在尝试中培育理性之花

1、.;在在 尝尝 试试 中中 培培 育育 理理 性性 之之 花花 函数的表示法(第二节课)教学实录及反思浙江省洞头县第二中学/陈展（325701）教学背景教学背景高中数学第一册 （上） 第二章中函数表示法的教材内容是函数的三种表示法和根据实际问题中的条件列函数解析式的训练， 尤其以分段函数模型为主，课时为一节。这对于我校（普通中学）高一学生来说很难在课堂教学中得到理性思维的训练和培养。根据新课程的精神，教科书具有一定的开放度和机动性， 教师在合理安排课程计划和课程内容的基础上，可以对教材进行开发和选择。为此我设计了这节以理性思维体验为主的研究课， 内容是普通函数解析式的求法。设计目标设计目标1.

2、学生通过本课程学会运用定义法、换元法、待定系数法求函数解析式。2.注重学生理性思维的体验和创造能力的培养，体现课堂是学生个体探索和研究的场所，课程是理论和实际相结合的桥梁。教学流程教学流程一、一石投水，泛起涟漪一、一石投水，泛起涟漪师：已知函数 f(x)=2x-1，请同学们试求 f(x+1)的值。生：f(x+1)=2x+1。个别学生算错了，我及时予以纠正。师： 若上题修改为 已知 f(x+1) =2x+1， 求 f(x)的解析式（引例），同学们能解吗？沉 默 了 一 会 儿 ， 有 学 生 嘀 咕 ： 不 就 是f(x)=2x-1？师：很对，你知道是怎么求出的么？生：黑板上写着那！师：那么，事

3、先没有写出来你能算出么？学生皆不语。师：请同学们观察我的解题过程：(板书)f(x+1)=2(x+1)-1，f(x)=2x-1。生(齐)： x+1 怎么会与 x 相等呢？如果 x+1=x，那么 1=0 这行么？学生的这个结论让我多少有点意外。毕竟我有多年的教学经验，抓住了这个机会。师：1=0 当然是不对的，换种方式相信同学们就会明白了。令 x+1=t，则有 f(t)=2t-1，由于替换充当自变量的字母并不会改变函数关系， 因此， t可以换成 x，那么就有 f(x)=2x-1。生：不是一样吗？x+1=t=x，还是 x+1= x！我一看这样解释不行，也感到不可思议。但是一时又不知如何说起，于是认真地

4、观察了这个式子，我发现了其中的端倪。师：式子 x+1=t=x 是没有依据的，t 与 x 的关系纯粹是字母替换，而非等量代换，x+1=t 才是等量代换。一位学生欲言又止，我示意他大胆发言。生： 老师， 令 x+1=t 也可以求解析式， 但是师：你说吧！生：令 x+1=t，则有 x=t-1，f(t)=2(t-1)+1=2t-1只是结果与你的对不上。生：哎呀，用 x 替换 t 不就成了！师：的确不错，我的解法是整形后的整体替换求解析式我们称之为定义法。这位同学的解法既然是从换元开始，我们就称它换元法怎么样？我顺水推舟地说。学生们显得很兴奋。于是我提议学生用两种方法尝试求函数解析式，板书习题 1：若

5、f( x +1)=x+2 x ，求 f(x)的解析式。二、一波三折，引人入胜二、一波三折，引人入胜学生们在忙碌地解答问题， 我请两位学生分别板书两种解法：换元法：令 t= x +1 则 x=t21,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1f(x)=x2-1定义法：x+2 x =( x +1)2-1 f( x +1)=( x +1)2-1f(x)=x21师：同学们觉得这两位同学的解题过程如何？生(齐)：都对。师：这么肯定？没有要补充的吗？在引例中我没有提及定义域的问题， 因此学生对解析式的定义域都没有注意。 这时一位学生举手表示有补充的，我以为学生看到了这个问题，因此鼓励她大胆

