高中数学(人教版)高阶微分方程习题课课件

1、第八讲 高阶微分方程习题课高阶微分方程习题课高阶微分方程习题课一、内容小结二、题型练习高阶微分方程习题课高阶微分方程习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程)()(xfyn 型型只含只含x的项的项逐次积分逐次积分),(yxfy 型型 缺少缺少y的项的项设设)(xpy 则则)(xpy 类型类型特点特点解法解法降阶方程降阶方程 Cxxfynd)

2、()1(),(ddpxfxp ),(yyfy 型型 缺少缺少x的项的项设设)(xypy 则则yppydd ),(ddpyfypp 基本思路基本思路通过变量代换化为低阶微分方程通过变量代换化为低阶微分方程l注注对于初值问题对于初值问题,应边降阶边确定常数应边降阶边确定常数.一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程记记yxayxayxayyLnnnn)()()()(1) 1

3、(1)( 1.nyyy,21是线性齐次方程是线性齐次方程0)( yL的的n个线性无关个线性无关的特解的特解nnyCyCyC 2211是齐次方程的通解是齐次方程的通解.2. y是线性非齐次方程是线性非齐次方程)()(xfyL 的一个特解的一个特解,Y是对应齐次方程是对应齐次方程0)( yL的通解的通解,Yy 是线性非齐次方程是线性非齐次方程)()(xfyL 的通解的通解.3.1y是方程是方程)()(1xfyL 的特解的特解,2y是方程是方程)()(2xfyL 的特解的特解,21yyy 是方程是方程)()()(21xfxfyL 的解的解.4.21, yy是方程是方程)()(xfyL 的两个解的两个

4、解,21yy 是对应齐次方程是对应齐次方程0)( yL的解的解.一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程l方程形式方程形式0 qyypyl求解方法求解方法写出特征方程写出特征方程02 qprr解出特征根解出特征根写出对应通解写出对应通解l通解公式通解公式特征根特征根通解形式通解形式21,rr二相异实根二相异实根xrxreCeC

5、Y2121 r重根重根rxexCCY)(21 i 二共轭复根二共轭复根12(cossin)xYeCxCx n阶常系数线性齐次方程阶常系数线性齐次方程l方程形式方程形式0)2(2)1(1)( ypypypynnnnl特征方程特征方程02211 nnnnprprpr若若r为特征方程的为特征方程的k重实根重实根,则通解中含有则通解中含有rxkkexCxCC)(121 若若为特征方程的为特征方程的k重复根重复根,则通解中含有则通解中含有 i 111212()cos()sinxkkkkeCC xC xxDD xD xx 一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三

6、) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程一、内容小结一、内容小结(一) 可降阶的高阶微分方程(二) 线性微分方程解的结构(三) 常系数线性齐次方程(四) 常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程l方程形式方程形式)(xfqyypy l求解步骤求解步骤求出对应齐次方程的通解求出对应齐次方程的通解;Y求出非齐次方程的一个特解求出非齐次方程的一个特解; y写出非齐次方程的一个通解写出非齐次方程的一个通解. yYyl特解求法特解求法待定系数法待定系数法l特解形式特解形式( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )si

7、nkxmmyx eRxxRxx +i 不是特征方程的根不是特征方程的根k=0 +i 是特征方程的根是特征方程的根k=1(1)(2)( ),( )mmRxRx为为m次多项式次多项式max , ml n ( )( )xmf xePx ( )kxmyx Qx e 不是特征方程的根不是特征方程的根k=0 是特征方程的单根是特征方程的单根k=1 是特征方程的重根是特征方程的重根k=2(1)(2)高阶微分方程习题课高阶微分方程习题课一、内容小结二、题型练习高阶微分方程习题课高阶微分方程习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常

8、系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题u例例1(1)求下列微分方程的通解或特解求下列微分方程的通解或特解yxyyx 2220122 yyy(2)1)0(, 1)0(,222 yyyyyy4)0(, 1)0(, 0)0(,1322 yyyyxxy(3)(4)二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题二、题型练习二、题型练习

9、（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题u例例2u例例3u例例4已知微分方程已知微分方程是否是是否是023 xxx的三个特解为的三个特解为,2321tttextexex 问问ttteCteCeC22112 微分方程的通解微分方程的通解( (其中是其中是C1 1, ,C2 2任意常数任意常数) )，为什么？，为什么？ 已知已知textexttcos5,cos21 022 xxx是微分方程是微分方程的两个特解的两个特解, ,问问teCteCxttcos5cos21 是否是方程的通解是否是方程的通解? ?则该方程的

10、通解为则该方程的通解为: :( (A) )设线性无关的函数设线性无关的函数)(),(),(321xyxyxy均是二阶线性均是二阶线性)()()(xfyxqyxpy 32211yyCyC 3212211)(yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC ( (B) )( (C) )( (D) )非齐次方程非齐次方程的解的解, ,二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结

11、构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题u例例5 写出下列方程的通解形式写出下列方程的通解形式( (不必求解不必求解) )(1)(1)1653 xxeyyy(2)(2)xxxyyycossin65 (3)(3)2sin3(cos102xxeyyyx (4)(4)xxxxyyycossin10672 u例例6 设设)(xf为连续函数为连续函数, ,且满足方程且满足方程 xxttftxexf02d)()()(求求).(xf二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应

12、用题二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题u例例7u例例8u例例9设微分方程设微分方程xcebyyay ,)1 (2xxexey cba,的值及通解的值及通解. .的一个特解为的一个特解为求求求具有特解求具有特解xxxeyxeyey3,2,321 的三阶的三阶常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程. .设设xxxxxxxeexeyexeyexey 23221,是某二阶是某二阶求此方程求此方程. .常系数非齐次线性微分方程的三个解常系数非齐次线性微分方程的三个解, ,二、题型练习

13、二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题二、题型练习二、题型练习（一）可降阶的高阶微分方程（二）高阶线性微分方程解的结构（三）高阶常系数线性方程的解（四）高阶常系数线性方程的构造（五）应用题（五）应用题（五）应用题1几何应用2物理应用（五）应用题（五）应用题1几何应用2物理应用关键量关键量曲率：曲率： 3221yy u例例10 在上半平面内求一条凹的曲线，其上任一点在上半平面内求一条凹的曲线，其上任一点P(x,y)处处的曲率等于此曲线在该点的法线段的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数的长

14、度的倒数（Q是法线与是法线与x轴的交点）且曲线在点轴的交点）且曲线在点(1,1)处的切线与处的切线与x轴平行。轴平行。u例例11已知曲线已知曲线y=y(x)(x0)过原点，位于过原点，位于x轴上方，且曲线轴上方，且曲线上任一点上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，直线轴，直线x=x0所围成的面积与该点横坐标的和，求所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程。此曲线方程。u例例12 一曲线过原点，且曲线上任一点一曲线过原点，且曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率处的切线斜率在数值上等于从原点到点在数值上等于从原点到点M的弧长，求该曲线方程。的弧长，求该曲线方程。（五）应用题（五）应用题1几何应用2物理应用（五）应用题（五）应用题1几何应用2物理应用u例例13 一链条挂在一钉子上，启动时一端离开钉子一链条挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8米，另米，另一端离开钉子一端离开钉子12米，若不计钉子对链条产生的摩擦力米，若不计钉子对链条产生的摩擦力,求链条滑下来需要的时间求链条滑下来需要的时间u例例14设有一