高等数学方明亮版第九章答案曲线积分与曲面积分习题详解

1、高等数学方明亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解习题9.11计算下列对弧长的曲线积分:(1)yds，其中L是圆x2y2=1中 A(0,1)到 B()之间的段劣弧;22 2_cos(_sin r)cos rdr.二 解:则有L是分段光滑的闭曲线，如图 9-2所示，根据积分的可加性,|JL(x y 1)dshOA(x y 1)ds ab(x y 1)ds - .BO(x y 1)ds ,L = AB的参数方程为:x = cos ), y =sin J ()，于42(2) 口(x y1)ds，其中L是顶点为0(0,0), A(1,0)及B(0,1)所成三角形的边界;由于OA:y=0 , 0_x_1，

2、于是ds =、：(¥)2 +(¥)2dx =訥2 +02dx =dx ,13OA(x y 1)ds = 0(x 0 1)dx ,而AB:=1 -x , 0 込x1，于是ds =(f)2+(¥)2dx=$12 +(1)2dx=V5dx .AB“(x y 1)ds = ；x (1 x) 1 2dx = 2 2 ,同理可知BO:x=0 ( 0兰y兰1), s(畀2Ky =0补y d，则 y y13bo(x y 1)ds»00y 1dy 匕综上所述mXy+1)ds=l+M+l=3+M (3).x2 y2ds，其中 L 为圆周 x2 y2 = x ；直接化为定积分

3、.Li的参数方程为1X =-2cosx y inr ( 0_二_2二),2 2. 2 2 1 ds“x y(“ d-2d，(4)Lx2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0),B(0,0,2), C(1,0,2),D(1,2,3)解如图所示,Lx2yzdsABx2 2yzds 亠 ibcx yzds 亠 icd x yzds 线段AB的参数方程为x =0,y = 0,z =2t(0 _t _1)，ds= 叮厂2=02 0222dt =2dt ,2 1x yzds 二 o° 0 2t 2dt=0 线段BC的参数方程为x = t, y = 0, z = 2(0 _ t -

4、1)，则ds= 12 02 02dt 二 dt,2 1 2bcx yzd .t ° 2dt=0，线段Cd的参数方程为x =1,y=2t,z=2 7 （0乞乞1），则ds= .02 22 12dt 八,5dt ,2 1CDXyzdSj。12t (2 t)、5dt =2 5 o(21 t2 )dt=.5,3d Z. y XSzd8 8X3(5) lx ds, 2 2 2L为球面x y z = 1与平面x y 0的交线。解 先将曲线L用参数方程表示，由于 L是球面 x2 y2 z2 =1与经过球心的平面 x y z=0的交线，如图所示,因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为

5、椭圆， 其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以z=（x - y）代入x2y2z21=1有x xy y，将其化为参2数方程,.312x 1T.2cost，即 x3cost，2；2sint，即有1 1yFsin；62 2 2cost，代入 x y - z =1 (或 x y 0 中)1-一si nt - cost，从而L的参数方程为2 6y = 1 sint - 1 cost，z = - 1 sint - 1 cost (0 _t _2二). V2 V6V2V6则ds=.x(t)f y(t)2 z(t)2dt所以2 2二2 2 2 2二 2 2L x ds = I cos tdt = 0 c

6、os tdt = 兀.3332设一段曲线 y = In x （0 ： a岂x乞b）上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量.解 依题意曲线的线密度为P = x2，故所求质量为 M = J x2ds，其中L: y =ln x （0 ： a _x _b）.则L的参数方程为X =x(0 : a _ X _ b),y =1 nxds =+包dx = ( + 4dxJi +x2 dx ,>dx 丿 Y x x所以x l 212 -3 b 12 22 -3M ，、”1 x dx=(1 x )1(1 b )" -(1 a )訂.a x332 2 23求八分之一球面 x y z

