2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何(附解析)

1、2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（附解析）考向预测从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥 曲线与方程的问题考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系; 椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题.知识与技巧的梳理i .直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y y。k（x X0）不能表示斜率不存在的直线斜截式y kx b两点式y yix %y2 yi X2 xi不能表示平行于坐标轴的直线截距式仝y i a b不能表示平行于坐标轴的直

2、线和过原点的直线一般式Ax By C 0（A, B 不同时为零）可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行：对于两条不重合的直线h , I2，若其斜率分别为ki, k2，则有1丿八2ki k2 ；当直线li, I2不重合且斜率都不存在时，li /l2. 两条直线垂直：如果两条直线li, 12的斜率存在，设为ki , k2，则有li 12ki k21 ；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，li I2.（3 ）两条直线的交点的求法直线 li : Ax BCi 0, l2: A2x B2y C2 0,则ll与12的交点坐标就是方程组(4)三种距离公式AxBi

3、y CiAqXB2 y C2的解.P(Xi, %)，F2(X2，Y2)两点之间的距离:IRP21 J(X2 Xi)2 (y2 yi)2 点P)(Xo, yo)到直线丨：Ax By C0的距离：dAXo Byo C平行线Ax By G 0与Ax By C20间距离：dCiC2.A2B2(5)圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)2 (y b)2r2(r 0)圆心：(a,b)，半径：r一般方程x2 y2 Dx Ey F 0, (D2 E2 4F 0)圆心：(兰£)，2 2半径：1 Jd2 E2 4F2(6)点与圆的位置关系点M (冷肆。)与圆(x

4、a)2(yb)2r21的位置关系若M (xy。)在圆外,则(X)a)2(y。b)2 r2若M(X3,y°)在圆上,则(X)a)2(y。b)2 r2若M(X0，y。)在圆内,则(X)a)2(y。b)2 r2(i)直线与圆的位置关系(半径为r2 直线、圆的位置关系相离相切相交丨图形0量方程观点000化几何观点d rd rd r圆心到直线的距离为 d)(2)圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为 R , r(R r)，则宀护¥方 位置大糸外离外切相交内切内含公共点个数01210d , R , r的关系d R rd R rR r dR rd R rd R r公切线条数

5、432103 圆锥曲线及其性质(1)椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程2 2-21(a b 0)a b2 2E 2 1(a b 0) a b1图形HL焦点坐标F1( c,0) , F2(c,0)F1(0, C), F2(0,c)顶点坐标A( a,0), A(a,O), B1(0, b), B2(o,b)A(0, a), A(0,a), B( b,0), B(bC)长轴长轴2a , a是长半轴的长短轴短轴B1B2 2b , b是短半轴的长焦距焦距F1F2 2c , c是半焦距范围|x| a , |y| b|x| b, |y| a离心率e C寸1b_(0e 1), e越接近1

6、，椭圆越扁；e越接近0 ,椭圆aVa'越圆(2)双曲线的标准方程及几何性质一般方程2 2mx ny 1(mn 0)几何 性 质范围|x| a，y RIyI a，x R焦占八 '、八、Fi( c,0)，F2(c,0)h(0, c)，F2(0, c)顶点A( a,0)，A(a,0)A(0, a)，A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段AA叫做双曲线的实轴，它的长I A4 I 2a ；线段RB2叫做双曲线的虚轴，它的长 IBB2I 2b（ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长）焦距焦距IFI 2c，c是半焦距离心率c匚 b2/4、e J1 (

7、e 1)a V a渐近线方程by xaaybx（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)p的几何意义：焦点 f到准线丨的距离图形十顶点O(0,0)对称轴y 0(x轴)x 0( y 轴)焦占八 '、八、F(p0)F(訥叫）F(0,勺离心率e 1准线方程x号x扌y扌y 1范围x 0, y Rx 0, y Ry 0, x ry 0, x r焦半径（其中P（xo, yo）|PF | x0 导|PF| x0 专|PF | y° 2|PF| Y0 24 圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断

8、直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线 I的方程Ax By C 0（ A, B不同时为0）代入圆 锥曲线C的方程F（x, y） 0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量y）的一元方程.Ax By C 02即联立，消去y，得ax2 bx c 0 F（x,y） 0 当a 0时，设一元二次方程ax2 bx c 0的判别式为，则 0直线与圆锥曲线C相交；0 直线与圆锥曲线C相切；0 直线与圆锥曲线C相离. 当a 0，b 0时，即得到一个一次方程，则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称

9、轴的位置关系是平行或重合.（2 ）圆锥曲线的弦长设斜率为k（k 0）的直线I与圆锥曲线C相交于M，N两点，M%,%），N（X2,y2），则 |MN | 1 k2* X2I .（1 疋）（羽 X2）2 4X2或|MN | J 1 |y1 y2（1 k12）（Y1 V2）2 42】.经典常规题限时训练（45分钟）2 21.( 2019 全国I卷)双曲线 C:笃 与 1(a0,ba b心率0）的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离A.2 sin 40 B2 cos 40 C1sin 501cos502.(2019 全国II卷）若抛物线2px( p0）的焦点是椭圆x23p21的一个焦点，贝ppA.3.