6、发言。生：我认为此题还可以这样解：x+2 x = x ( x +2)=（ x +1-1）( x +1+1)学生虽然没有解决我想解决的问题， 但是解法正确，体现了新的思维方式。师：想法不错，可谓有异曲同工之妙，不过结果却是 一 样 的 。 请 同 学 们 比 较 一 下 式 子f( x +1)=x+2x 中的 x 与式子 f(x)=x21 中的 x.;在取值上有何不同。生：前式中含有根式，而求出的解析式中没有根式，说明 x 取值范围扩大了，应该给予限制。师：同学们想想看，应该怎样限制？生：这很简单，原式子中含有根式可以得出x0，根据前后式子的一致性， 求出的解析式中也应规定x0。我突然觉得这简直

7、不可思议， 一致性？什么一致性？我发现学生的这种思维过程值得研究。师：你这一致性是从什么地方得到的？生：从第一个例子得出的吗！例子的前后两式中 x 取值范围都是一切实数， 不是一致吗？这个例子中又都是 x，不也是一致吗？生(齐)：对哪！师：可是事实上，后式的 x 并非前式的 x，而是替换前式中的（ x +1），因此取值范围显然不是x0，而应该是x1 才对。这个例子说明求解析式还要记得求定义域。师：现在请同学们完成习题 2：（板书）若 f(1x)=x1-x求 f(x)。起初，我以为学生会采用换元法,但是生：老师，这个题目可以这样做，因为x1-x=11-xx=1（1x-1），然后将1x用 x 来替

8、代即可。这一招可让我傻眼了。学生居然采用了小学数学中的求倒数知识， 这使我对学生的理性思维定位有些难，我稍做了自我调整。师：这位同学想法不错，但是这样似乎太烦琐了，这样得出的结果还要整理。哪位同学能对这种解法进行改进。生：采用换元法吧。师：我同意这种观点，但是我们不能否认刚才那位同学的方法可以简化。事实上，我们仅需将等号右式的分子分母同时除以 x 或同时乘以1x， 即可得出x1-x=11x-1， 然后用x替换1x， 有f(x)=1x-1，这样的结果就无需整理。 请同学们思考它的定义域应该是什么？生：从前式中含有分式可以得出 x0，从后式中可以得出 x1。但是前式中的 x 与后式中的 x 并不具

9、有一致性可知定义域为 x1。生：这样说法好像不对。既然分子分母同时除以 x 或乘以1x是以 x0 为条件的， 那么11x-1中的1x显然不等于 0，替换为 x 时当然也不等于 0，这样不是又具有一致性了吗？师： 同学们对定义域分析的很透彻， 的确是 x0且 x1，至于一致性则仅是一种计算的巧合。生：我可以对习题中的自变量 x 取值范围另行限制吗？师： 可以呀， 请同学们课后自己进行一下尝试，就算是今天的一个思考题吧。 接下来请同学们思考能否用定义法与换元法解决下面的问题：（板书）已知 f(x)=ax+b,且 af(x)+b=ax+8 ，求f(x)的解析式。三、积极探索、走向理性三、积极探索、走

10、向理性学生思考了片刻，有一学生发言。生：题中既无采用定义法的必要，也没有东西可以换元，应该是不行。其他同学亦表示赞同。师：同学们观察仔细，结论也很有逻辑性。对于这个解析式，我们仅需确定其中的系数 a 和常数b 即可，这种求函数解析式的方法可称之为待定系数法。我在黑板上进行板书与讲解（略）。师：请同学们试做习题 3：（板书）已知 f(x)是一次函数, 且 ff(x)=4x1,求 f(x)的解析式。一位学生板书解题过程如下：设 f(x)=kx+b，则 k(kx+b)+b=4x1k2x=4x(k+1)b=-1解得k=2b=-13或k=-2b=1f(x)=2x-13或 f(x)= 2x+1师：这位同学

11、的解题过程如何？生：不错，就是 k2x=4x 与老师写得不太一样。生：这有什么关系，反正 x 会约去，我倒觉得f(x)=kx+b 后面应该添上 a0。其他学生对这两位学生的说法显然有不同的看法，开始讨论起来。师：还有其它看法吗？说出来与大家共享。生： 我们认为 k2x=4x 不仅仅是与老师写的不太一样，而且答案也会不同。这个问题我还没有深入研究过，很是诧异。她看了看我，我示意她继续说下去。生：x 是自变量，如果取 x=0，那么就有 0=0，.;这样 k 的取值范围不就扩大了吗？师：精彩，同学们如果认同老师的意见，就给这位同学鼓励一下。(学生热烈鼓掌)师：最后，请每桌的两位同学自行拟一道采用待定