7、 =1(x _ 0, y _ 0, z _ 0)的边界曲线的重心，设曲线的密解 设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面内的弧段分别为L1、L2、L3，曲线的重心坐标为x, y, z，则曲线的质量为 Mr ds = 3 ds =3汇互=竺.由对称性可得重心坐标 丄 1423L1Clxds=M(kxdsrL2xdsrL3xds)1 xds 0 亠 I xds =ML1L3M L12_ M! xds故所求重心坐标为1 xdx _ 2 _ 4 0 . 1 x2M±,±,±3 二'3 二'3 二习题9.21设L为xOy面内一直线y = b ( b为常数)，证

8、明LQ(x,y)dy =0。证明：设L是直线y二b上从点(anb)到点(a2,b)的一段，其参数方程可视为y = y(x) =b ,(印岂 x 乞 a?),于是a2Q(x, y)dy Q(x,b) 0 dx =0。L a2计算下列对坐标的曲线积分：(1) Lxydx，其中L为抛物线y2二x上从点A(1,_1)到点B(1,1)的一段弧。2 2解 将曲线L的方程y二x视为以y为参数的参数方程 x二y，其中参数y从-1变到1。因此1 1Lxydx二y2y(y2)dy =2y4dy 二4。5(2)L(x2 y2)dx (X2 - y2)dy，其中L是曲线y=1-1_x从对应于x = 0时的点到X二2时

9、的点的一段弧；解L!的方程为y =x (0乞x乞1)，则有(x2y2 )dx (x2 -yLiL2 的方程为 y =2 x (1 _x _2)，贝U(x2y2)dx (x2L2-y2)dy)dy= i 2x2dx=? 3所以(3)22 2 21 x (2-x) dxc2222(2 -x) dx =3 3-y2)dyL(x2 y2)dx (x2L ydx + xdy, L 是从点2x (2 x) (1)dxA(-a,0)沿上半圆周x2y2二a2到点B(a,0)的一段弧;利用曲线的参数方程计算.L的参数方程为：x=acosny =asinr，在起点A(_a,O)处参数值取二，在终点B(a,0)处参

10、数值相应取 0,故二从二到0贝U0 2 0,ydx xdy a sin nd (a cos t1) acod(asinv)=acos2 nd v - 0 L(4) Lxy2dyx2ydx，其中L沿右半圆x2 y2二a2以点A(0, a)为起点，经过点C(a,0) 到终点B(0, -a)的路径；解 利用曲线的参数方程计算.L的参数方程为：x = acosny =asinr，在起点A(0,a)处参数值取二，在终点B(0, -a)处参数值相应取，则2 2 2 2xy'dy-x'ydxhCacosTljasinT) d(asinO)-(acosT) asinOd(acosT)JT-TF

11、七T2sin%osF(5) l x'dx 3zy2dy-x2ydz,其中 L 为从点 A(3, 2,1)到点 B(0,0,0)的直线段 AB ；解直线AB的方程为 =_y3 一 2化成参数方程得x=3t, y=2t , z=t , t 从 1 变到 0。所以宀八1，且从z轴X- y z=2,x3dx +3zy2dy x2ydz = f (3t)2b+3t(2t)2 工(3t)2j2tdt(6) I =y(z-y)dx (x-z)dy (x-y)dz, L 为椭圆周 正方向看去，L取顺时针方向。解L的参数方程为x = cost, y = sin t, z = 2 - cost sint,

12、 t 从 2-变到 0 ,I 二Q(z y)dx (x z)dy (x y)dz0 2 2(3cos t -sin t 2sin t 2cost)dt - -2二。2 二3设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置（人，力忆）沿直线移 到（X2, y2,Z2）时重力所作的功。解因为力F -(0,0, mg)所以Wmgdz 二 mg(z2 _乙)。zl习题9.31.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积r3x = a cos t , c 八八（1）星形线«3（0Et兰2兀）；）=asin t ,1 1J!3丄2丄“232cos t sin tdt a。8- (xdy ydx =

