有限元法基础-9杆系结构力学问题

1、第九章 杆件结构力学问题 9.1 结构单元概论9.2 等截面直杆-梁单元9.3 平面杆件9.4 空间杆件9.5 小结19. 杆件结构力学问题 本章要点本章要点l结构单元的力学假设结构单元的力学假设l经典梁单元和经典梁单元和Timoshenko梁单元梁单元l平面杆系和空间杆系的单元矩阵和向总体坐标的转换平面杆系和空间杆系的单元矩阵和向总体坐标的转换有限元法基础29. 杆件结构力学问题 关键概念关键概念 结构单元结构单元 C C1 1连续连续 经典梁理论经典梁理论 Timoshenko梁理论梁理论 平面杆系平面杆系 空间杆系空间杆系 剪切自锁（剪切自锁（shear locking) )有限元法基础

2、39.1 结构单元概论l结构单元结构单元 杆梁单元杆梁单元 板壳单元板壳单元特点：特点：1 1）在一个方向或二个方向上的几何尺度远小于其他）在一个方向或二个方向上的几何尺度远小于其他方向；方向；2 2）引入一定的假设，相应简化为一维或二维问题。）引入一定的假设，相应简化为一维或二维问题。有限元法基础结构单元结构单元49.1 结构单元概论l使用实体单元计算结构问题，理论上是可行的使用实体单元计算结构问题，理论上是可行的引起的问题引起的问题1 1）如果划分网格适应结构特点，使单元的一个方向）如果划分网格适应结构特点，使单元的一个方向或两个方向的尺度比其他方向小很多，将使单元刚度或两个方向的尺度比其

3、他方向小很多，将使单元刚度系数差异过大，影响求解精度系数差异过大，影响求解精度2 2）保持单元各个方向的尺度接近，将导致单元总数）保持单元各个方向的尺度接近，将导致单元总数过分庞大过分庞大有限元法基础59.1 结构单元概论l例：一由三个弹簧单元组成的系统，单元刚度为例：一由三个弹簧单元组成的系统，单元刚度为K K1 1K K2 210105 5，K K3 31 1，施加于节点的轴力为，施加于节点的轴力为P P2 20 0，P P1 1P P3 31 1。利用。利用5 5为有效数字的算法求解位移。为有效数字的算法求解位移。有限元法基础69.1 结构单元概论系统平衡方程系统平衡方程有限元法基础11

4、111122222233300KKuPKKKKuPKKKuP79.1 结构单元概论代入数据代入数据高斯消去法求解高斯消去法求解有限元法基础12310000010000001100000200000100000001000001000001uuu 12310000010000001010000010000010002uuu 求解失败求解失败100000110000089.1 结构单元概论解决办法解决办法 1）提高计算有效位数）提高计算有效位数 有限元法基础12310000010000001100000200000100000001000001000011uuu 12310000010000001

5、010000010000010012uuu 1232.000022.000012.00000uuu99.1 结构单元概论2）相对自由度方法）相对自由度方法(relative DOF)令令代入有限元方程代入有限元方程 有限元法基础1112213313000000KPKPKuPP121232uuuu 112233111011001uuuu1230.000010.000012.00000u 1232.000022.000012.00000uuu109.1 结构单元概论3）主从自由度方法（）主从自由度方法（master-slave DOF） 分析系统的特点，由于分析系统的特点，由于 ，近似地认为，近似

6、地认为将将u3作为主自由度，其他为从自由度。只需对作为主自由度，其他为从自由度。只需对u3 进进行建立平衡条件行建立平衡条件由于假设产生了误差。由于假设产生了误差。有限元法基础1232.0uuu123KKK123uuu3313K uPP119.1 结构单元概论l基于主从自由度原理的梁单元和板壳单元基于主从自由度原理的梁单元和板壳单元 结构力学中的梁理论和板壳理论引入变形假设实际结构力学中的梁理论和板壳理论引入变形假设实际上正是应用了主从自由度的原理，将问题归结为中上正是应用了主从自由度的原理，将问题归结为中面位移。面位移。l基于相对自由度的梁单元和板壳单元基于相对自由度的梁单元和板壳单元 这类

7、单元这类单元 本质上是二维、三维实体单元，为使中本质上是二维、三维实体单元，为使中面法线变形后保持直线，沿厚度方向只设置两个节面法线变形后保持直线，沿厚度方向只设置两个节点，其中一个保持原来意义上的自由度，另一个节点，其中一个保持原来意义上的自由度，另一个节点的自由度用它与上述节点的相对位移来代替。点的自由度用它与上述节点的相对位移来代替。 有限元法基础129.2 等截面直杆-梁单元一一. 杆单元杆单元 承受轴向拉压载荷，并只经历轴向拉压变形的细承受轴向拉压载荷，并只经历轴向拉压变形的细长构件，称为杆（长构件，称为杆（Rod）。）。 假设：应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线假设：应力在截面上

