中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案

1、中考数学一一圆的综合的综合压轴题专题复习及答案一、圆的综合1 .如图，以。为圆心，4为半径的圆与 x轴交于点 A, C在。上，/OAC=60°.(1)求/ AOC的度数；(2) P为x轴正半轴上一点，且 PA=OA连接PC,试判断PC与。的位置关系，并说明 理由；(3)有一动点 M从A点出发，在。上按顺时针方向运动一周，当Samao=Scao时，求动点M所经过的弧长，并写出此时 M点的坐标.【答案】(1) 60。； (2)见解析；(3)对应的M点坐标分别为：Mi(2, 2灰)、M2 (-2, - 2#)、M3 (-2, 2囱)、M4(2, 273) .【解析】【分析】(1)由于Z O

2、AC=60,易证得OAC是等边三角形，即可得 / AOC=60 .(2)由(1)的结论知：OA=AC,因此 OA=AC=AP即OP边上的中线等于 OP的一半，由此可证得OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判断出 PC与。O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况，若 MAO、4OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行 求解.【详解】(1) OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等边三角形，故 / AOC=60 .(2)由(1)知：AC=OA 已知 PA=OA 即 OA=PA=AC. AC=2 OP,

3、因此 OCP是直角三角形，且 / OCP=90°,而OC是。的半径，故PC与O O的位置关系是相切.(3)如图；有三种情况：0-取C点关于x轴的对称点，则此点符合2点）；点的要求，此时点的坐标为:Mi (2,劣弧MA的长为：60一4 180 取C点关于原点的对称点,-2,3）；4此点也符合点的要求，此时点的坐标为:M2 (-2,一 1204劣弧MA的长为：180取C点关于y轴的对称点, 26）；83 ；此点也符合点的要求，此时点的坐标为:M3 (-2,八一 2404优弧MA的长为：士404180163 ，当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时 M4 （2, 2J3）；优弧MA的长为

4、：300一4180203 ，综上可知：当Sa mao=Sxcao时，动点M所经过的弧长为 4一, 8, 16一,竺一对应的M点坐 3333标分别为：Mi （2, -2 石）、M2 （-2, 2石）、M3（ 2, 2百）、M4 （2,2 .3） .【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解.2.如图，已知 4ABC内接于OO, BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长 线于点G,垂足为F.连接OC.(2)(3)/G=48 ,求/ACB的度数；AB=AE,求证：/BAD=/ COF;（2）的条件下，连接 OB,设4AOB的面积为Si, 4ACF的面

5、积为8.若1 ，、虫.tan Z CAF=-,求 的值.2S2D3【答案】(1) 48。(2)证明见解析(3)4【解析】 【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；(2)先根据等腰三角形的性质得：/ABE=/ AEB,再证明Z BCG=Z DAC,可得Cd Pb Pd ,则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结 论；(3)过 O作 OG，AB于 G,证明 ACOFAOAG,则 OG=CF=x AG=OF,设 OF=a,则OA=OC=2x-a根据勾股定理列方程得：(2x-a) 2=x2+a2,则a=3 x,代入面积公式可得结 4论.【详解】(1)连接CD,

6、.AD是。的直径，/ ACD=90 ； / ACB+/ BCD=90 .ADXCG, ./AFG=/ G+/BAD=90 ； / BAD=Z BCD,/ ACB=Z G=48 ;(2) AB=AE / ABE=Z AEB,. /ABC=/G+/BCG, / AEB=Z ACB+Z DAC,由(1)得：/G=/ACB,/ BCG=Z DAC,Cd Pb ,.AD 是。的直径，AD± PC,Cd ?d ,Cd ?b ?d ,Z BAD=2/ DAC, / COF=2Z DAC, / BAD=Z COF;(3)过 O作 OG±AB于 G,设 CF=x1 CF. tanZ CAF=