13、?況4acos3t3asin21 cost asin3t3acos2t(sin t)dt= 6a2 02 cos4tsin 2 sin t4cos tfdt =6a. 2 2圆 x y =2by，( b 0)；解 设圆的参数方程为 x=bcost,y =b bsint ,t从0变到2二那么A = xdy 一 ydx = £ o bcostLbcost(b bsin t)b( sin t)dt122 二2b2 o (1 s i ti c)t 二b2。(3)双纽线(x2 y2)2 =a2(x2 -y2)，( b 0)。解 把双纽线的参数方程代入到公式A = 1 口_ xdy - ydx即

14、可求得所要求的面积2利用格林公式计算下列曲线积分(1) |_(y x)dx (3x - y)dy，其中 L 是圆(x 1)2 - (y 4)2 = 9，方向是逆时针方向；解 设闭曲线L所围成闭区域为 D，这里占QWPP=y-x, Q = 3x y ,3,1 ,excy由格林公式，得(y-x)dx (3x y)dy H(3-1)dxdy=2 w dxdy = 18二。D(2) l ydx (3siny -x)dy，其中 L是依次连接 A(_1,0), B(2,1), c(1,0)三点的折线段，方向是顺时针方向。解 令 P(x, y) = y , Q(x, y) = 3 sin y - x y 卫

15、一兰=_11 = _2，且线段 CA: y = 0 , txcyx由1变化到-1，故有L ydx C sin y _x)dy二LABCAydx (3siny x)dy CAydx (3 siny x)dy-(_2)dxdy -，0 dx =2 dxdy =2 .DD其中D为ABCA所围成的闭区域.L(ex sin ymy)dx (ex cosym)dy ,其中 m 为常数,L 为圆 x2 y2 二 2ax上从点A(a,O)到点0(0,0)的一段有向弧;解如右图所示，设从点 O到点A的有向直线段的方程为OA: y =0, x 从 0 变到 2a。则OA与曲线L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为D，

16、令xxP = e sin y - my, Q = e cos y - m ,二excosy ,二excosy-m ,x:y由格林公式，得Q oa(exsin y -my)dx (ex cosy -m)dy 二 mdxdyD2a x二 m ! dxdy 二丄 m二 a2。D2LA(exsin y my)dx + (ex cosym)dy = (exsin0 m|_0)十(ex cos0 m)_0dx=0,(exsiny-my)dx (excosy-m)dy(exsiny-my)dx (excosy-m)dyLL OA_J (exsiny_my)dx +cosy_m)dyJma2 -oJm二a2。

17、2 22 2y x222 ，(x y ).:yjx7 xdy 一于，其中L为椭圆4x2 + y2 =1，取逆时针方向; L_l x +y解 令 P(x,y)二,Q(x,y)，则当(x,y)=(0,0)时,x + yx + y但积分曲线L所围区域包含点(0,0) , P(x, y), Q(x,y)在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点(0,0)去掉，为此作半径足够小的圆C : x2 y：.2 ,使C位于L的内部，如图右所示.C的参数方程为x =、cos71 , y = sin 二，：三0,2 二,C取逆时针方向于是干 xdy - ydx-L x2 +y2壬一xdy -

18、ydxy2xdy - ydx'x2 y2其中C 一表示C的负方向由格林公式则有110 dxdy = 0 ,D口xdy ydxL七 2*2 i_l七 x十y其中D为L与C所围成的闭区域故x2y2-y xdy - ydx 斤 xdy ydx 阡 xdy ydx 丄 J+,2 _乜_ x2+y2 _Uc x2+y2cos 阳(、sin v) -、sin vd (、cost)cos2 ；： lYsin2 t1: CU2222"""Ufds ,其中u(x, y) = x + y , L为圆周x + y = 6x取逆时针方向， 是 亦cnu沿L的外法线方向导数。解由于

19、3二in：xcos(n,x) +色cos(n y) =2xcos3 _2ycosa，其中 a是在曲线 L 上点7(x, y)处的切线的方向角，故JL竺ds=d (2xcosB 2ycosot)ds 根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有了Lfds=(-2ycosa +2xcos)ds =口(-2y)dx+2xdy = $4dxdy .因为L为圆周x2 y2 =6x，所以L所围成的圆的面积=9二，因此= Jfdxdy =4 =36兀。3证明下列曲线积分在整个 xOy面内与路径无关，并计算积分值(2,1),(0,0) (2x y)dx (x-2y)dy;FPrQ解令 P =2x y , Q =

