复数的几何意义用

1、3.3 3.3 复数的几何意义复数的几何意义在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想一想？想一想？类比类比实数的表实数的表示，示，在几何上在几何上可以用什么来可以用什么来表示复数？表示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一对应一一对应 回忆回忆复数的一般形式？Z=a+bi(a, bR)实部!虚部!一个复数一个复数由什么确由什么确定？定？复数复数z=a+biz=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面

2、直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )一一对应一一对应z=a+bi一一对应一一对应一一对应一一对应(A)(A)在复平面内在复平面内, ,对应于实数的点都在实轴上对应于实数的点都在实轴上(B)(B)在复平面内在复平面内, ,对应于纯虚数的点都在虚轴对应于纯虚数的点都在虚轴 上；上；(C)(C)在复平面内在复平面内, ,实轴上的点所对应的复数都实轴上的点所对应的复数都是实数；是实数；(D)(D)在复平面内在复平面内, ,虚轴上的点所对应的复数都虚轴上的点所对应

3、的复数都是纯虚数。是纯虚数。例例1.1.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D D2 2“a=0”a=0”是是“复数复数a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )是纯虚数是纯虚数”的的（ ） (A)(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)不充分不必要条件不充分不必要条件C3 3“a=0”a=0”是是“复数复数a+bi (a,bRa+bi (a,bR) )所对应的点所对应的点在虚轴上在虚轴上”的（的（ ） (A)(A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)(C)充要

4、条件充要条件 (D)(D)不充分不必要条件不充分不必要条件A 4.4.复数复数z z与与 所对应的点在复平面内所对应的点在复平面内( )( )(A)(A)关于关于x x轴对称轴对称 (B)(B)关于关于y y轴对称轴对称(C)(C)关于原点对称关于原点对称(D)(D)关于直线关于直线y=xy=x对称对称zA例例2 2: :已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数面内所对应的点位于第二象限，求实数m m的的取值范围。取值范围。 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想

5、020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m变式一：变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平在复平面内所对应的点在直线面内所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上上, ,求实数求实数m m的值。的值。 解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标系中的直角坐标系中的点点Z(a,b)Z(

6、a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi复数的几何形式复数的向量形式复数的代数形式xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值( (复数的模复数的模) )的的几何意义几何意义: :Z (a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=a+biz=a+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a a, ,b b) )到原点的到原点的距离。距离。OZ OZ | z | = |zz 22abzzzz22|思考： | z | 与z， Z有什么关系？有什么关系？22ZZ注 意 ： 例例3:3:求下列

7、复数的模：求下列复数的模：(1)z(1)z1 1=-5i =-5i (2)z(2)z2 2=-3+4i=-3+4i(3)z(3)z3 3=5-5i=5-5i (4)z(4)z4 4=1+mi(mR) =1+mi(mR) (5)z (5)z5 5=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0)( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )25()1(2m( (5a )5a )1234 ,1 5 ,zi zi 例3、已知复数 试比较它们模的大小。221222345,( 1)526zz 12zz解解：实数能比较大小，数系扩充到复数后，Z1，Z2 一般一般不能比较大小，但复数的模是非负数，可以比较大小。设设z=

8、x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应对应的点在复平面上将构成怎样的的点在复平面上将构成怎样的图形？图形？xyO55555|22yxz2522 yx以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆上圆上思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？(2)(2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构成怎样的在复平面上构成怎样的图形图形？ 5xyO设设z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )变式变式：满足：满足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的的复数复

9、数z z对应的点在复平面上将对应的点在复平面上将构成怎样的图形？构成怎样的图形？555533335322yx25922yx以原点为圆心以原点为圆心, ,半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内( (不含边界不含边界) )练习练习: :P70,2 P73,4P70,2 P73,4复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应小结1.| z | 22abiab2.作业：P70 1、33.3 3.3 复数的几何意义复数的几何意义复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标系中的直角坐标系中的点

