2020-2021大连全国中考数学初中数学旋转的综合中考模拟和真题汇总

1、2020-2021大连全国中考数学初中数学 旋转的综合中考模拟和真题汇总一、旋转1 .已知正方形ABCD的边长为4, 一个以点A为顶点的45 °角绕点A旋转，角的两边分别 与BC DC的延长线交于点 E、F,连接EF,设CE= a, C已b.(1)如图1,当a=4&时，求b的值；(2)当a=4时，在图2中画出相应的图形并求出 b的值；(3)如图3,请直接写出/EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.【答案】(1) 4丘；(2) b=8; (3) ab=32.【解析】试题分析：(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC= 4垃,/ ACB= 45 °.再CE= a

2、 = 4亚，可得/CAE=/AEC,从而可得/CAF的度数，既而可得 b=AC;(2)通过证明ACD4ECA即可得；(3)通过证明ACD4ECA即可得.试题解析：(1) 正方形ABCD的边长为4, .-.AC= 4五,/ ACB= 45 °. CE= a = 4&,Z CAE= Z AEC= 45-= 22.5 °, . . / CAF= / EAF/ CAE= 22.5 °,/ AFC= / ACD- / CAF= 22.5 ,/ CAF= / AFQb=AC= CF= 472 ；(2) Z FAE= 45°, ZACB= 45°,

3、. . / FAU / CAE= 45°, / CAE+/ AEC= 45°, . . / FACAC CF .也 _0EC CA '4472 '=/ AEC又. / ACF= / ECA= 135°,AACFAEC/ 8,即 b=8.(3) ab=32.提示：由(2)知可证 ACQECA,ACECCF4.2, CA ab4. 2.ab=32.2.(探索发现)ACD绕点A逆时针旋转如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将60得到 AEF ,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：等边三角影X3C I&

4、gt; 心-3C-AC将绕点T逆时针应转的得«=>到 Xd£rI> 一纽-BC CE - Ji I > 爱珊 X5C5(1)请参考小明的思路写出证明过程；(2)直接写出线段 CD, CF , AC之间的数量关系： ； (理解运用)如图，在 ABC中，AD BC于点DM ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,延 长FE与BC ,交于点G .(3)判断四边形 ADGF的形状，并说明理由；(拓展迁移)(4)在(3)的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到 AME ,连接MB ,若AD 6, BD 2,求 MB 的长.D C 营口c 08 dc G图1BB2图3

5、【答案】(1)详见解析；(2) CD CF AC; (3)四边形ADGF是正方形；(4)2 13【解析】【分析】(1)根据旋转得： 4ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形；(2)先证明 C、F、E在同一直线上，再证明 BADCAF (SAS ,则/ADB=/AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ADC=/ DAF=Z F=90。，证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAMEAD (SAS ,卞据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)证明： ABC是等边三角形，AB BC AC. ACD绕点A逆

6、时针旋转60得到 AEF , CAE 60 , AC AE.ACE是等边三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.，四边形ABCE是菱形.(2)线段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3)四边形 ADGF是正方形.理由如下：3 Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,4 AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形.5 AF AD ,四边形ADGF是正方形.(4)如图，连接DE .if o6 .四边形ADGF是正方形，7 DG FG AD AF 6.ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,4.BAD

7、EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 ;将 AFE沿AE折叠得到 AME ,MAEFAE , AF AM .BADEAM .8 BAD DAM EAM DAM ,即 BAM DAE.9 AF AD ,AM AD. AM AD 在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AE10 BAM EAD SAS .BM DE . EG2 DG2- 42 6 22.13.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进

8、行计算求解.3.已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过 E点作EF，BD交BC于F,连接DF, G 为DF中点，连接EG CG(1)求证：EG=CG;(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图 所示，取DF中点G连接EGCG问中的 结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是 否仍然成立？通过观察你还能彳#出什么结论(均不要求证明).【答案】解：(1) CG=EG(2) ( 1)中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接 AG,过G点作MN XAD于M,与EF的延长线

