圆心角_弧_弦_弦心距的关系

1、DOABEC平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 三、判断下列说法的正误三、判断下列说

2、法的正误 CDABE已知：已知：AB求作：求作：AB的的中点中点点点E就是所求就是所求AB的中点的中点例例1010、CABO你能确定你能确定AB的圆心吗？的圆心吗？点点O就是就是AB的圆心的圆心例例1212、.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转圆是中心对称图形，圆心就是它圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心的对称中心 我们把顶点在圆心的角叫做我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角. .OBA 圆心角圆心角AO

3、BAOB所对所对的弦为的弦为ABAB，所对的弧，所对的弧为为ABAB。圆心角：圆心角：1 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。说明理由。3 3、下面我们一起来观察一下：在下面我们一起来观察一下：在O O中中有哪些圆心角有哪些圆心角？并说出圆心角所对的弧？并说出圆心角所对的弧，弦。弦。ABCo任意给圆心角，对应出现两个量：任意给圆心角，对应出现两个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OAABB 如图在圆如图在圆O O中，圆心角中，圆心角AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1，它们所对的弦它们所对的弦ABAB AB所对的所对的ABAB 、AB ，有什么关系？

4、有什么关系？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位的位置时，置时， AOBAOB，射线，射线 OA与与OA重合，重合，OB与与OB重重合而同圆的半径相等，合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点 A与与 A重重合，合，B与与B重合重合OAB探究探究OABABAB二、二、 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能发现哪些等量关系？为什么？重合，重合，AB与与AB重合重合AB与AB.ABA B AB=AB 如图，如图，O与与O1 1是等圆，是等圆，AOB AOB

5、=A A1 1OBOB1 1，请问上述结论还成立吗？为什么请问上述结论还成立吗？为什么? ?O1OABA1B1 AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1 ，AB=AAB=A1 1B B1 1 . .这样，我们就得到下面的定理：这样，我们就得到下面的定理：圆心角定理圆心角定理： 相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。所对弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OAABBD D弦弦AB和弦和弦AB 对应的弦对应的弦心距有什么关心距有什么关系？系？由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=

6、AB OD=OD可推出可推出三、三、圆心角与弧、弦的关系定理圆心角与弧、弦的关系定理如图如图: AOBCOD,那么那么 吗吗?AB=CD OEF思考思考:OAABBD D如果如果AB=AB，那么，那么AOB=AOB，AB=AB， OD=OD吗？吗？ 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆相等的弦所对的圆心角相等，所对的心角相等，所对的弧相等，所对弦的弧相等，所对弦的弦的弦心距相等。弦的弦心距相等。OAABBD D如果如果AB=AB，那么，那么AOB=AOB，AB=AB， OD=OD吗？吗？ 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆相等的弧所对的圆心角相等，所对的心角相等，所对

7、的弦相等，所对弦的弦相等，所对弦的弦的弦心距相等。弦的弦心距相等。OAABBD D如果如果OD=OD ，那么，那么AOB=AOB，AB=AB， AB=AB 吗？吗？ 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的弦心距所对相等的弦心距所对的圆心角相等，所的圆心角相等，所对的弦相等，所对对的弦相等，所对弦的弧相等。弦的弧相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦所对的圆心角相等弦所对的弧相等弦所对的弧相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦

8、心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等(1) 圆心角圆心角(2) 弧弧(3) 弦弦(4) 弦心距弦心距知一得三知一得三OAAB BDD在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有有一组量相等一组量相等, ,那么它们所对应的其余各那么它们所对应的其余各组量都分别相等组量都分别相等. .OABDABDOABDOABD1、已知：

9、如图，、已知：如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，OE、OF为为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果）如果AB=CD，那么，那么 _,_,_。 （2）如果）如果OE=OF，那么，那么 _,_,_。 （3）如果）如果AB=CD 那么那么 _,_,_。 （4）如果）如果AOB=COD，那么，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CDAOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD 2 2、如图，、如图，1=21=2，11对对ADAD，22对对BCBC，问：，问：

10、AD=BCAD=BC吗？为什么？吗？为什么？.OADBC1 2答：不相等，因为答：不相等，因为ADAD，BCBC不是不是“相等圆心角对相等圆心角对等弦等弦”的弦的弦3.下列命题中真命题是（下列命题中真命题是（ ）A。相等的弦所对的圆心角相等。相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。、长度相等的弧所对的圆心角相等。4、在、在 O中，中， = ，B=70，则，则A= ABA5、如图：、如图：AB为为 O的直径，的直径， = = ， COD=

11、35， 则则AOE=度。度。BCCDDEABCDEo解解: AC=BDAC=BD（已知）（已知） AB=CDAB=CD145 6、 如图，在如图，在 O中中 AC=BD， ,求求2的度数。的度数。1=2=451=2=45（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等） 图 23.1.5 AC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC （等式的性质）（等式的性质）证明：证明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO例例1 如图如图, 在在 O中，中， ，ACB=60，求证求证AOB=BOC=AOC.AB AC AB=AC ABC是

