9.7方向导数与梯度

1、9.7 方向导数与梯度方向导数与梯度教学要求教学要求：理解理解方向导数和梯度的概念；方向导数和梯度的概念；并并掌握掌握它们的计算方法它们的计算方法. .实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

2、问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出偏导数表示的是函数沿着坐标轴方向的变化偏导数表示的是函数沿着坐标轴方向的变化率，而现实生活中还需要研究函数沿某一指率，而现实生活中还需要研究函数沿某一指定方向的变化率定方向的变化率-方向导数方向导数二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxl 函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向上的上的方向导数方向导数。与与 l 同方向的单位向量为同方向的单位向量为则射线则射线 l 的参数方程为的参数方程为),cos,c

3、os( le,|0tPP 设设),(yxP t ),(000yxP coscos00tyytxx动点从动点从沿方向沿方向 l 运动到点运动到点 P 时，函数产生的增量时，函数产生的增量0P),(),(00yxfyxfz ),()cos,cos(0000yxftytxf 称之为函数在称之为函数在 l 方向上的增量。方向上的增量。 tz 称之为函数在称之为函数在 l 方向上的平均变化率。方向上的平均变化率。如果极限如果极限存在存在l 的参数方程为的参数方程为 coscos00tyytxx),(),(00yxfyxfz ),()cos,cos(0000yxftytxf 的比值的比值它与它与tPP |

4、0tyxftytxf),()cos,cos(0000 ,0PP 令令,0 t即即tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 oyxl),(yxP t ),(000yxP 则称它为则称它为 f ( x , y ) 在点在点 处沿方向处沿方向 l 的方向导数。的方向导数。0P记为记为),(00yxlf 问题问题1：方向导数与偏导数的关系？：方向导数与偏导数的关系？问题问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？什么？如何计算方向导数？oyxl),(yxP t ),(000yxP 如果极限如果极限存在，存在， 则称它

5、为则称它为 f ( x , y ) 在点在点处沿方向处沿方向 l 的方向导数。的方向导数。tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 0Ptyxftytxft),()cos,cos(lim00000 方向导数就是函数在点方向导数就是函数在点 处沿方向处沿方向 l 的变化率。的变化率。0PtyxftytxfLfLfLPyxfztyxftytxftyxyxt),()cos,cos(lim,),(),()cos,cos(lim100000),(),(0000000000 即即导数，记为导数，记为的方向的方向沿方向沿方向在点在点数数存在，则称该极限为函存在，则称该极限为函：如果极限：

6、如果极限定义定义注注：1. 方向导数表示的是函数沿某一方向的变化率方向导数表示的是函数沿某一方向的变化率2. 方向导数是一个数方向导数是一个数问题问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？什么？如何计算方向导数？函数沿任意方向函数沿任意方向 l 的方向导数存在，且的方向导数存在，且),(00yxlf 其中，其中，是是 l 的方向余弦。的方向余弦。证明：证明：其中其中定理：定理：如果如果 z = f (x , y ) 在点在点 可微，则可微，则),(000yxP cos),(cos),(0000yxfyxfyx )cos,(co

7、s le,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt 考虑函数在方向考虑函数在方向 l 上的增量上的增量tz 令令),(00yxlf 证明：设证明：设其中其中,00 yyyxxx oyxl0P),(yxP x y t,coscos tytx22yxt ),(),(00yxfyxfz ),(),(0000yxfyyxxf yyxfxyxfyx ),(),(0000 )( o cos),(cos),(0000tyxftyxfyx )(to cos),(cos),(0000yxfyxfyx tto )( ,0 t cos),(cos),(0000yxf

8、yxfyx 计算可微函数方向导数的步骤计算可微函数方向导数的步骤),(00yxlf （1）确定给定方向）确定给定方向 l 的方向余弦：的方向余弦：即与即与 l 同方向的单位向量。同方向的单位向量。（2）计算偏导数）计算偏导数（3）利用公式计算）利用公式计算),(00yxlf 或或)cos,(cos le),(),(0000yxfyxfyx cos),(cos),(0000yxfyxfyx sin),(cos),(0000yxfyxfyx 解：解：, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz )0,1(lz.22 方向方向 l 即为即为l 的方向余弦即为与的方向余弦即为与 l 同方向的单位向量

9、同方向的单位向量)01, 12( PQ)1, 1( | PQPQel )1, 1()1(1122 )21,21( ; 1)0 , 1(2)0 , 1( yexz又又)21(2211 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;22),(yxyxyxf 例例2 求函数求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线 l 的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向

