2020初中数学图形的旋转变换综合题(较易附答案)

1、其中正确的是（写岀所有正确判断的序号）（ ）2.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开,D结 AD1、BC1.若ZACB=30° , AB=I,CCI =x, 4ACD吕AlClDl重叠部分的面积2020初中数学图形的旋转变换综合题（较易附答案）一.选择题（共2小题）1.如图1，正方形纸片ABCD的边长为2,翻折ZE ZD,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）设AE=X （0<x<2）,给出下列判断: 当X=I时，点P是正方形ABCD的中心： 当X=丄时，EF十GH>AC;2 当0<x<2时，六边形AEFCHG而积的最大

2、值是丄丄；4 当0VXV2时，六边形AEFCHG周长的值不变.再把ZXACD沿CA方向平移得到ZMlClDH连为“则下列结论:AADCC; 当X=I时，四边形ABCIDi是菱形: 当x=2时，MDD为等边三角形: S=返（-2） 2 （0<x<2）;8A.BB.CD二.填空题（共4小题）3. 将AABC绕点A按逆时针方向旋转6度，并将各边长变为原来的“倍得C ,即 / / 如图ZBABr =>蛙L=旦二一=吧一=小 我们将这种变换记为f> n.如 AB BC AC图.住ADEF中，ZDFE=90° ,将ADEF绕点D旋转,做变换60° , nDE,F

3、f ,如果点© F、尸恰好在同一直线上，那么H=4. 如图，在矩形纸片ABeD中，AB=>1, AD=VS（1）如图，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在边上的D'处，压平折痕交CD于点、E,则折痕AE的长为.（2）如图，再将四边形BCED,沿D E向左翻折，压平后得四边形B' C ED',Br C交AE于点F,则四边形B' FED'的而积为.（3）如图，将图中的AAEDf绕点E顺时针旋转CX角，得EDft ,使得EA' 5. 如图1,在平而直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC第二象限且A、B、C坐标 分别为（-3, 0） （

4、 -3, 3）, （0, 3）,将四边形QWe绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形Of B, C ,此时直线Of、直线B' C,分别与直线BC相交于点P、 0（1）如图2,当四边形04' Bf C,的顶点B'落在y轴正半轴时，旋转角=:（2）在四边形OABC旋转过程中，当0<180o时，存在着这样的点P和点0使图1图26. 如图，在平而直角坐标系中，点A的坐标为(-8, 0),点C的坐标为(0, 6),将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转度得到QV B, C ,此时直线OA'、直线B' C分别与直线BC相交于点P、Q.当45° <90

5、 ,且BP=丄Bo时，线段P0的长是.27. 如图，AABC和/MDE是等腰直角三角形，ZADE= ZACB=90 ,连接BE, F为BE 的中点，连接CF、DF.(1) 如图1,当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想：(2) 如图2,当DA丄AB时，(1)中猜想的结论是否成立？请说明理由：(3) 如图3,若AABC不动，AADE绕点A旋转任意一个角度，其他条件不变，(1)中(1) 如图1,若CD=4,求ZXACB的周长.(2) 如图2,若E为AC的中点，将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转60° ,使点E 至点F处，连接BF交CD于点连接DF,取DF的中点M连接

6、MM求uE： MN=2CM.(3) 如图3,以C为旋转中心将线段CD顺时针旋转90° ,使点D至点E处，连接B£9.如图，在平而直角坐标系中，点O为坐标原图1图2图3交CD于/,连接DB取DE的中点N,连 接交MN,试猎想BD、MN、MC之间的关系, 直接写出英关系式，不证明. 点，点A、B的坐标分别为(0, “)、(-0) (Q0),点C是点B关于y轴的对称点, 连接AB、AC. AABC的而积为18. 点C的坐标是: 动点D从动点B岀发，沿X轴正方向运动，动点£从点A出发，沿y轴正方向运动， 两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，连接DE,任DE右侧，以