7、,2 AF.AF=2x,. OC=OA,由(2)得：/COF=/OAG, / OFC玄 AGO=90 ； .,.COFAOAG, ，OG=CF=x AG=OF, 设 OF=a,贝U OA=OC=2x- a,RRCOF 中,CC2=Cf2+OF2, (2x-a) 2=x2+a2,a=3x,43.OF=AG=-x,4-. OA=OB, OG± AB, .AB=2AG=3x,2圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出 /ACB+/ BCD=90；（2）根据外角的性质和圆的性质得：Cd Pb Pd

8、； （ 3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题.3.如图，在锐角 4ABC中，AC是最短边.以 AC为直径的O 0,交BC于D,过O作0E/ BC,交 0D 于 E,连接 AD、AE、CE(1)求证：/ACE之 DCE;(2)若/B=45, / BAE=15,求/EA0的度数；S CDF 2，一(3)若 AC=4, - ,求 CF的长.S COE 3【答案】(1)证明见解析，(2) 60。； (3) 迪333【解析】 【分析】(1)易证 /OEG/OCE /OEG/ECD 从而可知 Z OCE=Z ECD,即 / ACE=/DCE;(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+

9、ZBAG=60°,由于OE/ BC,所以/AEO=/AGC=60 ；所以 /EAO=/AEO=60 ;(3)易证 SVCOE1 ,由于 SV。"2 ,所以 SV。"=1,由圆周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE 3ZAEC=ZFDC=90 ；从而可证明 CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) OC=OE,ZOEC=Z OCE1.OE/ BC, ./OEG/ECD/ OCE=/ECD 即 / ACE=/DCE(2)延长AE交BC于点G. / AGC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC,/ AE

10、O=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :(3) :。是AC中点,SvCOESVCAESVCDFSvCOESVCDF1SvCAE3, AC是直径，/AEC=/FDC=90 : Z ACE=ZFCD,ACDFACEA0=73 Ca- 3.CFCA=W【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.4.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形 ABCD内接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求证：四边形 ABCD为圆内

11、 接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，。半径为5. 若AD为直径，且sinA=,求BC的长；5 若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD则四边形 ABCD的面积是；(3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.Si备用图备用图【答案】(1)见解析；(2)BC=6,Z5Y3或75； (3)见解析44【解析】【分析】(1)先判断出ZADC=180° -2ZA,进而判断出/ABC=2/A,即可得出结论；(2) 先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出结论；分两种情况：利用面积

12、和差即可得出结论；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出 EBCEDA,即可得出 结论.【详解】(1)设/A=a,则 /DCB=180°- a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180 -ZADC=2 a =2 A,二.四边形ABCD是。内接倍角四边形；(2)连接BD. AD 是。的直径，Z ABD=90 :在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A=：,BD=8,根据勾股定理得： AB=6,设 / A=a,/ ADB=90°

13、; -若/ ADC=60 °时./ BDC=90° - %Z ADB=Z BDC,BC=AB=6；四边形ABCD是圆内接倍角四边形，/ BCD=120或/ BAD=30 :I、当 /BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD.1 , BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60 ；/ CDO=60 ； ，AD 是。O2的直径，（为了说明 AD是直径，点O没有画在AD上） / ADC+Z BCD=180 : BC/ AD, BC=CD, .1. AB=BC=CD, . .OAB, abccf3Saaob=3X 2= 7

14、5/ .AB=CD. BOC, ACOD是全等的等边三角形，S四边形n、当/ BAD=30时，如图4,连接OA, OB, OC, OD.四边形 ABCD是圆内接四边形，/ BCD=180 - / BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,/ BCO=Z DCO=- / BCD=75 ；/ BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：连接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：2 / ADO=Z OAB- / BAD=15 : ：. D DAC=/ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd.过点C作CHI± OB于H.在 RtZxO

15、CH中，CH=OC= ,二 S四边形 abcd=Szcod+Sboc+SaobSaaod=Sboc+Saob= - X 5+- X 5X 5=.2 224故答案为：豆或75；44D般4图4(3)延长DC, AB交于点E.1 ,四边形 ABCD是。的内接四边形，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEfZ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 八 /""CE BC d c b _2. /BCE=/A, /E=/E, .-.AEBCAEDA,. ,/. -,，d2-AE AD a b d本题是圆的综合题，