10、(2019 全国III卷）已知F是双曲线21的一个焦点,5点P在C上，O为坐标原占八、若 |PO|OF |,则厶OPF的面积为（3579A.BCD222'24.(2019 -全国III卷）设F1、x2F2为椭圆C :36若厶MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为2L 1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限,205.（ 2019 全国I卷）已知点 A,B关于坐标原点O对称，AB 4 , e M过点A, B且与直线x 20相切.（1）若A在直线x y 0上，求e M的半径；（2） 是否存在定点P，使得当A运动时，MA MP为定值？并说明理由.高频易错题11.( 2019 江西省上高县第二中

11、学期末考试)若A( 2,3)，B(3, 2)，C(2，m)三点共线，则m的值为1A.B寸 4x的焦点F作与抛物线对22.( 2019 内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试)过抛物线称轴垂直的直线交抛物线于 A, B两点，则以AB为直径的圆的标准方程为()A.2 2 2 2(x 1) y 4 B . (x 1) y 4 C2 2(y 1)4 D . x (y1)243.2(2019 宁夏银川一中调研考试)双曲线 二a21(a0)的一条渐近线方程为y -x，则54.(2019 广东省5月仿真冲刺模拟卷)斜率为k(k0)的直线丨过点F(0,1)，且与曲线丄 x2(x 0)42 2x yC : 22

12、1(a b 0), P (2,2),a b及直线y 1分别交于A,B两点，若| FB| 6|FA|，则k 5.( 2019 -河南省八校高三1月尖子生联赛)已知椭圆P2(0,2 .3) ,2,3),巳(2,3)四点中恰有三点在椭圆 C 上.(1) 求C的方程；(2) 已知点E(0,1)，问是否存在直线p与椭圆C交于M , N两点且丨ME | | NE |?若存在，求出直线P 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.精准预测题1. (2019 江西省新余市第一中学模拟考试)若3xi 4yi 2 0 , 3x2 0 ,则过A(xi,yi),B(X2,y2)两点的直线方程是()A. 4x 3y 2 0

13、 B . 3x 4y 2 0 C . 4x 3y 2 0 D . 3x 4y 2 02.（ 2019 湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的.3倍,则该椭圆的离心率是（'一 633. （ 2019 山东省济南第一中学2月适应考试）已知ABC 的顶点 A( 5,0),B(5,0) , ABC 的内切圆圆心在直线x 3上，则顶点C的轨迹方程是（2 2a. x_ y_ 19162B. 紅11692C.92工162 21(x3)1(x 4)4.（ 2019 广东省高月调研考试）以抛物线y2 4x的焦点为圆心且过点P（5, 2. 5）的圆的标准方程为5. （ 2

14、019 湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校高考适应性考试）过抛物线 C：y2 4x的焦点 F ,且斜率为3的直线交C于点M （ M在x轴上方），丨为C的准线，N点在丨上，且MN丨， 则M到直线NF的距离为2020年高考文科数学二轮专题复习九：解析几何（解析）考向预测从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有直线和圆的方程的问题，又有圆锥 曲线与方程的问题考查的重点：直线方程与两直线的位置关系；圆的方程；点、线、圆的位置关系; 椭圆、双曲线、抛物线及其性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线的方程；圆锥曲线的综合问题.知识与技巧的梳理i .直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式

15、名称方程形式适用条件点斜式y y。k（x X）不能表示斜率不存在的直线斜截式y kx b两点式y yix Xiy2yiX2x不能表示平行于坐标轴的直线截距式D 1 a b不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax By C 0（A,B不同时为零）可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行：对于两条不重合的直线li, I2，若其斜率分别为 ki, k2，则有I1/I2ki k2 ；当直线li, I2不重合且斜率都不存在时，I1/I2. 两条直线垂直：如果两条直线Ii, I2的斜率存在，设为ki , k2，则有Ii I2 ki 21 ；当其中一条直线的斜率不存在，而