7、DE为斜边作 等腰直角ADEF,设动点D的运动时间为/秒，请用含,的代数式表示点F的坐标； 在的条件下，连接AD. OF,作线段AD的垂直平分线，与直线OF相交于点G, 连接DG,直线DG与y轴相交于点K,当C4 = CD时，求点K的坐标？B O ：10.在ABC中，ZABC=90° , D为AC中点，将线段DC绕点D旋转，得到线段DB连接CE；(1) 如图，判断AACE的形状，并证明；(2) 如图连接BE,当BE平分ZABC时，求证：ED丄ACX(3) 在(2)的条牛下，H为AACE内一点,且满足ZAHC=I35° ,过E作EM丄CH,若EM=3,求CH的长度11如图(1

8、), ZVlBO与Br 0,均为等边三角形，点/V、分别在线段OB、OA 上，ZXABO固定不动，B, 0绕0点顺时针旋转ZCt (0180o ),过4' . A 点分别作OA、OA'的平行线交于0'点.(1) 如图(2),当 O60o 时，若ZAO' Af =45° ,则旋转角(X=:(2) 如图(3),当 60° 180o 时，若 00' =A4l ,则旋转角(X=:当厶4夕O'旋转时，ZAO, A,与旋转角的关系为(3) 如图(4),在Br O旋转过程中，连O' B、OB.试判O, B,随旋转角Ct的变化情况，并

9、证明图S)图图12. 如图1,在ZVlBC中，ZACB=90° ,点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB,使得ZDEA=90° ,若点O是线段BD的中点，连结OC、OE,则易得OC=OE:操作：现将AADE绕A点逆时针旋转得到AAFG (点ZX点E分别与点尸、点G对应), 连结FB,若点O是线段PB的中点，连结OC、OG,探究线段OC、OG之间的数量关 系；(1) 如图2,当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立：若成立，请证明： 若不成立，请说明理由；(2) 如图3,当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明：若不 成立，请说明理由：(3

10、) 如图4,在/!£>£的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化？ 请直接写岀结论，不用说明理由13. 已知 DE=CE, AC=AB. ZCED=ZCAB=90° , N 是 BD 中点.(1) 如图 1,求证：EN丄AN, EN=AN;(2) 将绕C旋转至如图2位置，其他条件不变，试探究EV与AN的关系并证明:如图Z是CD的中点，亚交于F,填空：M=C£图1C14. 已知，如图1,正方形ABCD边长为1,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转c ,后得 到正方形AB' C D' (0o <<90o ), C

11、' D'与直线CD相交于点E, C, B,与直 线CD相交于点F.(1) 试猜想ZEAF=° : EC, F的周长为.(2) 如图2,连接B' D,分別交AE、AF于P, 0两点，在旋转过程中，若D' P=Ut QB' =b,试用“，b来表示PQ,并说明理由.(3) 如图3当旋转角等于45°时，求AAP0的而积参考答案与试题解析一.选择题（共2小题）1. 如图1，正方形纸片ABCD的边长为2,翻折ZB、ZD,使两个直角的顶点重合于对角 线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=X （0<a<2）,给出下列判断

12、: 当x=l时，点P是正方形ABCD的中心： 当 x=时，ef+gh>ag 当0<<2时，六边形AEFCHG而积的最大值是»：4 当0VV2时，六边形AEFCHG周长的值不变.其中正确的是（写出所有正确判断的序号）（）图1图2A.B.C.D.【解答】解：正方形纸片ABCD,翻折ZB、ZD,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P,：厶BEF和ADGH是等腰直角三角形，.当AE= 1时，重合点P是BD的中点，点P是正方形ABCD的中心；故结论正确；正方形纸片ABCD,翻折ZB、ZD,使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P,.t. BEF ABAC,Tx=丄，2：.B

13、E=2 -丄=旦,2 22 BE MF i；2_ =EFAB "AC '2 AC'：.EF=C.4同理，GH=C,4:EF+GH=AC,故结论错误； 六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的而积-MBF的而积-AGDH的而积. 9AE=x,六边形 AEFCHG 面积=2丄BQBF-丄GDHD=4-丄 X (2-)(2-) - Xv2 2 2 2=-2+2x+2=( - 1) 2+3,六边形AEFCHG而积的最大值是3,故结论错误； 当O<r<2时，： EF七 GH=AC、六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG= (AE+CH) +