10、点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi复数的几何形式复数的向量形式复数的代数形式xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值( (复数的模复数的模) )的的几何意义几何意义: :Z (a,b)22ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=a+biz=a+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a a, ,b b) )到原点的到原点的距离。距离。OZ OZ | z | = |zz 22abzzzz22|思考： | z | 与z， Z有什么关系？有什么关系？22ZZ注 意 ：

11、例例3:3:求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z(1)z1 1=-5i =-5i (2)z(2)z2 2=-3+4i=-3+4i(3)z(3)z3 3=5-5i=5-5i (4)z(4)z4 4=1+mi(mR) =1+mi(mR) (5)z (5)z5 5=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0)( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )25()1(2m( (5a )5a )复数的模是非负数1234 ,1 5 ,zi zi 例3、已知复数 试比较它们模的大小。221222345,( 1)526zz 12zz解解：实数能比较大小，数系扩充到复数后，Z1，Z2 一般一般不能比较大小，但复数的

12、模是非负数，可以比较大小。设设z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的复数的复数z z对应对应的点在复平面上将构成怎样的的点在复平面上将构成怎样的图形？图形？xyO55555|22yxz2522 yx以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆上圆上思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？(2)(2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构成怎样的在复平面上构成怎样的图形图形？ 5xyO设设z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )变式变式：满足：满足3|z|5(

13、zC)3|z|5(zC)的的复数复数z z对应的点在复平面上将对应的点在复平面上将构成怎样的图形？构成怎样的图形？555533335322yx25922yx以原点为圆心以原点为圆心, ,半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内( (不含边界不含边界) )练习练习: :P70,2 P73,4P70,2 P73,4xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合符合向量向量加法加法的平的平行四行四边形边形法则法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ?新课讲解新课讲解xoyZ1(a,

14、b)Z2(c,d)符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距离的距离复数复数z1z2 =(a-c)+( b-d) i向量向量Z2Z1OZ1-OZ2=(a-c, b-d) Z2Z1(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数已知复数z z对应点对应点A,A,说明下列各式所表示的几何意义说明下列各式所表示的几何意义. .点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2

15、)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离练习练习: :已知复数已知复数m=2m=23i3i, ,若复数若复数z z满足不等式满足不等式| |z zm m|=1,|=1,则则z z所对应所对应的点的集合是什么图形的点的集合是什么图形? ?以点以点(2, (2, 3)3)为圆心为圆心, ,1 1为半径的圆上为半径的圆上复数减法的几何意义的运用复数减法的几何意义的运用设复数设复数z=x+yi,(x,yRz=x+yi,(x,yR),),在下列条件下在下列条件

16、下求动点求动点Z(x,yZ(x,y) )的轨迹的轨迹. .1.1.| z- 2| z- 2|= = 1 12.| z- i|+ | z+ i|=42.| z- i|+ | z+ i|=43.3.| z- 2|= | z+ 4| z- 2|= | z+ 4|x xy yo oZ Z2 2Z ZZ ZZ Z当当| z- z| z- z1 1|=r|=r时时, , 复数复数z z对应的点的轨迹是以对应的点的轨迹是以Z Z1 1对应的点为圆心对应的点为圆心, ,半径为半径为r r的圆的圆. .1 1-1-1Z ZZ ZZ Zy yx xo o|zz1|+|zz2|=2a|z|z1 1z z2 2|2a

17、|2a|2a椭圆椭圆线段线段无轨迹无轨迹y yx xo o2 2-4-4 x=-1 x=-1当当| z- z| z- z1 1|= | z- z|= | z- z2 2| |时时, , 复数复数z z对应的点的轨迹是对应的点的轨迹是线段线段Z Z1 1Z Z2 2的中垂线的中垂线. .-1-1练习练习: :P69,4,5P69,4,5P70,4,5P70,4,5P73,7P73,71 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形三、复数加减法的几何意义三、复数加减法的几何意义三、复数加减法的几何意义的运用三、复数加减法的几何意义的运用练习练习1:1:,2设设z z1 1,z,z2 2C,