如欧拉方程：形如0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnnn当当x0时时,令令x=et(当当x0时时,令令x=-et)。则有。则有ktdtydkdtyddtdyktdtdydtydtdtdyecccyeyeykk).(.

49、)( 222221)(2其中其中ci(i=1,2,n)为已知常数。为已知常数。则欧拉方程变形为则欧拉方程变形为其中bi(i=0,1,2,n)为已知常数。0.1)1(1)(0ybybybybnnnn是关于是关于y,y,y (n)的常系数方程的常系数方程0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnnnktdtydkdtyddtdyktdtdydtydtdtdyecccyeyeykk).(.)( 222221)(2令令x=et, 即即 t=Inx.)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性微分方程线性微

50、分方程.求出这个方程的解后求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，原方程化为原方程化为方程所对应的齐次方程为方程所对应的齐次方程为其特征方程其特征方程, 03223 rrr例例 求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解 作变量变换作变量变换,ln xtext 或或tdtyddtyddtdytdtdydtydtdtdyeyeyey3 2)32()( 332222.33222233tdtdydtyddtyde.0322233dtdydtyddtyd特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 rrr所以齐次方程的

51、通解为所以齐次方程的通解为设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给欧拉方程所给欧拉方程的通解为的通解为.2123321xxCxCCy ,22xy 即即, 03223 rrr.33213321xCxCCeCeCCYtt.33222233tdtdydtyddtyde,ln xtext 或或22334xyxyxyx 小结小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式xtextln 或或0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnn

52、n小结小结微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子7.7.常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组1. 一阶常系数线性微分方程组的一般形式一阶常系数线性微分方程组的一般形式)(.)(.)(.11221212111111xfyayayxfyayayxfyayaynnnnnnnnnn2. 一阶常系数线性微分方程组的特解一阶常系数线性微分方程组的特解)(),.,(

53、),(2211xyxyxynn在在(a,b)可微，代入方程组后使得每个方程可微，代入方程组后使得每个方程成为恒等式。成为恒等式。3. 定义定义1：函数组：函数组中的任意常数中的任意常数C1,C2,Cn称为独立的，若雅可称为独立的，若雅可比行列式比行列式).,.,;(.),.,;(),.,;(2121222111nnnnnCCCxyCCCxyCCCxy.0),.,(),.,(11nnCCDD4. 定义定义2：带有：带有n个独立的任意常数个独立的任意常数C1, C2, , Cn 的的函数组函数组).,.,;(.),.,;(),.,;(2121222111nnnnnCCCxyCCCxyCCCxy若在

54、若在(a,b)上可微且满足方程组上可微且满足方程组)(.)(.)(.11221212111111xfyayayxfyayayxfyayaynnnnnnnnnn则称其为方程组的通解。则称其为方程组的通解。5.结论结论：若：若 是非齐次方程组的一个特是非齐次方程组的一个特解，解， 是齐次方程组的是齐次方程组的通解，则通解，则是非齐次方程组的通解。是非齐次方程组的通解。)(*x)(.)(11xCxCnn)()(.)()(*11xxCxCxynn6. 解的存在唯一性定理：解的存在唯一性定理：设线性微分方程组中的函数设线性微分方程组中的函数fi(x)(i=1,2,n)在区间在区间(a,b)上连续，又设上

55、连续，又设x0(a,b),则对任则对任意给定的初值意给定的初值方程组在区间方程组在区间(a,b)上存在惟一的一组解上存在惟一的一组解满足初值条件。满足初值条件。,)(,.,)(,)(00n00200111nyxyyxyyxy),(),.,(),(nn2211xyyxyyxyy7. 求解常系数线性微分方程组的方法：消去法求解常系数线性微分方程组的方法：消去法用微分法消去若干未知数，得到只含有一个未用微分法消去若干未知数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数微分方程，求得该未知函知函数的高阶常系数微分方程，求得该未知函数，再逐一求得其余未知函数。数，再逐一求得其余未知函数。例例1 1解微分方程组解微

56、分方程组 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy设法消去未知函数，设法消去未知函数，y解解两边求导得，两边求导得，)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化简式并化简, 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程组的通解为原方程组的通解为,)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示对自变量表示对自变量x求导的运算求导的运算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如，例如，D用记号用记号可表示为可表示为)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多项式的多项式可进行相加和相乘的运算可进行相加和相乘的运算例例2 2 解微分方程组解微分方程组 . 02222ydtdxdtydexdtdy