14、(FC+AG) + (EF+GH) = 2+2+22=4+22<故六边形AEFCHG周长的值不变，故结论正确.故选:D.2. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把8CQ沿CA方向平移得到AiCiDl,连 结 ADl. BCi.若ZACB=30。，AB=I, CCl=川 ZACD 与厶AlClDI 重叠部分的面积 为S,则下列结论：QAiDiCCiB; 当x=l时，四边形ABCIDl是菱形： 当x=2时，MDDi为等边三角形：®.v= (A - 2) 2 (0<x<2);8英中正确的是()PLAIA /C /CBDA.B.C.【解答】解：J四边形ABCD为矩形，

15、：.BC=AD. BC/AD：.ZDAC= ZACB.把ZXACD沿CA方向平移得到ACD, ZA=ZDC AD=AD. AAl=CC在AA1ADi 与ZkCCiB 中，rAA1=CC1.ZAI二厶CB,AlDl=CBAIADACCB (SAS),故正确：V ZACB=30° ,：.ZCAB=60° ,AB=1,AC=2,Vx=I,：.ACi = I,.9. AACiB是等边三角形，AB-DiCi 9又 AB BCI,四边形ABClDl是菱形，故正确:则可得 BD=DD=BD=2,如图2闺2,易得 ACIFACD9SAC. FO-X 7=(AA) 2,2AXD2解得：SAC

16、IF=- (x-2) 2 (O<X<2);故正确.故选：D.二填空题(共4小题)3. 将ZXABC绕点A按逆时针方向旋转6度，并将各边长变为原来的”倍得AAB' C ,即 / 如图，ZBABr =,.=-=m我们将这种变换记为, n.如AB BC AC图，住ADEF中，ZDFE=90° ,将ADEF绕点D旋转,做变换60° ,川得ZkDFFf ,如果点匚F、尸恰好在同一直线上，那么“=2【解答】解:VZDFE=90° ,将ADEF绕点D旋转,做变换60° ,川得Ft ,. ZDFFr =90o , Q=ZFDFf =60°

17、,在 RtFDF,中，ZDFF=90o , ZFDFf =60° , ZDFf F= 30° , M=Dr_=% ? L;DF故答案为：2.4如图，在矩形纸片ABCD中，AB=1, AD=3（1）如图，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落AB边上的D'处，压平折痕交CD于点、E,则折痕AE的长为仝伍_（2）如图，再将四边形BCEDr沿D E向左翻折，压平后得四边形B' C EDr ,Bf Cr交AE于点几 则四边形夕FEDr的而积为 3-l一一2（3）如图，将图中的AED,绕点E顺时针旋转角，得ZA' 恰好经过顶点乩 求弧D Dft的长 皿兀 （结果保

18、留）12 _BJI【解答】解：（1）/ ADE反折后与ZVlD E重合, ：.ADf =AD=Df E=DE=品AE-Al） / 27 E 2=2+2=6;（2） V 由（1）知 ADt =3,：.BDf =L将四边形BCEDf沿Zr E向左翻折，压平后得四边形文C, EDf ,：.Bf Dt =BD' =1,由(1)知 AD, =AD=D, E=DE=品四边形ADED'是正方形，：.Br F=ABf =3- 1,:.SB FED = (Br F+Df EyBt Df =i (3- l+3) ×l=3>i:2 2 2故答案为:(1) 6: (2) 3-i:2(3

19、) V ZC=90o , BC=眶 EC=LAtanZBEC=-=3,CE. ZBEC=60° ,由翻折可知：ZDEA=45° , ZAE, =75o =ZDf ED” ,APrP-=Is-=I5gISO125. 如图1,在平而直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC在第二象限且A、B、C坐标 分别为(-3, O) ( -3, 3), (O, 3),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形Of B, C ,此时直线Of、直线B' C,分别与直线BC相交于点P、 0(1) 如图2,当四边形OA' B, C的顶点刃 落在y轴正半轴时，旋转角Ct= 6