16、主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性 质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.5.如图，在4ABP中,C是BP边上一点，/PAO/PBA。是4ABC的外接圆，AD是。的 直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是。的切线；（2）过点C作C。AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.【答案】（1）证明见解析（2） 2 J3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出 /ACD=90以及利用/PAC=/ PBA得出/ CAD+Z PAC=90进而得出答案；(2)首先得出CA84BAC,进而得出 Ad=AGAB,求出AC即可.试题

17、解析：(1)连接CD,如图，.AD是。O的直径,/ ACD=90 ; / CAD+Z D=90 ; / PAG / PBA, / D=Z PBA, / CAD+Z PAC=90 ;即 / PAD=90°, PAX AD, .PA是。O的切线；(2) CF71 AD, / ACF+Z CAF=90 ； Z CAD+Z D=90 ； / ACF=Z D,/ ACF=Z B, 而 / CAG=Z BAC,.ACGAABC, .AC: AB=AG: AC, .AC2=AG?AB=12,AC=2 3 - 6.如图，已知AB是。O的直径，点C为圆上一点，点 D在OC的延长线上，连接 DA, 交B

18、C的延长线于点 E,使得/ DAC=Z B.(1)求证：DA是。O切线；(2)求证：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=1 ,求 AE的长.3D【答案】（1）证明见解析；（2） 我【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD± AB即可证明DA是。O切线;（2）由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA;（3）由题意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到 DC2=DE?AD,故此可求得 DE的长，于是可求得 AE的长.详解：（1） .AB 为。的直径，/ACB=90°,ZCABZ B=90°./DA

19、C=/B Z CABZ DAC=90°ADXAB OA是。O半径，DA为。的切线；（2）OB=OC,ZOCB=Z B. ./DCE=/OCR ，/DCE=/B. ZDAC=ZB, . . / DAC=/DCE(3)在 RtAOD 中，OA=1,i sinD=, 3 ./D=/D,ACEDIA ACD;-OD=-OA-=3, .-.CD=OD- OC=2. sinDAD= Tod2OA=2 V2 -CDDE,DE=CDi=v2,AD ,ADX ACEDAACD, CDAE=AD - DE=2 匹-&=.点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性

20、质 和判定，证得 DESDCA是解题的关键.7 .如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心°；（要求保留作图痕迹，不写作法 ）2若Ab的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.【答案】(1)见解析；(2) 50m【解析】分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由 C为AB的中点得 1到 OC AB , AD BD -AB 40 ,则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理

21、得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,QC为AB的中点，OC AB ,1AD BD - AB 40 ,2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善" 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.8 .如图1,在RtABC中，/ABC=90°, BA=

22、BC,直线MN是过点A的直线CD，MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC, AD, BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作B已BD,交MN于点E,进而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 DC, AD, BD之间的数量关系， 并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当 ABD面积取得最大值时，若 CD长为1 ,请直接写【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC, AD, BD之间的数量关系(2)过点B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O,证明 CDB0 AEB

23、 ,得到 CD AE , EB BD ,根据 BED为等腰直角三角形，得到 DE J2BD ,再根据DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点 D在线段AB的垂直平分线上且在 AB的右侧 时，4ABD的面积最大.在DA上截取一点 H,使得CD=DH=1,则易证ch ah J2, 由BD AD即可得出答案.【详解】解：(1)如图1中,，AE=CD, BE=BD，CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形, -DE= 2 BD, . DC+AD= 2 BD,故答案为J2.(2)AD DC V2BD -EBCCBDEBC,ABEE. AD 交

24、BC于 O.ABECBDBAEAOBBCD COD 90 , AOB COD ,BAEBCDABEAB CB ,CDB0AEB,CD AE , EBBD. BD为等腰直角三角形,DE V2bd DE AD AE AD AD DC >/2BD -B、C、D四点共圆，当点 D在线段AB的垂直平分线上且在AB(3)如图3中，易知A、的右侧时，ABD的面积最大.H图3此时DG，AB, DB=DA,在DA上截取一点 H,使得CD=DH=1,则易证 ch ahBD AD 2 1-【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线 和熟悉图形特性是解题的关键 .9.