16、另一条直线的斜率为0时，li I2.（3 ）两条直线的交点的求法直线 Ii: A）x By Ci 0, I2: A2X B2y C2 0,则ll与12的交点坐标就是方程组(4)三种距离公式AxBi y CiAqXB2 y C2的解.R(xi, yj， F2(x2,y2)两点之间的距离:IRP2I J(X2 G2 (y2 yi)2 -点P)(Xo,yo)到直线丨：Ax By C0的距离：dAx。 Byo CA2 B2平行线Ax By Ci 0与Ax By C2 0间距离：dCi C2A2 B2(5)圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)2 (y b)2r

17、2(r 0)圆心：(a,b)，半径：r一般方程x2 y2 Dx Ey F 0, (D2 E2 4F 0)圆心：(M£)，2 2半径：1 Jd2 E2 4F2(6)点与圆的位置关系点 M (x0,y°)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系:若M (x0,y°)在圆外,则(x0a)2(y。b)22 r若M (x0, y0)在圆上，则(x0a)2(y。b)22 r若M (x0,y0)在圆内，则(x0a)2(y。b)22 r(i)直线与圆的位置关系2 直线、圆的位置关系相离相切相交仝nI I图形I量方程观点000化几何观点d rd rd r(半径为r，圆心到直线的距离为

18、d )(2)圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为 R , r(R r)，则宀护¥方 位置大糸外离外切相交内切内含公共点个数01210d , R , r的关系d R rd R rR r d R rd R rd R r公切线条数432103 圆锥曲线及其性质(1)椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程2 2菩 1(a b 0) a b2 2厶口 1(a b 0)a b图形1Lm J焦点坐标F1( c,0), F2(g0)R(0, c) , F2(0,c)顶点坐标A( a,0),代(a,0), B(0, b), B2(o,b)A(0, a), A(0,a)

19、, B( b,0), B(b0长轴长轴A1A2 2a , a是长半轴的长短轴短轴B1B2 2b , b是短半轴的长焦距焦距F1F2 2c, c是半焦距范围|x| a , |y| b|x| b, |y| a离心率e C (0 e 1), e越接近1，椭圆越扁；e越接近0 ,椭圆a Va2'越圆(2)双曲线的标准方程及几何性质一般方程2 2mx ny 1(mn 0)几何 性 质范围|x| a，y RIyI a， x R焦占八 '、八、Fi( c,0)，F2(c,0)h(0, c)，F2(0, c)顶点A( a,0)，A(a,0)A(0, a)，A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称

20、，关于原点中心对称实、虚轴长线段AA叫做双曲线的实轴，它的长IAAJ 2a ；线段B,B2叫做双曲线的虚轴，它的长 IRBzI 2b（ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长）焦距焦距IRF2I 2c，c是半焦距离心率c匚 b2/4、e J1 (e 1)a Y a渐近线方程by -xaaybx（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)p的几何意义：焦点 F到准线丨的距离图形OfX4丰十/牛 x顶点O(0,0)对称轴y 0(x轴)x 0(y 轴)焦占八 '、八、F(p0)F(訥叫）F(0,勺离心率

21、e 1准线方程x扌x扌y扌y 1范围x 0, y Rx 0, y Ry 0, x ry 0, x r焦半径(其中P(x°, y°)|PF | xd 导|PF| x0 专|pf | yo 2|PF| yo 24 圆锥曲线的综合问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax By C 0( A , B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x, y) 0,消去y (也可以消去x)得到一个关于变量 x(或变量y)的一元方程.Ax By C 0即联立，消去y，得ax2 bx c 0 F(x,y) 0 当a 0时，设一兀二次方程 ax2 bx

22、 c 0的判别式为，则 0 直线与圆锥曲线C相交；0 直线与圆锥曲线C相切；0 直线与圆锥曲线C相离. 当a 0 , b 0时，即得到一个一次方程，则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.(2 )圆锥曲线的弦长设斜率为k(k 0)的直线I与圆锥曲线C相交于M , N两点，皿(为，), N(x2,y2),则 |MN |一 1k2|x,x21、(1k2)(x,x2)24x,x2或|mn| ,1 1 |yi V2| Ji k12)(yi y?)2 42 经典常规题限时训练21

23、.（ 2019 全国I卷）双曲线 C:笃a2占1（a 0,b 0）的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为（ ）A . 2 sin 40B . 2cos40 C【答案】Dsin50cos50【解析】根据题意可知b tan 130，所以-atan50亟0 ,cos502.A.II离心率e1 si n250cos2 50(2019 全国卷）若抛物线【答案】D【解析】抛物线3.( 2019 全国 IIIcos2 50sin2 50cos2 50y22px(pcos2 50cos500）的焦点是椭圆x23p21的一个焦点，贝PP2px（p 0）的焦点是（-p,0），椭圆2卷）已知F是双曲线C :4

