关于全等三角形的旋转难题

1、WORD格式.旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90°， F 是 AB 的中点，直线l 经过点 C，分别过点A、 B 作 l的垂线，即AD CE， BECE，（ 1）如图 1，当 CE位于点 F 的右侧时，求证：ADC CEB；（ 2）如图 2，当 CE位于点 F 的左侧时，求证： ED=BE-AD；（ 3）如图 3，当 CE在 ABC的外部时，试猜想 ED、AD、 BE之间的数量关系，并证明你的猜想考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析：（ 1）利用同角的余角相等得出CAD= BCE，进而根据 AAS证明 ADC CEB（ 2）根据 AAS证明 A

2、DC CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD（ 3）根据 AAS证明 ADC CEB后，得 DC=BE， AD=CE，又有 ED=CE+DC，进而得到 ED=AD+BE解答：（ 1）证明： AD CE，BE CE， ADC=CEB=90° ACD+ECB=90°， CAD+ ACD=90°， CAD=BCE（同角的余角相等） 在 ADC与 CEB中 ADC= CEB CAD= BCE AC=BC， ADC CEB（ AAS）（ 2）证明： AD CE， BE CE， ADC=CEB=90° ACD+ECB=90°， CAD+ ACD

3、=90°， CAD=BCE（同角的余角相等） 在 ADC与 CEB中 ADC= CEB CAD= BCE AC=BC， ADC CEB（ AAS） DC=BE， AD=CE又 ED=CD-CE， ED=BE-AD（ 3） ED=AD+BE证明： AD CE， BE CE， ADC=CEB=90° ACD+ECB=90°， CAD+ ACD=90°， CAD=BCE（同角的余角相等） 在 ADC与 CEB中 ADC= CEB CAD= BCE AC=BC， ADC CEB（ AAS） DC=BE， AD=CE又 ED=CE+DC， ED=AD+BE点评：本

4、题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段专业资料整理.之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握3. 如图 1、图 2、图 3， AOB， COD均是等腰直角三角形，AOB COD 90o，（ 1）在图 1 中， AC与 BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（ 2）若 COD绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置， 请问 AC与 BD还相等吗， 还具有那种位置关系吗？为什么？（ 3）若 COD绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图3 的位置，请问AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点： 旋转的性质； 全等三角形

5、的判定与性质；等腰直角三角形分析：（ 1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（ 2）证明 DOB COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（ 1）相等在图 1 中， AOB， COD均是等腰直角三角形，AOB= COD=90°， OA=OB， OC=OD， 0A-0C=0B-OD， AC=BD；（ 2）相等在图 2 中， 0D=OC， DOB= COA， OB=OA， DOB COA， BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角4.（ 2008 河南）（ 9 分）复习“全等三角形”

6、 的知识时， 老师布置了一道作业题： “如图， 已知在 ABC中，AB=AC，P是 ABC内部任意一点，将AP绕 A 顺时针旋转至AQ，使 QAP= BAC，连接 BQ、 CP，则 BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从而证得 BQ=CP之后，将点 P 移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知 QAP= BAC ，那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同一个角） ，来证得 QAB= PAC；而根据

7、旋转的性质知：AP=AQ ，且已知AB=AC ，即可由SAS 证得 ABQ ACP，进而得出BQ=CP 的结论解答：证明：（ 1） QAP= BAC ， QAP- BAP= BAC- BAP ，.即 QAB= CAP；在 BQA 和 CPA 中，AQ=AP QAB= CAP AB=AC， BQA CPA（ SAS ）； BQ=CP （ 2） BQ=CP 仍然成立，理由如下： QAP= BAC ， QAP+ PAB= BAC+ PAB，即 QAB= PAC；在 QAB 和 PAC 中，AQ=AP QAB= PAC AB=AC， QAB PAC（ SAS ）， BQ=CP 点评：此题主要考查了等腰

8、三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5. （ 2009 山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC 和 DEF 且 ABC DEF 。 将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点 E 重合，把 DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O 当 DEF 旋转至如图位置，点B( E) ， C， D 在同一直线上时，AFD 与DCA的数量关系是当 DEF 继续旋转至如图位置时，（ 1）中的结论还成立吗？AO与 DO存在怎样的数量关系？请说明理由点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（