8、均匀分布，原来垂直于轴线的截面变形后仍然垂直于轴线。的截面变形后仍然垂直于轴线。 有限元法基础139.2 等截面直杆-梁单元l直杆的基本方程直杆的基本方程 几何关系几何关系 本构方程本构方程 平衡方程平衡方程 端部条件端部条件 有限元法基础xdudxxxduEEdx22()( )( )xdd uAf xorAEf xdxdxxuuorAP149.2 等截面直杆-梁单元l最小势能原理最小势能原理 有限元法基础200( )( )2llpjjjEA duudxf x udxPudx159.2 等截面直杆-梁单元l单元列式单元列式位移插值函数位移插值函数 其中其中NN1,N2,Nn, qeu1,u2,

9、unT坐标变换坐标变换2 2节点单元节点单元3 3节点单元节点单元 有限元法基础1neiiiuN uNq122()2ccxxxxxl1211(1),(1)22NN212311(1),1,(1)22NNN 169.2 等截面直杆-梁单元单元矩阵单元矩阵 由变分原理变分取驻值，得有限元方程由变分原理变分取驻值，得有限元方程其中其中 有限元法基础KqQeeeeeeK =KQQqq1011012( )( )2TTleTTleddEA ddEAdxddxdxlddlf x dxf xd NNNNKQNN179.2 等截面直杆-梁单元二二. .扭转单元扭转单元 几何关系几何关系 本构关系本构关系 平衡方程

10、平衡方程 端部条件端部条件 一般一般 m(x)0，在端部给定扭矩，在端部给定扭矩M。 有限元法基础xddxxdMGJGJdx22( )xddMGJm xdxdxxxorMM189.2 等截面直杆-梁单元最小势能原理最小势能原理设转角的插值函数为设转角的插值函数为单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有限元法基础200()( )2llxpxxdGJdxm xdxdx1nexixiiNNq1212,eTnxxxnN NNNq112TeGJdddldd NNK199.2 等截面直杆-梁单元l扭转单元的限制扭转单元的限制 1 1）采用自由扭转理论，截面在变形后依然保持平）采用自由扭转理论，截面在变形后依然保持平面

11、，这只适用于圆截面情形；面，这只适用于圆截面情形； 2 2）在约束扭转时，截面将发生翘曲，需引入翘曲）在约束扭转时，截面将发生翘曲，需引入翘曲修正因子；修正因子； 3 3）只有在截面有两个对称轴时，如圆、椭圆矩形，）只有在截面有两个对称轴时，如圆、椭圆矩形，截面才是绕形心转动。截面才是绕形心转动。 有限元法基础209.2 等截面直杆-梁单元三三. .梁单元梁单元 有限元法基础：变形前垂直于中心线的截面，变：变形前垂直于中心线的截面，变形后仍保持为平面，且垂直于中心线。形后仍保持为平面，且垂直于中心线。219.2 等截面直杆-梁单元l基本方程基本方程 几何方程几何方程 本构关系本构关系 平衡方程

12、平衡方程 端部条件端部条件 有限元法基础22d wdx 22d wMEIEIdx 33dMd wQEIdxdx 44( )dQd wEIq xdxdxwworQQdworMMdx229.2 等截面直杆-梁单元l最小势能原理最小势能原理本质边界条件：位移端部条件本质边界条件：位移端部条件自然边界条件：力的端部条件自然边界条件：力的端部条件 有限元法基础22200( )( )2llpjjkjkkEId wdwwdxq x udxP wMdxdx端部条件端部条件本质边界条件本质边界条件自然边界条件自然边界条件简支简支固定固定自由自由wwMM,xwwwQQMM239.2 等截面直杆-梁单元l单元列式单

13、元列式 梁弯曲是梁弯曲是C C1 1类问题，采用类问题，采用Hermite插值插值 有限元法基础22401111( )( )( )( )eiiiiiiiiiwHwHNq Nq12341122,Teiidw= N NNN= wwdxNq(0)23(1)231121(0)23(1)2332221 32(2)32()NHNHlNHNHl 101xxl249.2 等截面直杆-梁单元l将插值函数代入泛函，由将插值函数代入泛函，由 得到有限元方程得到有限元方程l单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 有限元法基础0p KqQ22221322302212612664621261266264TellllllEIddEI