24、2y_53p1的焦点是（,2 p ,0）,1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|PO| |OF |，则 OPF的面积为（)57A.【答案】B【解析】依据题意a24,b2 5,c2a2 b2 9,设F为右焦点，F(3,0), 设P在第一象限，P(x, y),2x根据 |PO| |OF |, x24y2 951y2，得到 y ，所以 Sopf |OF | yL 13254.( 2019 全国 III 卷)2 2F1、F2为椭圆 C:36201的两个焦点,M为C上一点且在第一象限,若厶MF/?为等腰三角形,M的坐标为【答案】(3, .15)21可知，a【解析】由椭圆C :3620由M为C上一点

25、且在第一象限，故等腰三角形 MF1F2中,MF1 FF28, MF2 2a MF14 ,F1F2M(3, 15).sin F1F2M旦兰旦，yMMF2Sin842 2代入C:- Z 1可得Xm 3，故M的坐标为36205.( 2019 全国I卷)已知点A, B关于坐标原点O对称,AB 4 , eM过点A, B且与直线x 20相切.(1)若A在直线x y0上,求e M的半径;(2)是否存在定点P ,使得当A运动时,MAMP为定值？并说明理由.【答案】(1) 2或6;(2)存在,P(1,0)，详见解析.【解析】(1)v e M过点A, B 圆心在AB的中垂线上即直线 y x上,设圆的方程为（x a

26、）2 （y a）2 r2 ,又 AB 4，根据 AO2 MO2 r2，得 4 2a2 r2, e M与直线x 20相切， a 2 r，联解方程得a 0, r 2或a 4, r 6.（2）设 M 的坐标为（x, y），根据条件 AO2 MO2 r2 x 22，即 4 x2 y2 x 22 , 化简得y2 4x，即M的轨迹是以（1,0）为焦点，以x 1为准线的抛物线，所以存在定点 P（1,0），使 MA |MP（x 2） （x 1） 1 .咼频易错题 （45分钟）1.（2019 江西省上高县第二中学期末考试）若A( 2,3) , B(3,12），C（2,m）三点共线，则m的值为A.【答案】【解析】

27、kABkBC2.（ 2019 内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试）过抛物线y2 4x的焦点F作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于 A, B两点，则以AB为直径的圆的标准方程为（(y1)2422 22 2 2 2A. (x 1)2y24 B . (x 1)2y24 C . x2(y 1)24 D . x2【答案】B【解析】由抛物线的性质知 AB为通径，焦点坐标为（1,0），直径2R AB 2p23.( 2019 宁夏银川一中调研考试)双曲线 冷a a.2y91(a0)的一条渐近线方程为y - x，则5【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y3x , a结合题意可得a 5 .4.

28、( 2019 广东省5月仿真冲刺模拟卷)斜率为k(k0)的直线1过点F(0,1)，且与曲线y 1x2(x 0)4及直线y1分别交于A,B两点，若|FB| 6|FA|，则k 【答案】121【解析】易知曲线y x2(x 0)是抛物线C : x2 4y的右半部分，如图,4其焦点为F(0,1)，准线y 1,过点A作AH 准线，垂足为H，则| AH | |AF |，因为 |FB| 6| FA|，所以 |AB| 5| AH |，tan ABH錨2； 12，故直线1的斜率为£125.( 2019 河南省八校高三1月尖子生联赛)已知椭圆2 2C:2 笃 1(a b 0), R(2,2), a bF2

29、(O,2'、3) , Pj( 2,3) , F4(2,3)四点中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求C的方程;(2)已知点E(0,1)，问是否存在直线p与椭圆C交于M , N两点且丨ME丨丨NE | ?若存在，求出直线P斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2 x162 1 112 1 ；( 2)存在，(説【解析】(1)由于P3 , P4两点关于丫轴对称，故由题设知 C经过P3,P4两点,又由9孑知C不经过点P，所以点P2在C上.因此12b74a16 ,所以C的方程为兰b212162L 1 12(2)假设存在满足条件的直线 p： ykxN(x2, y2)将直线p: ykx m

30、与椭圆联立可得y2x16kx2y_12(3 4k2)x228kmx 4m48 0 2 264k m2 24(3 4k )(4 m48)016k212m2,故 x(x28km2 , x1x23 4k24m 482 ，3 4k2设MN的中点为F(Xo,y°)，故xoX1X224 km3 4kyokxo3m3 4 k2，因为|ME | |NE |，所以EFMN ,3m2m (4k23),所以kEFk1，所以3 4k4km3 4k2代入得曲12 (4k2 3)2诙8k2 3 01 k 1，_ _ 11故存在直线p使得|ME|NE|，且直线p斜率的取值范围是（I"） 精准预测题1. （2019