20、x-2y U 工=1 Q 在整个 dyex(2,1)xOy面内恒成立，因此，曲线积分.(oo)(2x y)dx (x-2y)dy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(2,1)(0,0) (2x y)dx (x-2y)dy二(2x y)dx (x-2y)dy ab(2x y)dx (x-2y)dyxoAAB21= .0(2x 0) (x-2S)Sdx0(2 2 y)L0 (2-2y)dy=4 1 =5。(x,y)22(2)(00)(2xcosy-y sin x)dx (2ycosx-x sin y)dy ;解令 P = 2xcosy -y2 sin x ,

21、 Q = 2y cosx -x2 sin y ,则 -2(ysi nx xsin y) =在整个xOy面内恒成立，因 ；yx(x,y)22此， (2xcosyy sin x)dx (2ycosxx sin y)dy在整和yB(2,1)A(2,0)“ yB(x, y)A(x,0)个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(x, y)22扁)(2xcosy-y sinx)dx + (2ycosx-x sin y)dy22二 oA(2xcosy-y sin x)dx (2ycosx-x sin y)dy22+ LB(2xcosy y sin x)dx+ (2y cosx

22、x sin y)dy二 ° (2 xcos002sinx) (2L0_cosxx2sin 0)|_0dxy2|2亠 i (2 xcosy - y sin x)|_0 (2 y cosx - x sin y)dyxy2=o 2xdx 亠 i (2ycosx-x sin y)dy=x2 ( y2 cosx x2 cos y -x2) = x2 cos y y2 cosx。(3)(1,2)(x)dx："T(y)dy，其中(x) 和' (y)为连续函数。C2,1)P =(x) , Q =(y)，则 =0 = 在整个xOy面内恒成立，因此，曲线 內ex(1,2)积分i(x)d

23、 v (y)dy在整个xOy面内与路径无关。所示的积分路径，则有(1,2)(2,1 (x)d - (y)dy为了计算该曲线积分，取如右图C(1,2)二 ab “x)dx - (y)dy BC(x)dx -(y)dy1 22 (x)dx / (y)dy。B(1,1)A(2,1)x4验证下列P(x, y)dx Q(x, y)dy在整个xOy面内为某一函数u(x, y)的全微分，并求出这样的一个u(x, y):(1) (2x sin y)dx xcos ydy ；解令 P = 2x sin y ， Q 二 xcos y:Q；Pcos y ,cosy.x:y原式在全平面上为某一函数的全微分，取(X。，

24、yo) =(0,0),(x,y)xy2u(x, y) =(00)Pdx Qdy= p 2xdx 亠 i xcos ydy =x xsin yB(x,y)A(x,0) x(2) (x2 2xy-y2)dx (x2-2xy -y2)dy ；解 因为 P = x2 2xy - y2 , Q = x2 -2xy - y2，所以=2x-2y = ex222xOy面内恒成立，因此，：在整个xOy面内，(x 2x y )dx (x -2xy -一函数u(x, y)的全微分，即有(x2 2xy -y2)dx (x2 -2xy - y2)dy = du。于是就有由（4）式得将（6）式代入.:u:x二 x2 2x

25、y _ y2_2xy _ y2u(x, y)二(x2 2xy -y2)dx5 )式，得-1x3 x2y xy2(y)x2 _2xy (y) =x2 _2xy _ y2:P在整个y2)dy是某(4)(5)(6)(7)比较（7）式两边，得于是(y) <y3 c（其中C是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为u(x,y)x3 x2y-xy2y3 C。33(3) ex(1 sin y)dx (ex 2sin y)cos ydy。解 令 P(x,y) =ex(1 sin y)， Q(x, y) =(ex2sin y)cos y，则在全平面上有Q.x:P= ex cos y，满足全微分存在定理的条件