25、如图，AB为。的直径，DA、DC分别切。于点A, C,且AB=AD.(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于点E,连结BE.求/ AEB的度数；连结BD交。于点H,若BC=1 ,求CH的长.【答案】(1) 2; ( 2) /AEB= 135° CH 2【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得 /BAD=90,由题意可得 AD=2A0,即可求tan/AOD的值；(2) 根据切线长定理可得 AD=CD, 0D平分/ADC,根据等腰三角形的性质可得DOXAC, AE=CE根据圆周角定理可求 /ACB=90°,即可证/ ABC=/ CAD,根据"AAST证

26、 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度数；由BC=1,可求AE=EC=1 BE J2 ,根据等腰直角三角形的性质可求/ ABE=/ HBC,可证AB&4HBC,可求CH的长.【详解】(1) DA是。0 切线，./BAD=90.1 . AB=AD, AB=2AO, . . AD=2A0, ，tan/AOD 幽 2;AO(2)DA、DC 分别切。O 于点 A, C,AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE2 AB 是直径，/ ACB=90 ,°/ BAC+/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；

27、，/ABC=/ CAD,且 AB=AD, / ACB=/ AED=90 AB8 DAE (AAS) , . CB=AE3 . CE=CB 且 / ACB=90 ,°/ BEC=45=°Z EBC,. / AEB=135 ,° 如图，BC=1,且 BC=AE=CE AE=EC=BC=1 . BE AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,1 CH2一 CH .212本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵

28、活运用相关的性质定理、综合运用知识 是解题的关键.10.如图，已知 AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线 AB对称的两个点，连接OC AC,且/BOC< 90。，直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点 F,与直线 AD相交于点G,且/ GAF= / GCE(1)求证：直线CG为。的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接 CH,满足CB= CH,CBIHOBC求OH+HC的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；5.【解析】分析：(1)由题意可知：/CAB=/ GAF,由圆的性质可知：/CAB=/ OCA,所以/OCA=/ GC

29、E，从而可证明直线 CG是。O的切线；(2) 由于CB=CH所以/CBH=/ CHB,易证/ CBH=/ OCB,从而可证明 CBH OBC;BC HBBC2OC BCBC= HB ,所以HB=,由于BC=HC所以BC2OH+HC的最大值.OH+HC=4-1+BC,利用二次函数的性质即可求出详解：（1）由题意可知： /CAB=/ GAF,.AB是。的直径,/ ACB=90 ,.OA=OC,Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=Z GCE / GCE吆 OCB=Z OCA+Z OCB=90 ； OC是。的半径， 直线CG是。的切线；(2)CB=CFi / CBH

30、=/ CHB, .OB=OC,/ CBH=/OCB, .CBHAOBC由CBWOBC可知:BC _ HBOCBC,.AB=8, BC2=HB?OC=4HB，HB二火4，OH=OB-HB=4-应4-.CB=CHBC2 .OH+HC=4+BC,当 / BOC=90 , 此时BC=42 / BOC< 90 ；.0< BCv 472 ，令 BC=x贝U CH=x,2BH= 4441 2 OH HC -x x当x=2时，.OH+HC可取得最大值，最大值为 5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识.11 .

31、如图，AB为e O的直径，C、D为e O上异于A、B的两点，连接CD ,过点C 作CE DB ,交CD的延长线于点 E ,垂足为点E ,直径AB与CE的延长线相交于点 F .(1)连接 AC、AD,求证： DAC ACF 180.若 ABD 2 BDC.求证：CF是e O的切线.一一一3 ，当BD 6 , tan F 时，求CF的长.420【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；CF 3.3【解析】【分析】(1)根据圆周角定理证得 /ADB=90,即AD± BD,由CE! DB证彳导AD/CF,根据平行线 的性质即可证得结论；(2) 连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/