20、0。：(2) 在四边形OABC旋转过程中，当0<W180°时，存在着这样的点P和点Q、使(-3, 5), (O, 3),：.BC=AO=3, B=3AAf Bf =AB=5, 0A, =OA = 3,TB' Af 丄04f E =</. ZAf OB, =30o , ZAOAf =90o -30o =60° ,即=60o故答案是：60° .（2）存在这样的点P和点0,使bp=Lbq.2理由如下：过点Q画0/丄Of 于H,连接00,则QH=Oe =OC, ,.,SpoqPQOC, Smoq=*PQH,：.PQ=OP.设 BP=x,.bp=Lbq,

21、2J.BQ=2x,如图3,当点P在点B左侧时，OP=PQ=BQ+BP=3x,在 RtAPCo 中，（3+x） 2+ （3, 2=（3x） 2,解得Xl=.3÷, x2=3I.（不符实际，舍去） PC=BC+BP=3+ 3+VI=27+両.如图4,当点P在点B右侧时，XP=PQ=BQ -BP=x, PC=3 - X在 RtAPCO 中，（3-） 2+ （3'2=x2,解得 x=2,：.PC=BC-BP=3-2=,：.Pl （ - U 3）,综上可知，存在点Pl （-2卜血匝 3）, P2 C 1, 3）使BP=S0yBtBZCAOAX图2图36. 如图，在平面直角坐标系中，点A

22、的坐标为（8, 0）,点C的坐标为（0, 6）,OABC绕O按顺时针方向旋转Ct度得到QV B' C ,此时直线Of、直线刃别与直线BC相交于点P、0.当45° <90o ,且BP=LBQ时,线段PQ的长是_将矩形C分25-4 _<2= OC.点P在点B的右侧.如图，过点。作0H丄OV于H,连接00则QH=OCt： S£.POQ=寺PQ 0Ct Sapoq=*PQH,：.PQ=OP 设 BP=x,2BQ=2x.贝IJ OP=PQ=BQ - BP=x, PC= 8 - x在 RtPCO 中，根据勾股泄理知，PC2+OC2 = OP2,即（8-x） 2+62

23、=2, 解得X=竺.4：.PQ=BP=故答案是：257. 如图，ZUBC和ZkADE是等腰直角三角形，ZADE=ZACB=9Ga ,连接BE, F为BE 的中点，连接CF、DF.（1）如图1,当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想：（2）如图2,当DA丄AB时，（1）中猜想的结论是否成立？请说明理由：（3）如图3,若AABC不动，ZXADE绕点A旋转任意一个角度，其他条件不变，（1）中 的结论成立吗？请直接回答，不必说明理由.V ZADE=ZACb=W ,J.DEBC, ZDEF= ZGBF, ZEDF= ZBGF.F为BE中点，EF=BF.：.HDEFQbGBF.：.D

24、E=GB. DF=GFTAD=DE,AD=GB,VAC=BGAC-AD=BC-GB,：.DC=GC V ZACB=90° ,:仏DCG是等腰直角三角形，： DF=GF ：.DF=CF. DFdCF.(2)如图2,延长DF交BA于点. AABC和AADE是等腰直角三角形,：.AC=BC. AD=DE ZAED= ZDAE= ZABC=45° ,VCAE=ZBAD=90° ,9AEBC, ZAEB=ZCBE,： ZDEF=ZHBF.TF是BE的中点，：.EF=BF,DEFHBF.：DF=HF、ED=HB,AD=ED.：.AD=HBAD二HB在DC 和ZBHC 中， Z

25、DAC=ZHBC= 45"，AC=BC ZXADC BHC,:DC=HC DCH是等腰直角三角形，： DF=HF,：.DF=CF. DF丄 CF：(3) DF=CF DF丄CF：理由：如图3,过点B作BH/ED,与DF的延长线交于点/,连接QH,： ZDEF=ZBHF,'Zdef=Zbhf在ZXFDE 和ZkFHB 中，花F二BF,ZDFE=ZHFB： HFDE 竺 LHB、：DF=FH、DE=HB,:.AD=ED=HB,作AN丄EB于点N,由已知 ZADE=90o , ZACB=90° ,可证得ZDEN=ZDAN, ZNAC=ZCBF,9JBH/ED.乙 DEN=