9、交于 N点.在4DAG与4DCG中， AD=CD, /ADG=/CDG, DG=DG, DAGDCGAG=CG在4DMG与4FNG中， /DGM=/FGN, FG=DG / MDG=/NFG, ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在 RtAAMG 与 RtENG 中， AM=EN, MG=NG, AAMGA ENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的结论仍然成立.【解析】试题分析：(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG(2)结论仍然成立，连接 AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点；再证明DAGWDCG,得出AG=CG再证出

10、DMGFNG,得到MG=NG；再证明 AMGAENG,得出 AG=EG 最后证出 CG=EG(3)结论依然成立.还知道 EG± CG;试题解析：解：(1)证明：在RtA FCD中，.G为DF的中点，.CG-FD2，同理，在 RtDEF中，EG 二ED ,-CG=EG(2) (1)中结论仍然成立，即 EG=CG连接AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点，如图所示：在4DAG与4DCG中，. AD=CD, /ADG=/ CDG, DC=DG .DAGADCG, .AG=CG在4DMG与4FNG中， / DGM=Z FGN, DG=FG / MDG=Z NFG, .DMG0

11、"NG,，MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在 RtAAMG 与 RtENG 中， . AM=EN, MG=NG, .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) ( 1)中的结论仍然成立，即EG=CG且EG±CG过F作CD的平行线并延长 CG交于M点，连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N,如图 所示：由于G为FD中点，易证 CDGWMFG,得到 CD=FM,又因为 BE=EF 易证 /EFM=/ EBC,贝U EFM EBC / FEM=/ BEC EM=EC / FEE BEC=90,° / FEE FEM=90 ；即 / MEC=90 ； .

12、 AMEC是等腰直角三角形， .G为CM中点，EG=CG EG± CG。【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。4.如图1, 4ABC是边长为4cm的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6cm,点D 从。点出发，沿 OM的方向以1cm/s的速度运动，当 D不与点A重合时，将4ACD绕点C 逆时针方向旋转 60°得到ABCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周长；若不存在，请说明理由；(3

13、)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以 D、E、B为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到结论；（2）当6vtv10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当cd）± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点D于点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当04<6时，由旋转的性

14、质得到/ABE=60°, / BDE< 60°,求得/ BED=90°,根据等边三角形的性质得到Z DEB=60 ；求得 /CE&30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s2 当 6<t< 10s时，此时不存在； 当t>10s时，由旋转的性质得到 /DBE=60°,求得/BDE>60°,于 得到 t=14+ 1=14>.试题解析：（1）证明：二,将4ACD绕点C逆时针方向旋转 60°得到4BCE/ DCE=60 ； DC=EC, .CDE是等边三角形；（2）存在，

15、当6<t< 10时，由旋转的性质得，be=ad,.-.Ca dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，acde是等边三角形,de=cd, Ca dbe=CD+4,由垂线段最短可知，当cd± ab时，4bde的周长最小，此时，CD=2 x 3 cm, .BDE 的最/、周长=CD+4=2 73+4;（3）存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形,当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知， Z ABE=60o, /BDEv 60°,/ BED=90 :由（1）可知，acde是等边三角形，/ DEB=60 :/

16、CEB=30 ； / ceb=z cda,/ CDA=30 ； / CAB=60 ；/ ACD=ZADC=30 ； . DA=CA=4,，OD=OA - DA=6-4=2,，t=2 + 1= 2 当 6vtv10s时，由 ZDBE=120 °>90°,，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，/DBE=60：又由（1）知/ CDE=60°,/ BDE=Z CD曰/ BDC=60 +/ BDC,而/ BDC>0°, / BDE> 60 ； 只能 / BDE=90 ；从而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. O

17、D=14cm, - t=14 + 1=sl4综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变 量，从某一个方面出发去分类.5.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点 G与C D不重合），以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG连接BG, DE.（1） 猜想图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度”，得到如图2

