第十二章机械振动

1、 主要内容：简谐振动的规律、描述简主要内容：简谐振动的规律、描述简谐振动的物理量、简谐振动的合成。谐振动的物理量、简谐振动的合成。一、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动12-1 12-1 简谐振动简谐振动 简谐振动是最简单的周期性振动，又是最基简谐振动是最简单的周期性振动，又是最基本的振动；一切复杂振动是简谐振动的叠加。本的振动；一切复杂振动是简谐振动的叠加。oxmakxF22dtxdmkx mk20 xdtxd222tcosAx二、简谐振动规律二、简谐振动规律tcosAdtdva2tsinAdtdxvxdtxd2222tcosvmtcosamtx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttA

2、AOOOTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa三、简谐振动的速度与加速度三、简谐振动的速度与加速度 质量为质量为m的物体悬挂与轻弹簧下端，不计空气阻的物体悬挂与轻弹簧下端，不计空气阻力，试证物体在其平衡位置附近作简谐振动。力，试证物体在其平衡位置附近作简谐振动。A AlxO-k(x+l)mg以平衡位置以平衡位置A为原点，向下为原点，向下为为x轴正向。设某一瞬时振子的轴正向。设某一瞬时振子的坐标为坐标为x，则物体的运动方程为：则物体的运动方程为：解：解：mg) lx(kdtxdm22由于由于0klmgkxdtxdm22令令：mk20222

3、xdtxd回复力：回复力：-k(x+l)+mg为准弹性力为准弹性力四、竖直弹簧振子四、竖直弹簧振子 则则0dtd222结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。gl22Tlg00当当 时时sinsinmgF五、微振动的简谐近似五、微振动的简谐近似 mgfTCO222dtdmllmma质点受力质点受力l/g2角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：mgFmg12-2 12-2 描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量)tcos(Ax1 1、振幅、振幅简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。)tsin(

4、Av00vv,xx,0t初始条件初始条件cosAx0sinAv02200vxA)(00tanxv频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2 2、周期、频率、圆频率、周期、频率、圆频率对弹簧振子：对弹簧振子：T/1角频率角频率 ：2T/2km2Tmk21mk固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。/2T 单摆单摆gl2Tlg21lg3 3、位相和初位相、位相和初位相 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态t)tcos(Ax 是是t =0 时刻的位相时刻的位相 初位相初位

5、相cosAx0sinAv0t =0 时时初位置在平衡位置初位置在平衡位置时时20，cossinAv0又又202000/v/v时，时，sinAv0在平衡位置在平衡位置时速率最大时速率最大Avvm0则则0vA 初位置在任意位置初位置在任意位置时时Axarccos0=若若v00, 则则Axarccos0若若v00, 则则Axarccos0cosAx04 4、位相差：两振动位相之差。、位相差：两振动位相之差。12当当 = 2k ，k = 0,1,2 ；当当 = (2k+1) , k=0,1,2.02 超前于超前于1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不

6、同程度的参差错落 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 例例 水平弹簧振子的运动方程为水平弹簧振子的运动方程为 单位SItcosx41421052物体的质量物体的质量 m=0.02 kg, ,求求（1 1）谐振动的振幅、周期、频率、圆频率和初相；）谐振动的振幅、周期、频率、圆频率和初相； （2 2）t=1s 时的位移、速度和振动物体所受的力。时的位移、速度和振动物体所受的力。解：解：tcosAtcosx221052mA210512ssT42Hz.T25012（1）（1 1）谐振动的振幅、周期、频率、圆频率和初相；）谐振动的振幅、周期、频率

7、、圆频率和初相； 例例 水平弹簧振子的运动方程为水平弹簧振子的运动方程为 单位SItcosx41421052物体的质量物体的质量 m=0.02 kg, ,求求（2 2）t=1s 时的位移、速度和振动物体所受的力。时的位移、速度和振动物体所受的力。解：解：（2）t=1s时时, ,mcosx221105212105021221052sin)tsin(Av121xmkxFN.N.322104721052020 例例 水平弹簧振子水平弹簧振子, ,物体的质量物体的质量 m=0.25kg , ,弹簧的劲弹簧的劲度系数度系数k=25N/m，t=0 时的初始条件：时的初始条件：（1 1）物体在离平衡位置正方