12、等边三角形是等边三角形.例例3：已知如图（：已知如图（1） O中，中，AB、CD为为 O的弦，的弦，1= 2，求证：，求证：AB=CD变式练习变式练习1：如图（如图（1），已知弦），已知弦AB=CD，求证：求证： 1= 212ABCDO（1）变式练习变式练习2：如图（如图（2），）， O中，弦中，弦AB=CD，求证：求证：BD=ACABCDO变式练习变式练习3：如图（如图（2），）， O中，弦中，弦BD=AC，猜测猜测A与与D的数量关系。的数量关系。（） 已知：已知：AB是是 O的直径，的直径，M.N是是AO.BO的的中点。中点。CMAB,DNAB,分别与圆交于分别与圆交于C.D点。点。 求证

13、：求证：AC=BD例例4 4：OO=CD例例5：已知：如图（：已知：如图（1），已知点），已知点O在在BPD的角平的角平分线分线PM上，且上，且 O与角的两边交于与角的两边交于A、B、C、D， 求证：求证：AB=CDOPACDMB（1）变式变式1：如图（：如图（2），），P的的两边与两边与 O交与交与A、B、C、D，AB=CD求证：点求证：点O在在BPD的平分线上的平分线上OPACDB（2）变式变式2：如图（：如图（3），），P为为 O上一点，上一点，PO平分平分APB，求证：求证：PA=PBPABO(3)变式变式3：如图（：如图（4），当），当P在在 O内时，内时，PO平分平分BPD，在在

14、o中还存在相等的弦吗？中还存在相等的弦吗？APCBDO（）MNOBAC例例6如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的中点，的中点，M、N分别为分别为OA、OB的中的中点，求证：点，求证：MC=NCOBCAE例例7、如图，、如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，弦的半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE 例例8、如图，、如图，AB，AC都是都是 O的弦，的弦，且且CAB=CBA， 求证：求证：COB=COAOBACOACDBE证明：CAB=CBA（已知），AC=BC（等角对等边）COB=COA（在同一圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的加以角相等

15、）。例例9 、如图，、如图，AB，CD是是 O的的两条直径，弦两条直径，弦BE=BD求证：求证：AC=BE证明：证明：ABAB，CDCD是是OO的两条直径，的两条直径，AOC=BODAOC=BOD。 AC=BDAC=BD，又又BE=BDBE=BD， AC=BEAC=BEAC=BEAC=BE 例例10 、如图如图7 7所示，所示，CDCD为为OO的弦，在的弦，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF，连结，连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交OO于点于点A A、B.B.（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BDEF

16、OABCD例例11 、如图，等边、如图，等边ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C都都在在OO上，连接上，连接OAOA、OBOB、OCOC，延长，延长AOAO分别交分别交BCBC于点于点P P，交，交BCBC于点于点D D，连接，连接BDBD、CD.CD.（1 1）判断四边形）判断四边形BDCOBDCO的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）若）若OO的半径为的半径为r r，求，求ABCABC的边长的边长BCAOPD例例12、如图如图ABC=90ABC=900 0，C C、D D为为ABAB的三等分点，的三等分点，ABAB分别交分别交OCOC、ODOD于于EFEF 求

17、证：求证：AE=BF=CDAE=BF=CDFEDCOBA例13、如图AB、CD为圆O两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且AMN=CNM 求证：AB=CDNAOMDCB例14、在圆O中，AB=BC=CD,OB、OC分别交AC、DB点M、N. 求证：OMN是等腰三角形DONMACB 例15、以圆O 的直径为一边作等边ABC，AB、AC交圆O于点D、E 求证：BD=DE=ECOEDCBA例13（1）在同圆中，圆心角AOB=2COD,则AB与CD的大小关系为（ ）A.AB=2CDB.AB2CDC.AB2CDD.不确定不确定（2）在同圆中，若）在同圆中，若AB=2CD，则弦AB、CD的大小关系为（

18、）A.AB=2CD B.AB2CD C.AB2CD D.不确定不确定(3)在同圆中，若弦在同圆中，若弦AB=2CD则则AB与CD的大小关系为（ ）A.AB=2CDB.AB2CDC.AB2CDD.不确定不确定1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份, ,则每一份的圆心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧, , 1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角. . n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧, , n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角. .性质性质: :弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等. .小结（2） 所对的圆心角和所对的圆心角和 所对的圆所对的圆 心角相等心角相等ABCD在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 , 若若 的度的度数和数和 相等，则有相等，则有AB和CDABCDABCD （1） 和和 相等相等判判 断断1.在半径相等的在半径相等的 O和和 O 中中,AB和和A B 所对的圆心所对的圆心 角都是角都是60. (1)AB和和A B各是多少度各是多少度? (2)AB和和A B