12、系数法解的题， 在老师指正后作为今天自己的作业。学生讨论，教师参与指正。四、四、学生部分成果收集及教师评语学生部分成果收集及教师评语（杨志飞）f(x)是一次函数，且 ff(x)=x-2，求f(x)的解析式。(实物投影)此题仅有一解。（陈忠杰）已知 f(x)=ax+b，且 ff(x) =ax+6，求f(x)的解析式。(实物投影)此题隐含 a 可以等于 0。（南节） 已知 f(x)=ax+b, 且 ff(x)=16x-15, 求f(x)的解析式。 (实物投影)此题中的 a 却未必等于 0。（郭雷鸣）f(x)是一次函数，且 ff(x)=x3-2，求f(x) 的解析式。 (实物投影)此题中 f(x)是

13、一次函数，x3次数就过高了，编题有误。（张乐琼） 已知 f(x)=ax2+b, 且 ff(x)=4x+8, 求f(x)的解析式。 (实物投影) 此题中 f(x)是二次函数，4x 次数就过低了，编题有误。（南 伟） 已知 f(x)是一次函数, 且 ff(x)=6x1,求 f(x)的解析式。（潘浩敏） 已知 f(x)是一次函数, 且 ff(x)=5x+4,求 f(x)的解析式。（ 陈元 ） 已 知 f(x) 是 二 次 函 数 ， 满 足f(1+1x)=1x+x2+1x2，求 f(x)的解析式。此题不能采用待定系数法。（王玲莉）f(x)是一次函数，且 ff(x)=2x-2，求 f(x) 的解析式。

14、（林千琪）已知 ff(x)=2x-2，求 f(x)的解析式。由于对 f(x)没有定义，不是完整的题。（ 陈 泽 励 ） 已 知 f(x) 是 正 比 例 函 数 ， 且ff(x)=9x，求 f(x) 的解析式。有创意。（郑银玲）已知 f(x)=ax+b，且 af(x)+b=ax+2，求 f(x) 的解析式。解中隐含有 a 可以等于 0。（潘丹丹）f(x)是一次函数，且 ff(x)=3x+7，求 f(x) 的解析式。数据不太理想，计算麻烦。（蔡孟丽） f(x)是二次函数， 且 ff(x)= x2+3x-2，求 f(x)的解析式。条件 f(x)是二次函数，且出现ff(x)，这样计算过于复杂，建议两

15、者改其一。（陈程）已知 f(x)=ax+b 是一次函数，且ff(x)=a2+6，求 f(x)的解析式。题中 ff(x)=a2+6 会使 a=0，这样题目两个条件就自相矛盾。（侯晓丹）f(x)是二次函数，且 f(2x-3) = 7x2-1，求 f(x)的解析式。（陈小海）已知 f(x)=x2+c，且 ff(x) = f(x2+1)，设 g(x)= ff(x)，求 g(x)的解析式。构思比较巧，但与待定系数法不太吻合。（游秀爱）已知一次函数 f(t)=at+b，则 af(t)+2b=at-6。求 f(t)的解析式。教学反思教学反思这是一节很普通的课，但多次的思维碰撞却使这堂课显得妙趣横生。 学生在

16、课堂上尽情绽放理性思维的火花，理解能力、思维能力、学习兴趣明显得到提高。 课后， 学生留给我最深刻的一句话： “老师，我终于觉得学数学有点意思了。”真正的学习惟有在帮助学生建构同其实际需求与兴趣、能力相应并关联的知识时才会发生。新课程在知识水平上可以说达到相当严密、完整、系统、权威的程度，但是由于教学要求与普通中学学生的主观世界和内心体验相距较远而无助于他们的发展， 甚至较难保证这些知识在相应的课时内真正为学生理解和掌握。在函数表示法的课时内，普通中学的学生可以理解分段函数的建模意义， 但是对于教材安排的练习却束手无策， 显示普通中学学生在理性思维方面的严重缺陷。因此，我不得不经常在课程之外补充教材以弥补这方