14、dlllddlllll NNK10()()TeTTkkjjjkdMqldPdlNQNN259.2 等截面直杆-梁单元4.4.考虑剪切变形的梁单元考虑剪切变形的梁单元 经典梁理论只适用于细长梁，经典梁理论只适用于细长梁，即梁高远小于跨度。即梁高远小于跨度。 有限元法基础l 变形假设变形假设 变形前垂直于中线的截面，变形前垂直于中线的截面，变形后仍然保持平面，但不再变形后仍然保持平面，但不再垂直于中线。垂直于中线。269.2 等截面直杆-梁单元l剪切变形剪切变形l曲率与转角的关系曲率与转角的关系l最小势能原理最小势能原理 有限元法基础dwdxddx 22000( , )( )22lllpjjkkj

15、kEIkGAwdxdxq x udxP wM折剪系数折剪系数279.2 等截面直杆-梁单元l关于折剪系数关于折剪系数 由于变形假设，剪应力在截面上为常数，由于变形假设，剪应力在截面上为常数，但是，实际情况剪应力不是均匀分布的，但是，实际情况剪应力不是均匀分布的，而是按抛物线分布。因此需引进校正因子，而是按抛物线分布。因此需引进校正因子，剪力和剪应变的关系为剪力和剪应变的关系为k的值因截面形状的不同而异，一般按能量等效的方的值因截面形状的不同而异，一般按能量等效的方法计算，即简化后的剪切应变能与实际剪应力和剪应法计算，即简化后的剪切应变能与实际剪应力和剪应变分布计算的应变能相等。变分布计算的应变

16、能相等。 有限元法基础QkGA59 610kk， 圆矩矩形形截截面面形形截截面面289.2 等截面直杆-梁单元l单元列式单元列式位移插值位移插值单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有限元法基础11,nniiiiiiwN wN11111212220eeebseTeTbbbsssbbbbnssssniibisiiEIlkGAldddNdNNdxdxKKKKB BKB BBBBB BBBBBB299.2 等截面直杆-梁单元载荷项载荷项其他矩阵的定义其他矩阵的定义 有限元法基础110()()002jeTTTjkjkkqpldM QNNN12112200niiiTennNNwwwNNNNNq309.2 等截面直杆

17、-梁单元l剪切自锁（剪切自锁（Shear locking） 以以2 2节点单元为例，有节点单元为例，有 有限元法基础121211(1)(1)222()112icNNxxxxxl 22221122232611222623esllllllkGAlllllllK精确积分：精确积分：2个积分点个积分点矩阵秩为矩阵秩为2319.2 等截面直杆-梁单元注意注意: : 是梁高是梁高h的的3 3次函数次函数 是梁高是梁高h的的1 1次函数次函数当当 时，并且时，并且 是非奇异的是非奇异的 有限元方程有限元方程 零解零解解决办法解决办法 有限元法基础esKebK/0h l sK“剪切自锁剪切自锁”现象现象（1

18、1）减缩积分）减缩积分（2 2）假设应变）假设应变329.2 等截面直杆-梁单元（1 1）减缩积分）减缩积分 2 2节点单元对节点单元对 使用使用1 1点积分点积分 使用使用1 1点积分点积分 有限元法基础22221122242411222424esllllllkGAlllllllKesKebK矩阵秩为矩阵秩为1339.2 等截面直杆-梁单元产生原因产生原因 2 2节点单元的剪应变节点单元的剪应变当当 , ,要求要求 有限元法基础/0,0h l21122111()()021()02wwl第一式表示转角与挠度的关系第一式表示转角与挠度的关系第二式导致转角相等，不能表示弯曲变形第二式导致转角相等，

19、不能表示弯曲变形 211221111()()()22dwwwdxl 349.2 等截面直杆-梁单元（1 1）假设应变）假设应变 由于直接导出的剪切应变可能不正确，因此，重由于直接导出的剪切应变可能不正确，因此，重新假设剪应变新假设剪应变并令并令 有限元法基础1( )miiiN 1( )()( )jjmijjiiiidNdwwNdxdx 插值点取在应变计算比较准确的点上，一般插值点取在应变计算比较准确的点上，一般在应力最优点上，如在应力最优点上，如2 2节点单元去在形心点处，节点单元去在形心点处，3 3节点单元取节点单元取2 2点点GaussGauss积分点上。积分点上。359.2 等截面直杆-

20、梁单元例：计算悬臂梁问题例：计算悬臂梁问题 使用一个单元计算使用一个单元计算（1 1）经典梁单元）经典梁单元 有限元法基础110w22321260640wlPEIllMl22323MlEIwPlEI弯曲情况剪力情况369.2 等截面直杆-梁单元（2 2）Timoshenko梁单元梁单元纯弯曲纯弯曲 有限元法基础220223kGAkGAwlkGAkGAlEIMl220224kGAkGAwlkGAkGAlEIMl减缩积分减缩积分精确积分精确积分22225211MlwlEIh222MlwEI22112511xMllEIlh12xMllEI379.2 等截面直杆-梁单元（2 2）Timoshenko梁