18、情形.请你通过观察、测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4),且 AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb (awQ k>0）,第（1）题 中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 4为例简要说明理 由.1b=2, k=-,求 BE2+DG2 的值.【答案】（1）BG，DE, BG=DE；BG，DE,证明见解析；（2） BG±DE,证明见解 析；（3） 16.25.【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形 DCE,从而判断两条直线之间的关系； 结合正方形的性质，根

19、据 SAS仍然能够判定 BC8 4DCE,从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG.根据勾股定理即可把 BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：（1） BG ± DE, BG=DE二.四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,.BC=DQ CG=CE /BCD=/ ECG=90,°/ BCG=Z DCE.BCGADCEBG=DE, / CBGN CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；. BG± DE.(2) AB=a,

20、BC=b, CE=ka CG=kb,BC CG b 一 DC CE a又 / BCG=Z DCE .-.BCGADCE/ CBG=Z CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；BGXDE.(3)连接 BE DG.根据题意，得 AB=3, BC=2, CE=1.5, CG=1,BG± DE, / BCD=Z ECG=90 °BE2+DG2=BO2+QE2+DQ2+OG2=BC2+CC2+CE2+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.点睛:理.此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定6.如图1, 4ABC中，C

21、A=CB, Z ACB=90 °,直线l经过点C, AFL于点F, B已l于点E. (1)求证：4AC阵 4CBE【答案】(1)答案见解析；(2) J2褥(2)将直线旋转到如图 2所示位置，点 D是AB的中点，连接DE.若AB=4/2 , /CBE=30 ；求 DE 的长.【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义得到 /BEC=/ACB=90°,根据全等三角形的性质得到 /EBO/CAF,即可得到结论；(2)连接CD, DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到 BE=CF, CE=AF,证得 DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=&DE,

22、EF=C&BE,进而得至ij DE的长.试题解析：解：(1) . BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE与AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS)； BC AC(2)如图 2,连接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . /

23、AFC=90 ：AFC BEC 90在 ABCE 与 ACAF 中， EBC ACF ,， BC珞 CAF (AAS);BC ACBE=CF. D 是 AB 的中点，CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BECFFCD , CF/EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 4BDE与4CDF中， EBDBD.,.BDEACDF (SAS , . / EDB=/FDC, DE=DF. / Z BDE+ZCDE=90 ； / FDG/ CDE=90 ；即 / EDF=90 ； . EDF是等腰直角三角形，. EF=>/2 DE,EF=CE+CF=CE+B

24、E. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=4我 , . . BC=4 .又/ CBE=30°,.CE=1bC=2, BE=T3cE=2T3,EF=CE+BE=2+2,73 , . 口£=*=2 3 =& + 几.C图1(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时， (2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时， (3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线 的/ ACB的度数.【答案】 【解析】 【分析】AB的两侧时，求CD的最大值及相应点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 BC

25、®4ACF是解题的关键.7.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题： a=b=3,且/ACB=60,则 CD=a=b=6,且/ACB=90,则 CD=(3)当/ ACB=120时，CD有最大值是 a+b.(1) a=b=3,且/ACB=60, AABC是等边三角形，且 CD是等边三角形的高线的 2倍，据 此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90, AABC是等腰直角三角形，且 CD是边长是6的等边三角形的 高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E

26、.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b【详解】(1) ,. a=b=3,且 /ACB=60, .ABC是等边三角形，.OC= 2 ,.CD=3/3;3V石- 3寸2；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,C.CD=ED, / CDE=60 ,° AE=CB=a .CDE为等边三角形， .CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有 CD=CE< AE+AC=a+b当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当 /ACB=120 时，/CAE=18

27、0, 即A、G E在一条直线上，此时 AE最大 ./ACB=120,°因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.DCD有最大值的条件,本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解是解题的关键.8.边长为2的正方形 ABCD的两顶点 A、C分别在正方形 EFGH的两边DE、DG上(如图 1),现将正方形 ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋转，旋转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数；(3)如图3,设4MBN的周