26、 ZHBF9：.ZCBH= ZCBF+ZHBF= ZNAC十ZDEN=上NAC+ZDAN= ZCAD,CAC在ZkCBH 和ZkCAD 中， ZCBH=ZCAD，BH二 AD:仏 CBH9 HCAD,：CH=CD、ZDCA = ZBCH ZDCH= ZDCA+上ACH= ZBCH十ZAeH= ZACB=90° >： DF=HF,：.DF=CF, DFdCF.8. 如图.在RtAACB中，ZACB=90°ZA = 30° ,点D是AB边的中点.（1）如图1,若CD=4,求ZVlCB的周长.（2）如图2,若E为AC的中点，将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转60&

27、#176; ,使点E 至点F处，连接BF交CD于点连接DF,取DF的中点M连接MN,求证：MN=2CM.（3）如图3,以C为旋转中心将线段CD顺时针旋转90° ,使点D至点E处，连接BE 交CD于连接DE,取DE的中点N,连接交MN,试猜想BD、MN、MC之间的关 系，直接写出其关系式，不证明田1图2图3【解答】（I）解：如图1中，A在 RtACB 中，V ZACB=90° , ZA = 30° ,点 D 是 AB 边的中点.：.CD=BD=AD=4, BC=XW=4,2c=AZab2 -BC 2=A/ 82 -4 2=4V3 ABC 的周长为 4+8+43= 1

28、 2+4a3(2)证明：如图2中，作B0丄CD于0 FPMN交DC的延长线于P.V BDC是等边三角形，边长为2,髙 B0=23. ZDCB=60o , ZACD=30° ： EA=EC=2 忑,ACE=CF=BQ,V ZECF=60o , ZACD=30° ,：.ADCF=W ,:乙BQM=ZMCF=9丫 ,在ZkBQM 和ZXFCM 中，"Zbqh=Zfcm< ZBMQ=ZFMC，IBQ=CF:仏 BQM 竺 MCM.：.QM=MC. QC=IMC.TDN=NF. MN/FP,：DM=MP.:.DQ=CP=QC,在ZkBQC 和ZkFCP 中，rBQ=C

29、F< ZBQC=Z FCP *ICQ=PC:仏 BQC9HFCP、： PF=BC=DC=2QC,：mn=Lpf,2:MN=QC=2CM (S)解:如图3中'结论：(IBD) 2÷中D 5 "理由如下:S3作B0丄CD于Q,连接0MMBDC是等边三角形，：.ZDBQ=30° ,:.DQ=QC=Lbd29DC=CE. DCA-CE,： ZCDE=乙CED=45° ,DQ=QC. DN=NE,.QNEC,：.ZQDN= ZNQM= ZDCE=90° ,； ZQDN=ZQND=45° ,：QD=QN=LbD、29QN2+QM2=

30、MN2,：.（丄BD） 2+ （丄BD-CM） 2=MN22 29. 如图，在平而直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分別为（0, “）、（-“，0） （Q0）,点C是点B关于y轴的对称点，连接AB、AC, ABC的面积为18. 点C的坐标是一 （3返，0）: 动点D从动点B岀发，沿X轴正方向运动，动点E从点A岀发，沿y轴正方向运动， 两点同时岀发，运动速度均为1个单位长度/秒，连接DE，在DE右侧，以Z）E为斜边作 等腰直角ADEF,设动点D的运动时间为f秒，请用含/的代数式表示点F的坐标； 在的条件下，连接AD. OF,作线段AD的垂直平分线，与直线OF相交于点G, 连接DG,直线

31、DG与,轴相交于点K,当CA = CD时，求点K的坐标？【解答】解：J点C是点B关于y轴的对称点，B （-0）,点C坐标（"，0）,丄2d"=18, a>0.2/. "=3¾点C坐标（屹，0）.故答案为（32> 0） ZEFD= ZNFM=90° , ZNFE= ZDFM.在ZkFNE 和 AFMD 中.'ZNF E=ZDFJIl< ZFNE=ZFND，EF=DF:仏 FNE 竺 HFMD.：FN=FM EN=DM.四边形FMoN是正方形，设正方形边长为皿 则 3p2m t=3ft - m9 Hl-19'点F坐

