函数与导数经典例题高考压轴题含答案

1、函数与导数1.已知函数f(x) 4x33tx26tx t 1,x R，其中 t R.(I)当 t 1 时，求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(U)当 t 0 时，求f(x)的单调区间；(川)证明：对任意的t (0,), f (x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线 方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满 分 14分。(I)解：当 t 1 时，f(x) 4x33x26x, f(0)0, f (x)12x26x 6f (0)6.所以曲线y f(x)在点(0, f (0

2、)处的切线方程为y 6x.(U)解：f (x) 12x26tx 6t2，令f (x) 0，解得x t 或 x -.2因为 t 0,以下分两种情况讨论：若t ,则 2t,当 x变化时，5)的变化情况如下表:+-+所以，fg的单调递增区间是,f t；f(x)的单调递减区间是和(2)若t 0,则 t-，当x变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表:2+-+所以，f(x)的单调递增区间是，t ,丄，；f(x)的单调递减区间是t2 2(川)证明：由可知，当t 0时，f(x)在呻内的单调递减，在|，内单调递增，以下分两种情况讨论： (D当扌1 即t 2时，f(x)在(01)内单调递减，所以对任意t 2

3、,), f(x)在区间(0，1)内均存在零点t (0,1, f17t3t 1-t30.244所以f(x)在-,1内存在零点2若t (1,2),f2；t3114t310.所以f(x)在叱内存在零点所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0, 1)内均存在零点(2)当 0即0 t 2时，f(x)在0,2内单调递减，在A 内单调递增，若综上，对任意t (0,), f(x)在区间(0, 1)内均存在零点。2.已知函数f(x)2x -,h(x) . x.32(I)设函数 F(x) = 18f (x) x2h(x)2，求 F( x)的单调区间与极值；(U)设a R，解关于x的方程lg|f(x 1)弓

4、2lg h(a x) 2lg h(4 x)；(川)设n N*，证明：f(n)h(n) h(1) h(2) L h(n)6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(223(I)F(x) 18f (x) x h(x)x 12x 9(x 0)，2F (x) 3x 12.令F (x)0，得x 2(x 2舍去).当x (0,2)时.F (x) 0;当x (2,)时，F (x) 0，故当x 0,2)时，F(x)为增函数；当x 2,)时，F(x)为减函数.x 2为F(x)的极大值点，且F(2)8

5、 24 925.、33(U)方法一：原方程可化为Iog4【f (x 1) Iog2h(a x) log2h(4 x)，24当1 a 4时，1 x a，则x 1a_x，即x26x a 40,4 x36 4(a 4)20 4a 0，此时x6_20 4a35 a 1 x a,2此时方程仅有一解x 35 a.当a 4时，1 x 4，由x 1，得x26x a 4 0,36 4(a 4)204 x若4 a 5，则0,方程有两解x 3 . a；若a 5时，则0，方程有一解x 3;若a 1或a 5，原方程无解.方法：原方程可化为log4(x 1) log2h(4 x) log2h(a x)，1当1 a 4时，

6、原方程有一解x 3. 5 a；2当4 a 5时，原方程有二解x 35一a；3当a 5时，原方程有一解x 3；即为log4(x 1) log2a x log24 xJa x冃xlOg24 x，且1a,x 4,4a，1 _即一log2(x 1) log24 xlog2a2x4a(x1 0,x 0,x 0,1)(4x)x.x 4a,(x3)25.当a 1或a 5时，原方程无解.(川)由已知得h(1) h(2) L h(n),1,2 L设数列an的前 n 项和为s，且Snf (n)h(n) -(n N*)6则Snh(1) h(2) L h(n)，故原不等式成立.3.设函数f (x) a21nx x2a

7、x， a 0(I)求f(x)的单调区间；注：e为自然对数的底数.【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考1f(n)h(n)-4n 31n _66从而有a S 1，当2 k 100时，akSkSk14kk4k 1.厂.6 61又ak,k (4 k 3).k (4 k1)JT62 21 (4k 3) k (4k 1) (k 1)6 (4k3). k (4k飞一11 16 (4 k 3) . k (4 k 1).厂1即对任意k 2时，有ak.k，又因为a111，所以aa2L(U)求所有实数a，使e 1f (x) e2对x 1, e恒成立.查抽象概括、推理论证