28、长为p,在旋转正方形 ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你白结论.【答案】(1)(2)建早；(3)不变化，证明见解析【解析】试题分析：(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了 45,从而根据扇形面积公式可求 DA在旋转过程中所扫过的 面积.(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为(3)延长BA交DE轴于H点，通过证明如/1"三dD'N和三可得结论.(1) :人点第一次落在 DF上时停止旋转，DA旋转了虫5°.，DA在旋转过程中所

29、扫过的面积为45邛 x 22 nr360 = 2. MN /AC, .: 45口.UiMN = UJNM BM-BN又又DA = DCDAM = LDCN . DAMbADCN，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 ABCD旋转的度数为 网,-22于=22.5： 不变化，证明如下:如图，延长BA交DE轴于H点，则回函=4即.口叫印N = 90。一 45° - MDM = 45° - 厂,点一.二2.又.|D4 = DCDAU = 1HO0 - 90。= 90° = DCN - ADAHDC- Dli = DNAU = CN, , II.又 tMDE =

30、63;MDN = 45。W M = DM ADMHADMN,MN = MH=AMAH .MNAMCN .厂"一"一：M：心 HMt上，在旋转正方形 ABCD的过程中，P值无变化.，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.，/ACB=/ DCE=90,请判断AD,BE的关系，并说明解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线 段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.考点：1.面动旋转问题；2.正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性 质.9. (1)问题发现如图1.4ACB和4D

31、CE均为等腰直角三角形 填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2QACB和4DCE均为等腰直角三角形 理由.【答案】(1) AD=BE, AD± BE. (2) AD=BE> AD, BE. (3) 5-3 & w PCW 5圾.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证交AD于点F,由垂直定义得(2)根据等腰三角形性质证得/OHB=90 , AD± BE； ACDABCE (SAS ,得 AD=BE, Z EBC=Z CAD,延长 BE AD± BE. ACDABCE (SAS , AD=BE, / CAD=/ CBE 由垂直定义(3

32、)作AE，AP,使得 AE=PA则易证 AP图 AACP, PC=BE当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3&WBEW 5强.【详解】(1)结论：AD=BE, AD± BE.理由：如图1中， ACB与 DCE均为等腰直角三角形, .AC=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCECD=CE.ACEABCE (SAS , .AD=BE, /EBC4 CAD延长BE交AD于点F,BC± AD, / EBC+Z CEB=90,° /

33、 CEB=AEF / EAD+Z AEF=90 , ° . / AFE=90, °即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案为AD=BE, ADXBE.(2)结论：AD=BE, AD± BE.理由：如图2中，设 AD交BE于H, AD交BC于O.3 ACB与 DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=90 ,4 .ACD=Z BCE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCE ,CD=CE5 .ACDABCE (SA§ , .AD=BE, /CAD=/ CBE6 / CAO+

34、/ AOC=90 ； / AOC=Z BOH,7 / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ；ADXBE,.AD=BE, AD± BE.(3)如图3中，作AE±AP»,使得 AE=PA则易证 APEACP.PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2 ,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2 , .5-3 VWBEW 5+32, 即 5-3 - 22 0 PCW5+32.和性质等知识,角形解决问题,10.如图，在本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的

35、判定 解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三 学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.RtABC中，/ACB=90： / A=30 °,点。为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接 OG OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时，请直接写出线段 BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若 不成立，请说明理由；(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若 /BP815。，BP=4,请求出BQ的长.【答案】(1)

36、BQ=CP； (2)成立：PC=BQ； (3) 473 4 .【解析】试题分析：(1)结论：BQ=CP.如图1中，作PH/ AB交CO于H,可得 PCH是等边三角 形，只要证明 POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延长线于 H.证明方法类似(1);(3)如图3中，作CELOP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF.设CE=CO=a, 则FC=FP=2a, EF= J3a,在RtPCE中，表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程 (而 J2)a & 4,求出a即可解决问题；试题解析：解：(1)结论：BQ=CP.理由：如图1中，作PH/ AB交CO于H.