26、，故在全平面上， yex(1 sin y)dx (ex2sin y)cos ydy是全微分.F面用三种方法来求原函数:解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 9 - 10 所示，可取定点0(0,0)，动点A(x,0)与M(x,y)，于是原函数» M (x, y)(x, y) xxu(x, y)=爲 e (1 +sin y)dx +(e +2sin y)cos ydy A(x,0)厂取路径：OA AM，得/ xry x. x 2u(x, y)二 0 e (1 0)dx 0 (e 2sin y)cos ydy = e -1 e sin y sin y .解法2从定义出发，设原函数为u

27、(x, y)，则有®=p(x,y)=ex(1+sin y)，两边对x积分(y此时看作参数)，得xu(x, y)二e (1 sin y) g(y)(*)待定函数g(y)作为对x积分时的任意常数，上式两边对y求偏导，又=Q(x, y)，于:yex cosy g (y) =(ex 2sin y)cos y ,即 g(y)=2si ny cosy，从而 g(y)二si n2y，C ( C 为任意常数)，代入(* )式，得原函数 u(x, y) =exex sin y sin2 y C .5可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分Lf (x,y)(ydx xdy)与路径无关？解令 P =

28、 yf(x, y), Q =xf (x, y)，则.:Pf (x, y) yfy(x,y),y=f (x, y)xfx(x, y)沪cQ当，即 f(X, y) yfy (x, y)二 f (x, y) xfx (x, y)或 yfy(x, yxfx(x, y)在整个-y :xxOy面内恒成立时，曲线积分l f (x, y)(ydx xdy)在整个xOy面内与路径无关。习题9.41当三为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分！）f（x,y,z）dS与二重积分有什么关系 ？答 当匕为xOy面内的一个闭区域 D时，匕在xOy面上的投影就是 D，于是有f （x,y,z）dS f（x, y,0）dxdy。工

29、D2计算曲面积分.（x2 y2）dS，其中匕是y（1）锥面x2 y2及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;锥面x2 y2与平面z二1的交线为x21，即锥面在xOy面上的投影区域为圆域Dxy八(x, y) x2 + y2 兰 1。而czxczyx , x2y2:：yx2y22 2cz1十十+占M，x y x y因此11(x2 y2)dS 二、2(x2 y2)dxdy 亠 n£(x2 y2)dxdyDxyDxy= (V2+1)"(x2 +y2)dxdy =(T2 + 1)rd 日 f r2rdrDxyz = y(2)yOz面上的直线段y （0乞z乞1）绕z轴旋转一周所得到的旋

30、转曲面。A =0旋转曲面为z= - x2 y2(0 _z _1)，故心.（了（了呪厂,1 （十丿十x)2 ( 2_ )2dxdy= 2dxdy，2y )dxdy ，所以.(x2 y2)dS. .2(x2ydxy其中Dxy »：（x,y）|x2 y2 是匕在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分,于是222 12. 2(x y )dS=2 o dr 0r rdrI23计算下列曲面积分： 2 2(1) dS,其中匕是抛物面在xOy面上方的部分：z=2-(xy),z_0 ； X22解 抛物面z =2 -(X y )在xOy面上方的部分 在xOy面上的投 影Dxy为圆域x2 y2

31、乞2,三=容土 =冷,故次dyI idS -. 1 (_2x)2 (-2y)2dxdy 二,1 4(x2 y2)dxdyIDxyDxy=o"d=o'r77rdr =. (x y z)dS，其中匕是上半球面X2 y2 Z2 =a2, z _ 0 ；解 上半球面z二a2 - x2 - y2在xOy面上的投影Dxy为圆域x2 仁 a2,cz-x&-yxa2 -x2 -y2a2 x2 y2dS=.1 (32(z)2dxdydxdyY<xty-y2.2、,2dxdy =i i(x y z)dS 二 x ya2 _ x2 _ y21Dxy+ r sin 日 + 丁1 _r2