8、能力。满分 15 分。(I)解：因为f (x) a21nx x2ax.其中 x 02所以f (x)-x2x a(x a)(2x a)x由于 a 0,所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,)(U)证明：由题意得，f(1) a 1 c 1,即 a c由(I)知 f(x)在1,e内单调递增,要使e 1 f (x) e2对 x 1,e恒成立,a 1 e 1,2 2 2a e ae e解得a e.ex4.设f (x)一2，其中a为正实数.1 ax(I)当a-时，求f (x)的极值点；3(U)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】(18)(本小题满分 13 分)本题考查导数的运算，

9、极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的 能力.2解：对f(x)求导得 f (x) ex1 ax2：x.只要f(1) f(e)(1 ax )431(I )当a-，若f (x)0,则 4x28x 30,解得 Xix?-.322综合,可知+0一0+/极大值极小值/31所以，Xi-是极小值点,X2-是极大值点.22(II )若f(x)为 R 上的单调函数，则f (x)在 R 上不变号，结合与条件 a0,知2ax2 ax 1 0在 R 上恒成立，因此4a24a 4a(a 1)0,由此并结合 a 0，知 0 a 1.5.已知 a，b 为常

10、数，且 a0，函数 f (x) =-ax+b+axInx，f (e) =2 (e=2. 71828是自然对数的底数)。(I )求实数 b 的值；(II )求函数 f (x)的单调区间；(III )当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 M(m0 得 x1,由 f(x)0 得 0 x1;(2)当 a0 时，由 f(x)0 得 0 x 1 由 f(x)0 得 x 1综上，当 a 0 时，函数f (x)的单调递增区间为(1,单调递减区间为(0，1)；当 a 0 时，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1,)。(III )当 a=1 时，f (x) x 2 xl nx,f(x)

11、 In x.由(II )可得，当 x 在区间(e)内变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表:e-0+单调递减极小值 1单调递增221又2 2,所以函数 f(x) (x -,e)的值域为1 , 2。ee据经可得，若m九，则对每一个t m,M ，直线 y=t 与曲线y f(x)(x -,e)都有M 2e公共点。1并且对每一个t( ,m)U(M ,)，直线 y t 与曲线y f (x)(x -,e)都没有公共点。e综上，当 a=1 时，存在最小的实数 m=-最大的实数 M=2 使得对每一个t m, M，直线 y=t1与曲线y f(x)(x -,e)都有公共点。e6.设函数 f(X x32ax2

12、bx a， g* ) x23x 2，其中 x R，a、b 为常数，已知曲线y f (x)与y g(x)在点(2,0 )处有相同的切线 I。(I)求 a、b 的值，并写出切线 I 的方程；(II )若方程f (X g(X mx有三个互不相同的实根 0、x、x，其中 x1x2，且对任 意的 x N，X2，fX)g(x m(x 1)恒成立，求实数 m 的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分 13 分)解：(I)f (x) 3x 4ax b,g (x) 2x 3.由于曲线 y f(x)与

13、y g(x)在点(2, 0)处有相同的切线，故有f(2)g(2)0, f (2) g (2)1.,少/曰 8 8a 2b a 0,加/曰 a 2,由此得解得12 8a b 1,b 5.所以a 2,b5,切线 I 的方程为x y 20(U)由(I)得f (x) x34x25x 2，所以f (x) g(x) x33x2依题意，方程x(x23x 2 m) 0有三个互不相同的实数0,Xi,X2, 故x1, x2是方程x23x 2 m 0的两相异的实根。1所以9 4(2 m) 0,即 m -.又对任意的x X1,X2, f(x) g(x) m(x 1)成立，特别地，取x禺时，f(xj g(xj mx1m成立，得 m 0.