高中数学导数经典题

1、高中数学导数经典考题1.设，函数（）若是函数的极值点，求实数的值；（）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围解：（）因为是函数的极值点，所以，即，所以经检验，当时，是函数的极值点 即 6分（）由题设，又，所以，这等价于，不等式对恒成立令（），则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为所以即实数的取值范围为 13分3.已知函数.（）若函数有三个零点，且，求函数 的单调区间； （）若，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.（）在（）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.【解】（I）因为，又，则 （1分）因为x1，x3是方程的两根，则，.即 （3分）从而：，所以

2、. 令 解得： （4分）故的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。 （6分）（）因为，所以，即.因为，所以，即. （7分）于是，. （8分）（1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点. （9分）（2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点.故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点. （10分）（）设m，n是导函数的两个零点，则，.所以. 由已知，则，即.所以，即或. （12分）又，所以，即.因为，所以. 综上分析，的取值范围是. （14分）4.(2010届沈阳市四校协作体高三联考) 已知函数,且.（I）讨论的单调性,并求出极值点.（II）若（I）中的.求在上的最小值.解：（I）当时

3、, 在上单调递减,在上单调递增, (3分)当时, 在上单调递减,在上单调递增. (5分)极值点(6分)（II）(12分)7.(山东省威海市2010届高三上学期教学质量检测)已知函数（）求函数的单调减区间和极值;（）当时，若恒成立，求实数的取值范围解：（）函数的定义域为， 2分，令，解得，列表0+单调递减单调递减极小值单调递增由表得函数的单调减区间为，;极小值为，无极大值. 6分（）因为，所以在两边取自然对数，即， 12分由（1）知的最小值为，所以只需，即. 14分11.（台州中学2009-2010学年第一学期期中试题）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单

4、调区间； （3）求函数在0，1上的最小值。解：（1）依题意有，（1分）过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为（2分）又已知圆的圆心为，半径为1 ，解得（3分）（2）当时，（5分）令，解得，令，解得所以的增区间为，减区间是（7分）（3）当，即时，在0，1上是减函数所以的最小值为（9分）当即时在上是增函数，在是减函数所以需要比较和两个值的大小（11分）因为，所以 当时最小值为，当时，最小值为（12分）当，即时，在0，1上是增函数所以最小值为.综上，当时，为最小值为当时，的最小值为（14分）2.（广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试）1.已知在区间上是增函数（I）求实数的取值范围；（II）

5、记实数的取值范围为集合A，且设关于的方程的两个非零实根为。求的最大值；试问：是否存在实数m，使得不等式对及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由1.解：（1） 1分在上是增函数即，在恒成立 3分设 ，则由得 解得 所以，的取值范围为6分（2）由（1）可知由即得 是方程的两个非零实根 ，又由 9分于是要使对及恒成立即即对恒成立 11分设 ，则由得 解得或故存在实数满足题设条件14分7（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文科）1已知函数（1）试求函数的单调递增区间；（2）若函数在处有极值，且图象与直线有三个公共点，求的取值范围.1.（1）（1分）当时，（2分）当时，方

6、程有不相等的两根为（3分）当时，或（4分）当时，（5分）综上：当时，在上递增当时，在、上递增当时，在上递增（6分）（2）在处有极值，（7分）令（8分）在处有极大值，在处有极小值（9分）要使图象与有三个公共点则（11分），即的取值范围为（12分）13.（吉林一中高三第四次“教与学”质量检测）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.（）, 曲线在点处的切线方程为.3分（）由，得，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，6分若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，9分（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，

7、则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，· 的取值范围是.12分2.(长沙市一中2010届高三第五次月考试卷) 已知函数（1）讨论函数f (x)的极值情况；（2）设g (x) = ln(x + 1)，当x1>x2>0时，试比较f (x1 x2)与g (x1 x2)及g (x1) g (x2)三者的大小；并说明理由【解析】（1）当x>0时，f (x) = ex 1在(0，+)单调递增，且f (x)>0；当x0时，若m = 0，f (x) = x20, f (x) =在(，0上单调递增，且f (x) =又f (0) = 0，f (x)在R上是

