角平分线的性质2

1、12021/3/14复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA1222021/3/14练习1 如图所示如图所示:OD、OE分别是分别是AOB、 AOC的角平分线的角平分线,请问请问DOE多少度多少度?ABDCE32021/3/14尺规作图尺规作图: :作法作法: :1 1、以、以_ _ _为圆心为圆心, ,_长为半径作圆弧长为半径作圆弧, ,与角的两边分别交于与角的两边分别交于C C、D D两点两点; ;2 2、分别以分别以_为圆心为圆心, ,_的长为半径的长为半径作弧作弧, ,两条圆弧交于两条圆弧交于AOBAOB内一点内一点_; ;3 3、作射线、作射线_; ;_就是所求

2、作的射线。就是所求作的射线。点点O O适当适当C、D超过超过CDCD一半一半EOEOE42021/3/14为什么为什么OCOC是角平分线呢是角平分线呢? ? 想一想想一想:已知已知: :OM=ONOM=ON, ,MC=NCMC=NC。求证求证: :OCOC平分平分AOBAOB。证明证明: :在在OMCOMC和和ONCONC中中, , OM=ONOM=ON, , MC=NCMC=NC, , OC=OCOC=OC, , OMC OMC ONCONC MOC=NOC MOC=NOC 即即: :OCOC平分平分AOBAOB52021/3/141、尺规作图作的、尺规作图作的 平分线方法如下平分线方法如下

3、:以以O为圆心为圆心,任意长为半径画弧交任意长为半径画弧交OA、OB于于C、D,再分别以点再分别以点C、D为圆心为圆心,以大于以大于 长为半径画弧长为半径画弧,两弧交于点两弧交于点P,作射作射线线OP,由作法得的根据是（由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSSAOB12CDODPCAB62021/3/141 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤通过上面的步骤, ,得到射线得到射线OCOC以后以后, ,把把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD, ,直线直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系是什么关系? ? 3 3结论结论: :作平角的平分线即可平分平

4、角作平角的平分线即可平分平角, ,由此也得到由此也得到过直线外一点作这条直线的垂过直线外一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动1ABOCD72021/3/14复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线外一点从直线外一点到这条直线的垂线段到这条直线的垂线段的的长度长度,叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB线段的线段的长度长度82021/3/14ABOAOEBCPD 将将 AOBAOB对折对折, ,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形( (使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边),),然后展开然后展开, ,观察两次折叠形成的三条折痕观察两次折叠形成的三

5、条折痕, ,你能得出什么结论你能得出什么结论? ? 可以看一看可以看一看, ,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB的平分线的平分线OC,OC,第二次折叠第二次折叠形成的两条折痕形成的两条折痕PD,PEPD,PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOBAOB两边的距两边的距离离, ,这两个距离相等这两个距离相等. .折一折折一折角平分线的性质角平分线的性质活活 动动292021/3/14探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验实验:画一个画一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB的平分的平分线线OP,过过P作作PD OA,PE OB问题问题:比较比较PD和和PE 的大小关系（量一量）

6、。的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样再换一个新的位置看看情况会怎样?活活 动动3(2)(2)猜想猜想: : 角的平分线上的角的平分线上的点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等. .P PA AOOB BC CE EDD102021/3/14证明证明:OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA,PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（A

7、AS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知已知: :如图如图, ,OCOC平分平分AOBAOB, ,点点P P在在OCOC上上, ,PDPDOAOA于点于点DD, ,PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE(3)验证验证猜想猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知已知“一个点在一个角的平分线上一个点在一个角的平分线上”。结论为。结论为“这个点到这个角两边得距离相等这个点到这个角两边得距离相等”112021/3/14得到得到角平角平分线的性分线的性质质:

8、 利用此性质利用此性质怎样书写推理过怎样书写推理过程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分（角平分线的性质）线的性质）P PA AOOB BC CE EDD12归纳归纳: 如图如图,AD平分平分BAC（已知）（已知） = ,( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）132021/3/14 如图如图, DCAC,DBAB （已知）（已知） = ,( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）142021/3/14

9、 AD平分平分BAC, DCAC,DBAB （已知）（已知） = ,（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等152021/3/14,1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD

10、=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC162021/3/14 在在OAB中中,OE是它的角平分线是它的角平分线,且且EA=EB,EC、ED分别垂直分别垂直OA,OB,垂足为垂足为C,D.求证求证:AC=BD.O OA AB BE EC CD D172021/3/14 在在ABC中中, C=90 ,AD为为BAC的的平分线平分线,DEAB,BC7,DE3.求求BD的长。的长。EDCBA182021/3/141 1、如图、如图（1） , ,在在ABCABC中中,C=90C=90, ,DEABDEAB,1=21=2, ,且且AC=6cmAC=6cm, ,那么那么线段线段BEBE是是

11、ABCABC的的 , ,AE+DE=AE+DE=。2 2、如图、如图（2） , ,在在ABCABC中中,C=90C=90, ,AC=BCAC=BC, ,ADAD平平分分CAB,并交并交BC于于D, DEAB于点于点E,若若AB=8CM,求求DEB的周长的周长?ABC（1）（2）DE192021/3/14 如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处?（比例尺为120000）解决问题S公路公路铁路铁路202021/3/14200001DCs公路公路铁路铁路O500X解解: 设设OD=Xm 则由题得则由题得 = 解解得得x=0.025

12、m 即即OD=2.5cm 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OC,截取截取 OD=2.5cm ,D即为所求。即为所求。212021/3/14 反过来反过来, ,到一个角的两边的距离相等的点到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢是否一定在这个角的平分线上呢? ? 已知:如图,QDOA,QEOB,点D、E为垂足,QDQE求证:点Q在AOB的平分线上222021/3/14证明证明: QDOA,QEOB（已知）（已知）, QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE

13、点Q在AOB的平分线上已知:如图,QDOA,QEOB,点D、E为垂足,QDQE求证:点Q在AOB的平分线上232021/3/14判定判定:到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。的点在角的平分线上。 QDOA,QEOB,QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为:242021/3/14例例: :如图如图, ,ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证求证: :点点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. .证明证明:过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA,垂足垂足为为D、E、F

14、 BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点? ?252021/3/14练习练习:如图如图,的的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证求证:点到三边点到三边,所在直线的距离所在直线的距离相等相等F FGH更上一层楼更上一层楼!262021/3/14利用结论,解决问题练一练 1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?272021/3/14拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。282021/3/14拓展与延伸3、已知:BDA