37、在 RtABC 中，. /ACB=90°, / A=30°,点 O 为 AB 中点，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等边三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；/ CHP=Z CPH=60 ； CPH是等边三角形,PC=PH=CH, OH=PB, / OPB=Z OPQ+ZQPB=Z OCBZ COP ZOPQ=Z OCP=60 ；/ POH=Z QPB, PO=PQ,APOHAQPB, . PH=QB,，PC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作 PH/ AB交CO的延长线于 H.在 RtABC 中，

38、Z ACB=90°, / A=30°,点 O 为 AB 中点，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等边三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；/ CHP=Z CPH=60 ； .CPH是等边三角形， ，PC=PH=CH, .1. OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO, /QPO=60+/CPQZ POH=Z QPB, / PO=PQ, POHAQPB, . PH=QB,.PC=BQ.(3)如图3中，作CE±OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FG连接CF. / OPC=15 ； ZOC

39、B=Z OCR/ POC . / POC=45 ；. CE=EO,设 CE=CO=a,贝U FC=FP=2a, EF=a,在 RtPCE中，PC=7PE2 CE2 =J(2a Ja)2 a2 二(而 两a, PGCB=4,(46 V2)a &a 4,解得 a=4正 2品, .PC=4 73 4 ,由(2)可知 BQ=PC,，BQ=4 73 4.点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全 等三角形解决问题，属于中考压轴题.11.在平面直角坐标系中，四边形 AOBC是矩形，点

40、0（0,0）,点A（5,0），点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形 A0BC,得到矩形 ADEF,点0, B, C的对应点分别为圈用（I ）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（n ）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H .求证 AADB AA0B ;求点H的坐标.（出）记K为矩形A0BC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接 写出结果即可）.【答案】（I ）点D的坐标为（1,3）.（ n ）证明见解析；点H的坐标为（17,3）.5小、30 3、340 30 3.34（山）s .44【解析】分析：（I）根据旋转的性质得 AD=A0=5，设CD=k在直角三

41、角形 ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定 D点坐标；（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；由知 BADBAO,再根据矩形的性质得CBAOAB.从而BAD CBA,故BH=AH,在RtACH中，运用勾股定理可求得 AH的值，进而求得答案;1n 30 3>/3430 3 后S.44详解：（I ） .点 A 5,0，点 B 0,3 ,OA 5, OB 3.四边形AOBC是矩形， AC OB 3, BC OA 5, OBC C 90 ;矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，AD AO 5.在 RtVADC 中，有 AD2 AC2 DC2, DCAD2 AC252 32 4.BD

42、 BC DC 1.点D的坐标为1,3(n )由四边形ADEF是矩形，得 ADE 90又点D在线段BE上，得 ADB 90 .由（I ）知，AD AO,又 AB AB , AOB 90 ,RtVADBRtVAOB. 由VADBVAOB,得 BAD BAO.又在矩形AOBC中，OA/BC,CBA OAB. BADCBA. BH AH.设 BH t,则 AH t, HC BC BH 5 t.在 RtVAHC 中，有 AH2 AC2 HC 2,2-22.i,t 35 t.解得 t157.BH175点H的坐标为J4H（出）30 3疯 S 30 3扃.44.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾

43、股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键12.已知O为直线MN上一点，OP，MN,在等腰 RtABO中，BAO 90 , AC OP交OM于C, D为OB的中点，DE，DC交MN于E. 如图1,若点B在OP上，则AJ OE填 之"，="或 法”；） 线段CA、CO CD满 足的等量关系式是;（2）将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转 （045 ）,如图2,那么（1）中的结论是否成立？请说明理由；将图1中的等腰RtABO绕O点顺时针旋转 （），请你在图3中画出图形，并直接写出 线段CA、CO、CD满足的等量关系式 ；5【答案】（1）二；AC 2