32、 ) . a rdr-r2r2(cos)sinv).1 r2+ r dr=ar22 n a33=070二扫(3) (x 屯 -)dS，其中匕为平面丄芒=1在第一卦限的部分;22234解将曲面的方程改写为.x：y从而dS = * +(空)2 +(空)2dxdy udxdy， dxdy3二在xOy上的投影区域为Dxy 二(x,y) |0 Ex 乞2,0 空y 乞3 -x,3y z3)dS 二x ；y 2(1 22d2xyx2dxdy61_ 323笃x°dx.o (27 6161(4)2 dS ,其中匕是柱面x2 yR2被平面z = 0、z = H所截得的部分zx y解 将曲面i分成丙个曲

33、面：二：x = . R2 - y2和乙：x；R2 - y2 , 11、Z2在yOz1面上的投影区域都为 Dyz珂(y,z) -R_y _R,0 _z _H,先算 2 dS.由于云x+y从而dS 彳 1+(爭 +$2dyd叫+0dydz同理可求得所以.R2-y2d"Rzdydz ,dydz、R2 - y2,1 dyf dzRR2_y2 y'0niRnHR_21_rdS =T x y? x yx yR1 2 2 _4求抛物面壳z = q(x +y ) ( 0<z<1)的质量，此壳的密度为P = z。1 2 2解 在抛物面壳z (x y ) ( 0乞z1)上取一小块微小

34、曲面 dS,其质量dm = zdS整个抛物面壳的质量为m二zdS.匕在xOy面上的投影Dxy为圆域x2 y2 _2,送=x,M =y ,故y2)dxdy=JJzdS= jG(x2 +y2)J+(x2工Dxy 21：d=o1 r2r3dr 峯(6 3 1).215习题9.51当匕为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分II R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系X答 当匕为xOy面内的一个闭区域时，二的方程为z=0。若匕在xOy面上的投影区域为。纽，那么R(x, y, z)dxdy 二 R(x, y,0) dxdy ,IDxy当匕取上侧时，上式右端取正号；当匕取下侧时，上式右端取负号。2计算下

35、列对坐标的曲面积分：(1) ii(x ' y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy，其中I是以坐标原点为中心，边长为2的y立方体整个表面的外侧；解把三分成下面六个部分：L：z=1 (-1_x_1,-1_y_1)的上侧；二 2：z = T (M,0 1y_ 的下侧； 二3 ： x =1 ( T - y _ 1, T _ z _ 1)的前侧;4：x =. -1(-1 y <1 , -1z_ 的后侧；15: y =1 (-1広<11龙 的右侧；二：y = 1(1 _x _1,1 _z_1)的左侧.因为除13、匕处,其余四片曲面在yOz面上的投影都为零，故有(x y)d

36、ydz = (x y)dydz 亠 i i(x y)dydz 亍壬i4二(1+y)dydz - (-1+y)dydzDyzDyz二 4 -( -4)二 8 ;同理可得11(y z)dzdx =8 ；ii(z x)dxdy =8 .于是所求的曲面积分为ii(x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy =24. y2(2)!(z x)dydz-zdxdy ,y分的下侧。解 由两类曲面积分之间的联系,ii(z2 x)dydzX在曲面三上，有其中3为旋转抛物面 z = 】(x2y2)介于z=0,z2可得= (z2 x)cos : dS = (z2 - x) C0S - dxdy ,cos

37、2之间部cos_ ：2cos2。J1 +x2 +y2J1 +x +yi i(z2 x)dydz _ zdxdy = (z2 x)( _x) _ zdxdy。X再依对坐标的曲面积分的计算方法，得! !(z2 x)dydz - zdxdy ! ! | 1 x2y21 1(-X)-? x2 y2 dxdy。注意到d I x2xy2 2y dxdy =0 ,2n2dr 21 i：2cos2d - ；-202(3) !jxdydz ydxdz zdxdy,其中 ' 为 x2 - y2 z2 =a2, z _ 0的上侧； y解7在yOz面上的投影为半圆域 y2 z2岂a2, z丄0, x= a2-

