静电场之均匀带电圆环-圆盘和圆圈在轴线上的电场.

1、(1)一个半径为一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为的均匀带电圆环，带电量为Q(Q 0)，求圆环，求圆环轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规律是什么？律是什么？(2)一个半径为一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？变化的规律是什么？(3)一个外半径为一个外半径为a、内半径为、内半径为b的均匀带的均匀带电圆圈，带电量为电圆圈，带电量为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。

2、，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？解析解析(1)设设 0，圆环上所带电量为，圆环上所带电量为Q = 2a。 如图所示，圆环上所有电荷到场点如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是的距离都是22rza在在P点产生点产生的电势为的电势为22kQkQUrza电势在原点处最高，并电势在原点处最高，并随着距离的增加而减小。随着距离的增加而减小。P点的场点的场强为强为223/2dd(.)UkQzEzza azOQrPE范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场

3、在在z = 0处电场强度处电场强度E = 0；在；在z处处E0，因此，因此E在在z从从0到到之间有极值。之间有极值。令令可得可得极值为极值为如果如果z a，电势，电势和场强分别为和场强分别为223/2()kQzEza这是点电荷的电势和场强公式，其中这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号表示符号。azOQrPEM222 30.38499kQkQEaa ,|kQUz32|kQzz kQEzzz223/2222 1/2223Md()3()0d()EzazzakQzzzzaM/2.za 范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场当当z 0

4、时，时，E 0，场强的方向与，场强的方向与z轴正向相同；轴正向相同；当当z 0时，时，E 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？解析解析(1)设设Q 0，当电荷均匀分布圆盘，当电荷均匀分布圆盘上时，电荷的面密度为上时，电荷的面密度为 = Q/a2，如图所示，在圆盘上取一半径为如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度，宽度为为dR的圆环，其面积为的圆环，其面积为dS = 2RdR，所带的电量为所带的电量为dq = dS，环电荷在场点环电荷在场点P产生的电势为产生的电势为2222d2 ddk qk

5、R RUzRzR全部电荷在场点全部电荷在场点P产生的电势为产生的电势为220d2aR RUkzR222 (|).kzazazOQRPEdRr(2)一个半径为一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？ = Q/a2， 电势电势当当z = 0时电势最高时电势最高U = 2kQ/a。当当|z| a时，电势为时，电势为这是点电荷的电势这是点电荷的电势。222 (|)UkzazazOQRPEdRr2222(|)kQUzaza221/22

6、22222|(1)|2|kQakQakQUzzzazazz范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场圆盘两边场强的方向不同。圆盘两边场强的方向不同。如果如果z 0，轴，轴线上的场强为线上的场强为当当z+0时，时，E2kQ/a2 = /20，这是无，这是无限大均匀带电平面在正面产生的场强。限大均匀带电平面在正面产生的场强。当当z a时，可得时，可得2222(|)kQUzaza222222d2d2()(1)ddUkQkQzEzazzazaza221/2222222211(1)2kQakQakQEazazz这是点电这是点电荷的场强。荷的场强。如果如果

7、z 3a时，时，圆盘电荷的电圆盘电荷的电势接近于点电势接近于点电荷的电势。荷的电势。圆盘电荷在中心附近产生圆盘电荷在中心附近产生的场强最大，该场强表示的场强最大，该场强表示“无限大无限大”带电平面的场带电平面的场强；圆盘两边的场强方向强；圆盘两边的场强方向不同，因而不连续。不同，因而不连续。当距离增加时，场强当距离增加时，场强持续减小；当持续减小；当|z| 3a时，圆盘电荷的场强时，圆盘电荷的场强接近于点电荷的场强。接近于点电荷的场强。(3)一个外半径为一个外半径为a、内半径为、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量的均匀带电圆圈，带电量为为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同，求圆圈