10、上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例2 求函数求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零

11、？）等于零？ cos)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sincos),4sin(2 22),(yxyxyxf 例例2 求函数求函数在点（在点（1，1）沿与）沿与 x 轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数, 并问在怎样的方向上此方向导并问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ co

12、s)2()1 , 1(yx ,sin)2()1 , 1( xy 故故（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.对于三元函数对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点它在点处沿方向处沿方向的方向导数定义为的方向导数定义为),(0000zyxP)cos,cos,(cos le ),(000zyxlftyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim000000 如果如果 u = f ( x , y , z ) 在点在点处可微，则处可微，则),(0000zyxP),(000zyxlf cos),(cos),(000000zyxfzyxfyx c

13、os),(000zyxfz 例例3 求求zxyzxyzyxf ),(在点在点)2 , 1 , 1(沿方沿方其中其中l的方向角分别为的方向角分别为,45,60 l的方向导数的方向导数, ,向向解解l同向的单位向量同向的单位向量与与le60cos,45cos,60cos .21,22,21 因为函数可微分因为函数可微分, ,且且)2 , 1 , 1(xf)2, 1 , 1()(zy , 3 )2 , 1 , 1(yf)2, 1 , 1()(zx , 3 )2 , 1 , 1(zf)2, 1 , 1()(xy . 2 .60 故故)2, 1 , 1(lf 212223213 ).235(21 解：解

14、：对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。令令, 632),(222 zyxzyxF则曲面上任意一点则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为处的法向量可取为 对于封闭的二次曲面，对于封闭的二次曲面，指向外侧，指向外侧，则指向内侧，则指向内侧，2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.),

15、(zyxFFFn ),(1zyxFFFn ),(2zyxFFFn 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故又又;146 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.解：解：)1, 1, 1(| ),(zyxFFFn )2, 6, 4( )1, 3, 2(2 的方向余弦，即与的方向余弦，即与 同方向的单位向量为同方向的单位向量为nn)1, 3, 2(141 le)c

16、os,cos,cos( )1 , 1 , 1(|xu)1 , 1 , 1(22866yxzx ;148 PPzyxzu22286 .14 故故.711 )1, 3, 2(141 le又又;146 PPyxzxxu22866 ),1, 3, 2(2 n)cos,cos,cos( 2122)86(1yxzu n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例4 设设是曲面是曲面 在点在点处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数n在此处沿方向在此处沿方向的方向导数的方向导数.PPyxzyyu22868 PPzuyuxunu)coscoscos( 解：解：定义定义 设函数设函数),(y

17、xfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念 沿不同方向的方向导数一般来说是不同的。沿不同方向的方向导数一般来说是不同的。问题：问题：方向导数中有没有最大的？如果有，是沿方向导数中有没有最大的？如果有，是沿哪个方向？哪个方向？并称并称为为 z = f ( x , y ) 在在 D 内的梯度场。内的梯度场。leyxgra

18、df ),(00,cos| ),(| leyxgradf 00梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系)cos,(cos le设设是是 l 的方向余弦，的方向余弦，),(00yxlf ,cos| ),(| 00yxgradf,cos1 当当,时时即即0 ),(00yxlf 为最大值。为最大值。| ),(|00yxgradf cos),(cos),(0000yxfyxfyx 结论结论函数在梯度方向上的方向导数最大，函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在梯度方向上的增加速度或者说函数在梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）。（变化率）最快（最大）。 22| ),(| yfxfyxgrad

19、f lf max 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(

20、kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.例例8 求函数求函数xyzzxyu 32哪个方向的方向导数最大哪个方向的方向导数最大? ? 最大值是多少最大值是多少? ?在点在点)1 , 1 , 1(0P处沿处沿解解由由xu yu zu 得得, 00 Pxu, 10 Pyu从而从而)(0gradPu,2 , 1 , 0 )(0gradPu410 . 5 于是于是u在点在点0P处沿方向处沿方向2 , 1 , 0的方向导数最大的方向导数最大, ,最大值是最大值是. 5. 20 Pzu,2yzy ,2xzxy ,32xyz gr

21、advCgraduCvCuCgradvuCC212121)()1(, 为可微函数，则有为可微函数，则有为任意常数，为任意常数，设设梯度的运算法则：梯度的运算法则：ugradvvgraduuvgrad )()2()0()3(2 vvugradvvgraduvugradgraduufufgrad)()()4( 作业：习题作业：习题8-7: 1, 4, 5, 7讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0

22、,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(g

23、radf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的