32、标为S f)由可知直线OF解析式为y=x,VCA = CD=6,点 D 坐标(32-6, 0),设直线AD解析式为y=M,则严誓，解得JkR些1,I (32-)k+b=0 I b=32f x=32-3 y=32-3,.直线AD的解析式为y= (2+l) a+32. 线段AD中垂线的解析式为)，=(I- 2) +6 - 32. 临S)Z严点 G 坐标(32-3. 32-3).设直线DG为尸机卄P!j( j32-3)m=32-3解得f环耳， (32-6)m+n=0n=92直线 DG 解析式为y= （2- 1）-+92-9>点K坐标为（O, 92-9）.如图3中，当点D在BC的延长线上时，图3

33、由题意可得直线AD解析式为y=（1 - 2） a+32. 线段AD的垂直平分线为y= （2+D x-32>y=y=(V2÷03V2CX=3+3(y=3+3i'点 G 坐标(3+32> 3+32)>可得直线DG解析式为y= ( - 1 - 2) a+12+92,点K坐标为(0, 12+S)10. 在ZMSC中，ZABC=90° , D为AC中点，将线段DC绕点D旋转，得到线段De连接AE, CE；（1）如图，判断AACE的形状，并证明；（2）如图，连接BE,当BE平分ZABC时，求证：ED丄AC：（3）在（2）的条牛下，H为AACE内一点,且满足ZA

34、WC=I35° ,过E作EM丄CH,【解答】解：（1）Y将线段DC绕点D旋转，得到线段DE,：.DC=DE.D为AC中点，.DA=DC. de=Xc,2ZkACE是直角三角形，（2）如图1,以AC为直径作圆,由(1)有，zMCE是直角三角形， ZAEC=90° ,TZABC=90° ,：.ZABC+ZAEC= 180° ,.点A, B, C, E四点共圆，Y点D是AC中点，点D是圆心，TBE 平分 ZABC,：.AABE=CBE= ,.* AE 二 CE, AADE=ACDE= ,EDI AC.(3) 如图2,延长AH交圆与N,连接CN,（1）如图（2）

35、,当 O60o 时，若ZAO' f =45° ,则旋转角 a= 5:（2）如图（3）,当 60° a180o 时，若 00, =AAf ,则旋转角 a= 150° :当AAB, 0'旋转时，ZAO, A,与旋转角Ct的关系为a-60°（3）如图（4）,在ZA' Br O旋转过程中，连O' B、OB,试判ZBOf Bt随旋转角Ct的变化情况.并证明图©图图【解答】解：（1） Y过f . A点分别作OA、OM的平行线交于O点.四边形AOA是平行四边形, ZAlOA=ZAotA9=45 ,AOB是等边三角形, ZAOB

36、=60 , ：.a= ZAOB= ZAOB - ZOA,=60o -45° =15° ,故答案为15° :（2）由（1）知，四边形AOA是平行四边形，9OO, =AAr ,四边形AOA是矩形, ZOA,=90o , /. a = ZAOB+ ZAOA'=60° +90° =150° ,.四边形AOA1Ot是平行四边形， ZAOAi=ZAOiAO, ZBOAj ZAOB+ZAOA'：.ZAO1A9= ZBOA9 - ZAOB=a - 60° ,故答案为150o , a - 60° ；（3）无论旋转角C

37、t为多少，ZBoB是泄值60°即：ZBoE不变.当 60° <a<180o 时，四边形AOAtO9是平行四边形， ZOAO'= ZOAO, AO'=A'OVZBo = ZOA,B,=60o ,：.ZBAO'= ZOWBt由旋转得，AB = OW：.AABO幺 M08, ZABOI= Z08, ZAOB=AtB'0T ZABOZAA=18OQ - ZBAO'= 180° - （360° - ZOAB- ZA1AO'）= 180° - 360° -60° - （

38、180° - ZAOA9）= 180° - 360° -60° - （180° - ZAOA9）= 60° - ZAOAl：.ZAO,B+ZA,O,B,=60o - ZAOA'：.ABOt B=ZAo'B+ZAO>+ZA'OB=60° - ZAOA9+ZAO1A9=60 ,当0<cx<60°时，同上的方法得出ZBOt 3=60° ,即：ZBOB1不随的变化而变化，是个左值.12. 如图1,在ZVlBC中，ZACB=90° ,点D、点E分别在AC、AB边上