8、轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？解析解析(2)当电荷均匀分布在外半径为当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为、内半径为b的的圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S = (a2 - b2)，电荷的面密度为电荷的面密度为 = Q/S，在圆圈上取一半径为在圆圈上取一半径为R，宽度为，宽度为dR的圆环，在场点的圆环，在场点P产生的电势为产生的电势为场点场点P的的电势为电势为在在z = 0处处的电势为的电势为222 ddkR RUzR22d2abR RUkzR22222 ()Ukzazb22222

9、22()kQzazbabaQbzORPEdRr2kQUab如果如果b = a，可得带电圆环中心的电势，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a；如果如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场(3)一个外半径为一个外半径为a、内半径为、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量的均匀带电圆圈，带电量为为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？根据公

10、式根据公式E = -dU/dz可可得圆圈轴线上的场强得圆圈轴线上的场强如果如果b a，当，当z = 0时，圆圈中心的场强时，圆圈中心的场强E = 0；令令2222222()kQUzazbab解得极值坐标解得极值坐标222222211()kQzEabzbza2222223/2223/2Md20d()()EkQbazzzabzbza4/324/32M4/34/3baabzab 极值场强为极值场强为2/32/33/2M221/(.1/2)baEkQabab 当当z时，时，E0，因此场强，因此场强E在在z从从0到到之间有极值。之间有极值。范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆

11、环，圆盘和圆圈在轴线上的电场讨论讨论当当b0时，圆圈演变时，圆圈演变成圆盘，轴上的电势为成圆盘，轴上的电势为当当ba时，圆圈演变时，圆圈演变成圆环，轴上电势为成圆环，轴上电势为2222222(),kQUzazbab轴上轴上场强场强222222211()kQzEabzbza4/324/32M4/34/3,baabzab 2/32/33/2M221/1/2()baEkQabab 轴上轴上场强场强2222(|)kQUzaza2222222112|()(1)|kQzzkQzEazzazaza22222212kQUkQzazbza22222222222()kQzzazbEabzazb2222222221

12、()kQzzazbzazb223/2.()kQzza范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场讨论讨论根据罗必塔法则，圆根据罗必塔法则，圆环场强的极值坐标为环场强的极值坐标为如果如果z a，根据二项式定理，可得，根据二项式定理，可得2222222(),kQUzazbab这是点电荷的电势和场强这是点电荷的电势和场强。222222211()kQzEabzbza4/324/32M4/34/3,baabzab 2/32/33/2M221/1/2()baEkQabab 圆环场强圆环场强的极值为的极值为1/324/3M1/3(4/3)2(4/3)2baab

13、azb 5/33/2M2( 2/3)2 3229bkQEkQabba 221/21/222222|(1)(1)kQ zabUabzz2222222|(1)(1)22|kQ zabkQabzzz221/21/222222(1)(1)()|kQzbaEabzzz2|z kQzz范例范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆均匀带电圆环到均匀带环到均匀带电圆盘的电电圆盘的电势的演变过势的演变过程。程。在中心点，圆环电在中心点，圆环电荷产生的电势最小，荷产生的电势最小，导数为零；导数为零；当距离比较大时，所有电荷的电当距离比较大时，所有电荷的电势都与点电荷产生的电势相近。势都与点电荷产生的电势相近。随着圆圈宽度的增加，随着圆圈宽度的增加，中心点的电势也增加，中心点的电势也增加，极大值变极大值变“尖尖”了，但了，但导数仍然为零，这是因导数仍然为零，这是因为电荷离轴线变近的缘为电荷离轴线变近的缘故；故；当圆圈变成圆盘时，当圆圈变成圆盘时，电荷产生的电势最大，电荷产生的电势最大，形成形成“尖尖”形，导数形，导数不但不为零，并且左不但不为零，并且左右导数不相等。右导数不相等。均匀带电圆环均匀带电圆环到均匀带电圆到均匀带电圆盘的电场强度盘的电场强度的演变过程。的演变过程。当距离比较大时，所当距离比较