8、）物体在离平衡位置正方0.1m m处，把物体无初速释放；处，把物体无初速释放； （2 2）物体在平衡位置上，以速率物体在平衡位置上，以速率10m/s向负方向运动向负方向运动。分别写出上两种情形下的振动方程。分别写出上两种情形下的振动方程。解：解：11025025s.mk（1 1）v0=0, x0=A=0.1m, 0则则tcos.tcosAx1010（2 2）初始位置为平衡位置，）初始位置为平衡位置，v00， 2则则mvA110100）（2101tcostcosAx 例例 放置水平光滑桌面上的弹簧振子放置水平光滑桌面上的弹簧振子, ,物体的质量物体的质量 m=1.9kg , ,弹簧的劲度系数弹簧

9、的劲度系数k=200N/m，A=0.05m。若物体在正向端点时，有一质量若物体在正向端点时，有一质量m/=0.1kg 的子弹以水的子弹以水平速度平速度 v/=20m/s 射入物体中，求振动的新振幅。射入物体中，求振动的新振幅。解：解：物体在正向端点时速度是物体在正向端点时速度是0，子弹射入后以共同速，子弹射入后以共同速度度v0运动，此为完全非弹性碰撞，根据动量守恒运动，此为完全非弹性碰撞，根据动量守恒0vmmvm）（+=则则）（mmvmv+=0子弹射入物体后简谐振动频率子弹射入物体后简谐振动频率mmk+=振动的新振幅振动的新振幅()m.kmmvmAvxA11022222020=+=+=12-3

10、 12-3 简谐系统的能量简谐系统的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)(tsinAv)(tcosAx2kmv21E)(tsinkA21222pkx21E)(tcoskA2122谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数动动能能2kmv21E)t(sinkA2122势势能能2pkx21E)t(coskA21220Emink2TttkkkA41dtET1E2maxkkA21E222212121kAkxmvEEEpk=+=+=

11、简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒0=minpE2411kAdtETETttpp=+221kAEmaxp=22xAmkvEA212k=EEkEpoxtAx=cost谐振子的动能、势能及总能量谐振子的动能、势能及总能量to 例例 在水平弹簧振子中在水平弹簧振子中, ,物体的质量物体的质量 m=0.025kg , ,弹弹簧的劲度系数簧的劲度系数k=0.4N/m 。当物体在正向离平衡位置。当物体在正向离平衡位置0.1m处时，运动的速率处时，运动的速率v=0.4m/s 。求：。求：（1 1）系统的总能量）系统的总能量E; ; （2 2）振幅）振幅A; ; （3 3）最大速率）最大速率vm;

12、;（4 4）物体在物体在 A/2 处具有的动能处具有的动能Ek和势能和势能Ep。解：解： (1)(1)物体在物体在x = =0.1m处时，处时，v=0.4m/s，系统总能量，系统总能量J.kxmvE32210042121(2)(2)221kAE 则则m.kEA14102(3)(3)221mmvE 则则s/m.mEvm5702 例例 在水平弹簧振子中在水平弹簧振子中, ,物体的质量物体的质量 m=0.025kg , ,弹弹簧的劲度系数簧的劲度系数k=0.4N/m 。当物体在正向离平衡位置。当物体在正向离平衡位置0.1m处时，运动的速率处时，运动的速率v=0.4m/s 。求：。求：（1 1）系统的

13、总能量）系统的总能量E; ; （2 2）振幅）振幅A; ; （3 3）最大速率）最大速率vm; ;（4 4）物体在物体在 A/2 处具有的动能处具有的动能Ek和势能和势能Ep。(4)(4)物体在物体在A/2处势能为处势能为解：解：2221AkEpJ.E310014物体在物体在A/2处动能为处动能为J.EEEEp3100343yxP旋转矢量表示法旋转矢量表示法: :tA旋转矢量的模为旋转矢量的模为 A t =0 时，旋转矢量时，旋转矢量与与 x 轴的夹角轴的夹角 旋转矢量的角速度为旋转矢量的角速度为 矢量端点在矢量端点在 x x 轴上轴上的投影点作简谐振动的投影点作简谐振动旋转矢量的某一位置对应

14、简谐振动的一个运动状态旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态在在t t时刻时刻 12-4 12-4 简谐振动的合成简谐振动的合成cosAx tcosAxPA)cos(tAx 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA二、同方向、同频率谐振动的合成二、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )(12212221cosAA2AAA22112211cosAcosAsinAsinAtg)()(111tcosAtx)()(222tcosAtx)(tcosAx质点同时参与同方向同频率的谐振动质点同时参与同方向同频率的谐振动 : :合振动合振动 : :2A1AA121x2xx21xxx如如 A1=A2 , , 则则 A=0,2,1 ,0kk212两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA,2,1 ,0k1k212)(两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)(12212221cosAA2AAA合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中t2cosA2tA12)()(随随t 缓变缓变t2costcos12)(随随t 快变快变合振动