21、单元梁单元剪切力剪切力 有限元法基础222023kGAkGAwPlkGAkGAlEIl 222024kGAkGAwPlkGAkGAlEIl 减缩积分减缩积分精确积分精确积分2232223(1)153514(1)hlPlwEIlh32224(1)145PlhwEIl/0,h l 罚因子罚因子误差误差25389.3 平面杆系l 特点特点（1）平面杆系受力状态）平面杆系受力状态 a）横向弯曲）横向弯曲 b）沿轴向的拉压）沿轴向的拉压（2）在局部坐标下）在局部坐标下 平面杆单元梁单元受轴向力杆单元平面杆单元梁单元受轴向力杆单元（3）平面杆系单元通过坐标转换）平面杆系单元通过坐标转换 单元坐标单元坐标

22、总体坐标总体坐标 坐标转换坐标转换 有限元法基础399.3 平面杆系l单元刚度矩阵单元刚度矩阵l例：例：2 2节点单元刚度矩阵节点单元刚度矩阵 有限元法基础Tiiiiuwq12Tenqqqq11121222nnennSymmKKKKKKK( )( )00aijeijbijKKK3232232000012612604620001264eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIlllEAlEIEISymmllEIlK409.3 平面杆系l坐标变换坐标变换 总体坐标系总体坐标系 单元坐标系单元坐标系 单元坐标与总体坐标的单元坐标与总体坐标的夹角为夹角为 ，方向余弦为，方向余弦为 有限元法基础

23、xzxzcos( , )coscos( , )sincos( , )sincos( , )cosxxxzzxzzlx xlx zlz xlz z 419.3 平面杆系节点节点DOF的转换关系的转换关系 有限元法基础cossinsincosiiiiiiuuwwuw 0cossin0sincos0001iiiiiiiiiuuuwww 000eeeqqq 429.3 平面杆系总体坐标下的刚度矩阵总体坐标下的刚度矩阵 有限元法基础eTeeTeKKQQ 0100TTeeTeeTqqqq 439.3 平面杆系l铰节点的处理铰节点的处理 铰接的特点铰接的特点：在铰接处的所有节点位移相同，转：在铰接处的所有节

24、点位移相同，转 动不同，不承受弯矩动不同，不承受弯矩 处理办法处理办法：在集成总体刚度矩阵前将相关转动：在集成总体刚度矩阵前将相关转动 DOF DOF凝聚，不与其他单元的刚度矩阵集成。凝聚，不与其他单元的刚度矩阵集成。 有限元法基础cq449.3 平面杆系 有限元法基础459.3 平面杆系如图如图2 2的一个端点与刚架铰接的一个端点与刚架铰接 单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 为与为与4 4节点连接的铰接节点连接的铰接DOFDOF 由第二组方程得由第二组方程得 有限元法基础00000eeecccccc KKqQKKqQcq100()cccccqKQK q469.3 平面杆系凝聚后的方程组凝聚后的方

25、程组有限元法基础*0*1000*100ccccccccK qQKKK KKQQK K Q323*223235 5000333003330000033300EAEAllEIEIEIlllEIEIEIlllEAEAllEIEIEIlllK为了编程方为了编程方便，凝聚后便，凝聚后的刚度矩阵，的刚度矩阵，仍以零元素仍以零元素补充为补充为6X6的矩阵的矩阵479.4 空间杆系空间杆系的受力特点空间杆系的受力特点1 1）两个方向的弯曲）两个方向的弯曲2 2）沿轴向的拉压）沿轴向的拉压3 3）绕轴线的扭转）绕轴线的扭转有限元法基础力和平移力和平移力矩和转动力矩和转动单元坐标和总体坐标单元坐标和总体坐标坐标转

26、换关系坐标转换关系1 1）3 3个角度定位个角度定位2 2）9 9个方向余弦个方向余弦489.4 空间杆系l空间杆单元空间杆单元 每节点有每节点有6 6个个DOFDOF，分别对应，分别对应3 3个平移和个平移和3 3个转动个转动单元刚度矩阵中的截面几何常数：单元刚度矩阵中的截面几何常数：截面面积截面面积 A xz面内的惯性矩面内的惯性矩 Iyxy面内的惯性矩面内的惯性矩Iz 绕绕x轴的扭转惯性矩轴的扭转惯性矩 Ix翘曲常数翘曲常数 扭转常数扭转常数有限元法基础TiiiixiyiziTixiyizixiyiziuvwNNNMMMqQ499.4 空间杆系l空间杆单元空间杆单元 每节点有每节点有6 6个个DOFDOF，分别对应，分别对应3 3个平移和个平移和3 3个转动个转动单元刚度矩阵中的截面几何常数：单元刚度矩阵中的截面几何常数：截面面积截面面积 A xz面内的惯性矩面内的惯性矩 Iyxy面内的惯性矩面内的惯性矩