44、+Cc2=CD2； （2） （1）中的结论 不成立，理由见解析；（3）画图见解析；OC-CA=J2CD.【解析】试题分析：（1）如图1,证明AC=OC和OC=OE可得结论； 根据勾股定理可得： AC2+CC2=CD2； （2）如图2, （1）中的结论 不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明 A、D、O、C四点共圆，得 /ACD=/ AOB,同理得：/ EFO=/ EDO,再证明 ACOAEOF7,彳# OE=AC AO=EF,根据勾股定理得： AC2+OC2=FO2+OE2=EF2,由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3,连接AD,则AD=OD证明AC*OED,根据4CDE是等腰直角

45、三角形，得 C彦=2CD2,等量代换可得结论（OC- OE） 2= （ OC- AC） 2=2CD2,开方后是：OC- AC=/2 CD.试题解析：（1）AC=OE,理由：如图 1,二,在等腰 RtABO 中，/BAO=90,，/ABO=/ AOB=45 ,-. OP± MN ,/ COP=90 ,°/ AOC=45 ；1. AC/ OP,/CAO=/ AOB=45 ,° /ACO=/ POE=90 . AC=OQ连接AD, .BD=OD, .1. AD=OD, AD)± OB, .AD)/ OC, .四边形 ADOC 是正方形，. / DCO=45 ；

46、 . AC=OD,/ DEO=45CD=D . OC=OE .AC=OE;在RtA CDO中， . CD2=OC?+OD2, CD2=AC?+OC2；故答案为aC2+cO2=cd2；(2)如图2, (1)中的结论不成立，理由是：连接AD,延长CD交OP于F,连接EF, .AB=AO, D 为 OB 的中点,/.ADI OB,/ ADO=90 ； / CDE=90 ,°/ ADO=Z CDE,/ ADO- / CDO=Z CDE- / CDO,即 / ADC=Z EDO, Z ADO=Z ACO=90 ,° . . / ADO+/ACO=180. A、D、O、C 四点共圆，/

47、 ACD=Z AOB,同理得：/ EFO之 EDO, / EFO1 AOC, ABO是等腰直角三角形，/ AOB=45 - D DCO=45 ； COF和4CDE是等腰直角 三角形，.OC=OF, / ACO=Z EOF=90 , °AACO EOFOE=AC. AO=EF, ,.ac2+oc2=fo2+oE2=eF2,RtA DEF 中，EF> DE=DCAC2+OC2>DC2,所以(1)中的结论不成立；(3)如图 3,结论：OC CA=/2 CD,理由是：连接 AD,则AD=OD,同理：/ADC=/ EDO, / CAB+Z CAO=Z CAO+Z AOC=90 ；.

48、 C CAB=Z AOC, / DAB=Z AOD=45 ; ：. D DAB- / CAB=Z AOD- / AOC,即/DAC=/DOE,AACDAOED), . AC=OE CD=DE，4CDE是等腰直角三角形，.CE2=2CD2，(OC OE) 2= (OC AC) 2=2CE2,，OC AC=/i CD, 故答案为OC- AC=CD.BM考点：几何变换的综合题13.正方形ABCD和正方形 AEFG的边长分别为 2和2J2 ,点B在边AG上EA的延长线上，连接 BE.(1)如图1,求证：DG，BE;D在线段DG上时,(2)如图2,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点 B恰好落在

49、线段 求线段BE的长.图1图2【答案】(1)答案见解析；(2)J2 J6.【解析】【分析】(1)由题意可证 ADG2 4ABE,可得 /AGD=/AEB,由/ADG+/AGD= 90°,可得/ ADG+Z AEB= 90 ;即 DG± BE；(2)过点A作AMLBD,垂足为M,根据勾股定理可求 MG的长度，即可求 DG的长度, 由题意可证 DA8 4BAE,可得BE= DG.【详解】(1)如图，延长EB交GD于H圉1 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 -ad=ab, ag=ae, /dag=/bae= 90 .ADGAABE (SAS/ AGD= / AEB / ADG+Z AGD= 90 ° / ADG+Z AEB= 90 ° DGXBE(2)如图，过点A作AMBD,垂足为MG F郡 ,正方形ABCD和正方形 AEFG的边长分别为 2和2 J2 , .AM = DM=72，/DAB=/GAE= 90°mg = Jag2 ma2 =