8、增函数，无极植；若m<0，f (x) = x(x + 2m) >0，则f (x) =在(，0)单调递增，同可知f (x)在R上也是增函数，无极值；4分若m>0，f (x)在(，2m上单调递增，在(2m，0)单调递减，又f (x)在(0, +)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值 6分（2）当x >0时，先比较ex 1与ln(x + 1)的大小，设h(x) = ex 1ln(x + 1) (x >0)h(x) =恒成立h(x)在(0，+)是增函数，h(x)>h (0) = 0ex 1ln(x + 1) >0即ex 1>

9、ln(x + 1)也就是f (x) > g (x) ，成立故当x1 x2>0时，f (x1 x2)> g (x1 x2)10分再比较与g (x1) g (x2) = ln(x1 + 1) ln(x2 + 1)的大小=g (x1 x2) > g (x1) g (x2)f (x1 x2)> g (x1 x2) > g (x1) g (x2) 13分3.(山东省东营市胜利一中)已知函数、为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由； （3）设令求证：.

10、【解析】， 2分有极值，故方程有两个不等实根由、可得，故实数a的取值范围是 4分 （2）存在 5分 ，+00+极大值极小值， 8分的极小值为1 9分 （3），10分证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立 11分 假设当n=k时结论成立，即，当n=k+1时，左边当且仅当x=1时等号成立，即当时原式也成立 13分综上当成立 14分4.（浙江省2010届第一次调研卷）已知函数().(1) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;(2) 若函数在区间0, 2上的最大值为2, 求a的取值范围. 【解析】(1): 当a = 0时, f (x)x34x25x ,>0,所以 f (x)的单调递增

11、区间为, . (6分)(2) 解: 一方面由题意, 得 即 ;另一方面当时, f (x) = (2x39x212x4)ax34x25x ,令g(a) = (2x39x212x4)ax34x25x, 则g(a) max g(0), g() = maxx34x25x , (2x39x212x4)x34x25x = maxx34x25x , x2x2 ,f (x) = g(a) maxx34x25x , x2x2 ,又x34x25x=2, x2x2=2, 且f (2)2,所以当时, f (x)在区间0,2上的最大值是2.综上, 所求 a的取值范围是. (14分)10（山东省实验中学）已知函数， （1

12、）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明： .【解析】：（1）在上恒成立， 令 ，有 得 4分 得 5分（2）假设存在实数，使（）有最小值3， 6分 当时，在上单调递减，（舍去），当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3. 10分（3）令，由（2）知，.令，当时，在上单调递增 即.14分19.（福州三中20092010学年高三第一学期半期考）已知，R，函数的图象经过点（）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值

13、；（）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（）令，R，函数若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围【解析】（），2分则在点出的切线的斜率为=，所以4分（）函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立6分令，则因为，所以，所以在为增函数，所以，所以经检验，的取值范围是9分（）若对任意，总存在，使得成立，则函数在上的值域是函数在上的值域的子集对于函数，因为，所以，又因为过点，所以，所以，定义域令，得，（舍去）当变化时，与的变化情况如下表：所以，所以的值域为12分对于函数（）当时，的最大值为，值域为，所以，即以，解得，所以（）当时，的最大值为，值域为所以，即，解得或，所以综上所述，的取值范

14、围是14分20.（大连24中20092010学年高三上学期期中考试） 已知函数 （I）若在定义域内的单调性； （II）若的值； （III）若上恒成立，求a的取值范围。【解析】：（I）由题意2分上是单调递增函数 4分 （II）由（I）可知， （1）若上为增函数，（舍去） 5分 （2）若上为减函数，（舍去） 6分 （3）若综上所述， 8分 （III） 9分 5.(衡阳市八中2010届高三第二次月考数学（理科）设函数， (1) 求函数的极大值与极小值；(2) 若对函数的，总存在相应的，使得成立，求实数a的取值范围.解答(1)定义域为R -30+0极小值极大值令，且 ：极大值为，极小值为 w.w.w.

15、k.s.5.u.c.o.m (2)依题意，只需在区间上有 在，取小值或 又 当时，当时， 又在 式即为 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解的 （无解） 6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理）已知函数（）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当时，求函数的最大值；（）当时，且，证明：.解答：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 2分由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 4分（2）当时，由，得 当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 同理可得， 12分法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减 即