38、y2-z2ixdydz=。甲 a2 y2 z2dydz (- °厂 a2 x2 y2dydz)! ：；a2 -dr222It=2 D a -y -z dydz = 2 0 dryzD yz022由对称性 jj ydxdz=a3, i ；, zdxdy=a32二原式=二a3 3 = 2二a33(4 )卩 xydydzIyzdxdz zxdxdy,其中v是由平面x = 0 ,x y z =1所围成的四面体的表面的外侧。4取上解 如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧,侧。于是Q xydydz yzdxdz zxdxdy二 xydydz yzdxdz zxdxdyA亠 1

39、1xydydz yzdxdz zxdxdy亠 11xydydz yzdxdz zxdxdy亠 11xydydz yzdxdz zxdxdy=-0 dxdy ii0 dydz ii0 dzdxDxyDyDzx亠 11X(1 -X - y)dxdy 亠 i 丨 y(1 -z - y)dydz 亠 ij z(1 -x - z)dzdxDxyD yzDzx由于Dxy , Dyz和Dzx都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故Tilxydydz十yzdxdz十zxdxdy=3 Hx(1_x_y)dxdy hsfxdxfdd x yjdy-1。 斗D'勺8y3把对坐标的曲面积分I I P(x,y,z

40、)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdyX化成对面积的曲面积分，这里匕为平面3x 2y 2、3z =6在第一卦限的部分的上侧。解 平面三的上侧的法向量为n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是3-22 ,-cos,cos,cos3,555于是i iP(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x,y,z)dxdyX=P(x, y,z)cos 二日 Q(x, y,z)cos 一： R(x,y,z)cos dS y=3P(x,y,z) 2Q(x,y,z) 2'空 R(x, y,z)dS习题9.61利用高斯公式计算下列曲面积分:(1) L (x - y

41、)dxdy x(y -z)dydz,其中匕为柱面 x2 y2 =1 及平面 z = 0及 z = 3所围成的空间闭区域 门的整个边界曲面的外侧。(高等数学P170例1)解 这里P=x(y_z)， Q=0，R=x-y，由高斯公式得沪rQFR(x -y)dxdy x(y -z)dydz 二 ()dxdydz2笄1二 (y -z)dxdydz 二 ° dr °rdr Qx：:y:z390 (r sin v - z)dz 二(2) (y -z)dydz (z-x)dzdx (x - y)dxdy，其中匕为曲面 z x2 y2 及平面z=0、z = h(h 0)所围成的空间区域的整个

42、边界的外侧。解 这里P=y-z , Q=z-x , R=x-y，用高斯公式来计算，得0(y -z)dydz (z -x)dzdx (x -y)dxdyQ M)dv 二(0 0 0)dv =0,y工 门解 平面三的上侧的法向量为n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是解 平面三的上侧的法向量为n =(3,2,2 . 3)，其方向余弦是其中|是曲面z=： f 及平面z=h(h 0)所围成的空间闭区域.(3)11 (x2 cos：亠 y2 cos ： z2cos )dS，其中 i 为锥面 x2 y2 = z2 介于平面yz =0、z = h(h 0)之间的部分的下侧，cos、cos：、cos 是二

43、在点(x, y,z)处的法向量的方向余弦。解这里P=x , Q=y , R = z，由高斯公式得(x2cos/y2 cos,，1 z2 cos )dS = )dxdydz-.x 衣；：z3r:h 。2 hh=2 11 i(x y z)dxdydz =2 0 d j 0 rdr 0 (r cost r si nr z)dz 二2利用高斯公式计算三重积分iii(xy yz zx)dxdydz,Q其中门是由x_0 , y_0, 0空z空1及x21所确定的空间闭区域。解如下图所示，的边界由闭曲面所围成，取2的外侧。令P =Q =R =xyz,那么由高斯公 式得iii(xy yz zx)dxdydzQ=