32、3=2/ 1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,则OC/ DB,再由CE1 DB,得到OCCF,根据切线的判定即可 证明CF为。O的切线； 由 CF/ AD,证出 ZBAD=ZF,得出 tan Z BAD=tanZ F=-BD =-,求出 AD=4 BD=8,利 AD 43OC 3 用勾股定理求得 AB=10,得出OB=OC= 5,再由tanF="=,即可求出CF.CF 4【详解】解：(1) AB是e O的直径，且D为e O上一点，ADB 90 ,QCE DB, DEC 90 ,CF /AD ,DAC ACF 180 .(2)如图，连接OC.Q OA OC ,12.Q 312,3

33、2 1.Q 4 2 BDC , BDC 1,4 2 1,43,OC /DB.QCE DB, OC CF .又QOC为e O的半径,CF为e O的切线.D由（1）知 CF /AD ,BAD F ,3 tan BAD tanF -, 4BD 3. AD 4Q BD 64AD - BD 8 , 3AB62 8210，OB OC 5.QOC CF ,OCF 90 ,tanFOC CF解得CF203本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.12.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦 BD

34、平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求证：AG= GD; 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？3 -若 AB=10, sin/ABD=，求 BC 的长.5【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析； ，一 ，14(3) BC的长为一.5【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE±AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE ,然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得/ADE=/ABD,又由弦BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD;(

35、2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得 /DGF=/ DFG=60 ,即可证得结论；34(3)利用二角函数先求出 tan Z ABD 3, cos/ abd=,再求出DF、BF,然后即可求出45BC.【详解】(1)证明：连接AD,. DEXAB, AB是。的直径，Ad Ae ,/ ADE= / ABD, .弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD;(2)解：当/ABC= 60°时，4DFG是等边三角形.理由：二,弦BD平分/ ABC,/

36、DBC= ZABD=30 °,.AB是。的直径，/ ACB= 90 ；/ CAB= 90 - / ABC= 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 °, .DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °, .DGF是等边三角形；(3)解：.AB是。的直径，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBC= / ABD,3 . AB= 10, sin/ABD=一，5 在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6, BD= TAbBD=8，AD 3BD 4 tan / ABD= - , cos/ ABD=

37、一,BD4AB 539在 RtA ADF 中，DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6 X=,4297 BF= BD DF= 8 ，22_ ，_ 7 414.二在 RtBCF中，BC= BF?cos/ DBC= BF?cosZ ABD=- - =.2 55BC的长为： 5【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等 知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用， 注意辅助线的作法.13 .如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图

38、2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.S3一141)见解析；(2)成立；(3) 一5【解析】【分析】(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出/OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长交AK于M,延长

39、KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出 a即可. 【详解】(1)证明：.AB为直径,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;(2)成立，证明：连接OC,由圆周角定理得：BOC 2 A ,OC OB ,1 1802 A 90 A ,21“OBC 180 BOC 2ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFE DFA ,BCD BA

40、H ,根据圆周角定理得：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,CH CF,EH EF,同理DF DK ,DE 3,HK 2DE 6 ,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE 6,BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ，延长KO交。O于N,连接CN、AN, 则 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG ,四边形CGAN是平行四边形,AG CN 6,作OT CK于T,则T为CK的中点,.O为KN的中点,八 1 一 . OT CN 3,2OTC 90 , OC由勾股定

41、理得：CT5,4,CK 2CT 8,作直径HS,连接KGHK 6, HS 10,.由勾股定理得:KS8,HSKtanEAB设BD13CDtan ADBD2ED6,DK11-AD -a 2, 33. CDDK3a1a 2 38,解得:DK135CFCK2DK265145【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.14 .如图，BD为ABC外接圆。的直径，且 /BAE=/C.(1)求证：AE与。相切于点A;(2)若 AE/ BC, BC= 2J3, AC= 2,求 AD 的长.E【答案】(1)证明见解析；(2) 273(1)根据题目中已出现切点可确定用连半径，证垂直”的方法证明切线，连接 AO并延长交。O于点F,连接BF,则AF为直径，ZABF= 90。，根据同弧所对的圆周角相等，则可得 到/BA巳/F,既而得到 AE与。相切于点A.(2)连接OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,则/ AOG / AOB, 从而利用垂径定理可得 AH=1,在RtOBH中，设OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的长为2 Q .【详解】解：(1)连接AO并延长交。于点F