39、，连结DE、DB,使得ZDfA=90° ,若点O是线段BZ）的中点，连结OC、OE,则易得OC=OE:操作：现将/!£>£绕A点逆时针旋转得到AAFG （点ZX点E分别与点F、点G对应）, 连结FB,若点O是线段FB的中点，连结OC、OG,探究线段OC、OG之间的数量关 系；（1）如图2,当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立：若成立，请证明： 若不成立，请说明理由；（2）如图3,当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明：若不 成立，请说明理由：（3）如图4,在AADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化？

40、请直接写出结论，不用说明理由【解答】解：（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由:如图2,G F延长GF, CO相较于点D,V ZACB=ZFGA=90° ,:GDBC ZBCO= ZD.点O是线段BD的中点，:.0B=OF、rZBCO=ZD在ZXBOC 和ZkFOD 中， ZBOC=Z F0D>OB=OF:仏 BOC9HFOD、：.OC=OD.在 RtCDG 中，OG=7D=OC,2（2）当点G在线段CA上时，线段OC=OG是成立, 理由：如图3,AV ZACB=ZFGA=90 ,:GDBC：.ZBCO=ZD,.点O是线段BD的中点，：.OB=OF.rZBCO=

41、ZD在ZBOC 和ZkFOD 中， ZBOC=Z FOD>OB=OF:仏 BOC9HFOD、：.OC=OD.在 RtCDG 中，OG=丄CD=OG2（3）在AADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系不发生了变化,理由:如图4,连接CG,延长GF交BC于M,过点F作FD/BC9连接DG, ZBCO= ZFDO,.点O是线段BD的中点，:.0B=OF、rZBCO=ZD在ZBOC 和ZkFOD 中， ZBOC=Z FOD>OB=OF:仏 BoC9'FOD,：.OC=OD. BC=DF由题意知，ZXAFG<×>ABC>G- C G-F F B F

42、 D -T ZACB= ZAGF=90° ,.点A, C, M, G四点共圆,：.ZCAG=ZBMG,9FD/BC.：.ZGFD=ZBMG.： ZCAG=ZGFD,AF FG AB -DF，：'GACS'GFD、：.ZAGC=ZFGD,：.ACGD=ZACF=W ,9JOC=OD9：.OG=CD=OC.213. 已知 DE=CE, AC=AB. ZCED=ZCAB=9Y , N 是 BD 中点.(1)如图 1,求证：EN丄AN, EN=AN;(2)将ADCE绕C旋转至如图2位置，其他条件不变，试探究EN与AN的关系并证明:(3 )如图3 , M是CD22 【解答】(I

43、)证明：如图1中，延长EN交AB于F.图1Y ZCED= ZCAB=90° ,：.DE丄AC, AB丄AC.DEAB.：.ZEDN=ZFBN,在AEDN和AFBN中,rZEDN=ZFBN< DN=BN ,ZDNE=ZBNF： HEDN 竺 HFBN、：DE=FB=EC、EN=NFTAC=AB,：.AE=AF. JEN=NF,：.AN=EN=FN. AN丄 EF,AN丄EN, AN=EN(2)结论：EN=AN, EN丄AN理由：如图2中，延长EN到F,使得EN=NF,延长G4、BF交于点G,b6HDHu7 HC07 .,NHd7HN!7 山U"d0 HBer>E4

44、 VmASV-:JlN莒SNN Nq莒NQ4V 足 AGBVC翊Ewq应塩 S (E)NVRNQ WynNy dNHNYNY daNY H. 06IU4爲 SNn W=gy GQwmnW WSn<4QW3WNH-N. o6=07+e' 06HO7+INA图3理由：作AN丄BE、使得AN=BE, AN交BE于J,连接CM NM,延长NM到使得 MH=MN,连接HD、HE、AH. AE,延长NC交DE于G,延长AE交NG于O,延长 DE 到 P.Y ZCAN十ZBAN=90° , ZBAN+ZABE=90° ,：.ZCN= ZABE.TAC=AB, AN=EB,CAVABE.： AE=CN、ZAEB=ZCNA,V ZEB+ZE4=90o , ZANO+ZEV= 90° ,ZNOA = 90