44、7/ xyzdydz 十 xyzdzdx+xyzdxdy。4xyzdydz 二 xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz亠 11xyzdydz51在yOz面上，只有13和15的投影面积不为零，其它都为零。11xyzdydz 二 xyzdydz 11xyzdydz二 0，j211 xyzdydz 二 0 yzdydz 二 0 , 殳Dyzxyzdydz 二 1 - y2 yzdydz = ° . 1Dyz21 1-y y czd6，111 xyzdydz 二+ 6同理可得L1f f xyzdzdx =，左6所以11二。41 1iii (xy yz

45、 zx)dxdydz =Q6 63利用斯托克斯公式计算下列曲线积分:(1) (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz，其中 L 为平面 x y z=1 与三个 坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面x y z=1上侧的法向量之间符合右手规则;解由斯托克斯公式得n 222222L(y z)dx(z x) d y ( x ) d z二(2y -2z)dydz (2z -2x)dzdx (2x -2y)dxdyy其中匕是平面x y(x _0,y _0,z _0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得11_y(2y2z)dydz二(2y-2z)dydz = °dy。(2y-2z

46、)dz=0，1D；L L11 _z(2z-2x)dzdx二(2z -2x)dzdx = 0dz o (2z-2x)dx=0， i©11 _x(2x -2y)dxdy 二(2x -2y)dxdy = dx o (2x -2y)dy =0 , i©''2 2 2 2 2 2If (y +z)dx+(z +x )dy+(x +y)dz=O。(2) Q(z-y)dx (x-z)dy (y-x)dz，其中 L 为以点 A(a, 0, 0)、B(0, a,0)C(0,0, a)为顶点的三角形沿 ABCA的方向。解由斯托克斯公式得(z y)d 才(k z dp(予)x d

47、 zii2dydz 2dzdx 2dxdy其中匕是平面x y(x亠0, y亠0,z亠0)，取上侧。由曲面积分的计算法，得1 ii2dydz 二 2dydz=2 a2 二a2 , 壬D；21 2 2i i2dzdx 二 2dzdx =2a 二 a ，tDz：21 2 2*2dxdy 二 2dxdy =2a 二a，iDx；2|2（y2 + z2） d对（z+ 旬 d申（2# 2y dB a习题9.71若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。解法1设球面方程为x2 y2 - z2 =a2，定直径选在z轴，依题意，球面上点P(x,y,z)的密度为：?（x, y,zx2

48、y2，从而球面的质量为 M = （x2 y2）dS .由对称性可知Z2222M = （x y ）dS =2 （x y ）dS ,其中为上半球面z = a2 x y2z _-xx a2 x2 y2：y adS = |1 +（- 2 f ）2+（r2 ）2）2dxdy22 2 2 22 yja -x -y 寸a -x -y-a2 咋，a -x - y其中Dxy =( x, y)|x2y2乞a2是二在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得22!（x y ）dS =2a y23rra rdrdr =4二 adr，0 -0 2 2-02 2Pa -rVa -r2 二.aa r3_22

49、 dr是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得.a r3a0 ：一2a2 -rdr_2£-3 ，的密度为Q（x, y,z） =x2 y2，从而得球面的质量为M二（x2 y2）dS，由轮换对称性可知:Xx2dS 二 y2dS 二 z2dS，故有x y y4M =- （x2 y2 z2）dS 厶2 dS =?a2 4二a2 二8 2 2 2Z ： x2 y_ a2( 0_ z _ h )3卡3 叮 332设某流体的流速为 v = （yz,zx,xy）,求单位时间内从圆柱的内部流向外侧的流量（通量）。解通量：- yzdydz 亠zxdzdx 亠xydxdy = Odxdydz =0。2 2 23求向量场v = (x yz, y zx, z xy)的散度。解这里 P = x2 yz,Q = y2 zx, R = z2 xy，故 divv =王卫壬=2(x y z)。exdy dz4求向量场A - -y i x j c k （ c为常数）沿有向闭曲线L： z",（从 z轴的正向看L依逆时针方向）的环流量。 解设所求的环流量Q,则Q =|Jl( -y)dx xdy c