9、1）根据外角的性质，得AFD= D+ ABC ， DCA= A+ ABC ，从而得出 AFD= DCA ；（ 2）成立由 ABC DEF ，可证明 ABF= DEC 则 ABF DEC ，从而证出 AFD= DCA ；（ 3） BO AD 由 ABC DEF ，可证得点B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点O 在 AD 的垂直平分线上，则直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即BOAD 解答：解： （ 1） AFD= DCA （或相等）（ 2） AFD= DCA （或成立），理由如下：方法一： 由 ABC DEF ，得 AB=DE ，BC=EF（或 BF=EC ）， ABC= DEF ， BA

10、C= EDF ABC- FBC= DEF- CBF， ABF= DEC 在 ABF 和 DEC 中， AB=DE ABF= DEC BF=EC. ABF DEC ， BAF= EDC BAC- BAF= EDF- EDC ， FAC= CDF AOD= FAC+ AFD= CDF+ DCA ， AFD= DCA 方法二：连接AD 同方法一 ABF DEC ， AF=DC 由 ABC DEF，得 FD=CA 在 AFD DCA ， AF=DC FD=CA AD=DA AFD DCA ， AFD= DCA （ 3）如图， BO AD 方法一：由ABC DEF，点 B 与点 E 重合，得 BAC=

11、BDF ， BA=BD 点 B 在 AD 的垂直平分线上，且 BAD= BDA OAD= BAD- BAC ， ODA= BDA- BDF ， OAD= ODA OA=OD ，点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线， BO AD 方法二：延长 BO 交 AD 于点 G，同方法一， OA=OD 在 ABO 和 DBO 中， AB=DB BO=BO OA=OD ABO DBO ， ABO= DBO 在 ABG 和 DBG 中， AB=DB ABG= DBG BG=BG ABG DBG ， AGB= DGB=90 ° BO AD 点评：本题考查了三角形全等的判定

12、和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .ADFBEC考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长EB 使得 BG=DF，易证 ABG ADF（ SAS）可得 AF=AG，进而求证 AEG AEF可得 EAG=EAF，再求出 EAG+ EAF=90°即可解题解答：解：延长EB 使得 BG=DF，在 ABG和 ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90° BG=DF ，可得 ABG ADF（ SAS）， DAF= BAG， AF=AG，又

13、 EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， AEG AEF（SSS）， EAG= EAF， DAF+ EAF+BAE=90° EAG+ EAF=90°， EAF=45°答： EAF 的角度为 45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证 EAG= EAF是解题的关键.B例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F 。（ 1） 当 MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF。（ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF

14、的面积。AEMCAFN考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（ 1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分 ACB，CDAB， A=45°， CD=DA，则 BCD=45°， CDA=90°，由 DMDN得 EDF=90°，根据等角的余角相等得到 CDE= ADF，根据全等三角形的判定易得 DCE ADF，即可得到结论；（ 2）由 DCE ADF，则 SDCE=SADF，于是四边形 DECF的面积 =SACD，由而 AB=2可得 CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得 S ACD，从而得到四边形 DECF的

15、面积解答：解： （ 1）连 CD，如图， D 为等腰 Rt ABC斜边 AB的中点， CD平分 ACB，CDAB， A=45°， CD=DA， BCD=45°， CDA=90°， DMDN， EDF=90°， CDE= ADF，在 DCE和 ADF中，AAA DCE=DAF DC=DACDE= ADF，EMBE MB DCE ADF，B DE=DF；F CD（ 2） DCE ADF，CFDCDF SDCE=SADF，NNN四边形 DECF的面积 =S ACD，而 AB=2，（图 1）（图 2）（图 3） CD=DA=1，四边形 DECF的面积 =S AC

16、D=12 CD?DA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质EM1、已知四边形 ABCD 中， ABAD，BCCD，ABBC ，ABC120 ， MBN60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD， DC （或它们的延长线）于 E，F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时（如图1），易证 AECF EF当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF

17、， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2、（西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、 D 两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45°时 , 求 AB及 PD的长 ;(2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 .3、在等边 ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N，D 为 ABC 外一点，且 MDN60 ,BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的数

18、量关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长 L 的关系图 1图 2图 3（ I）如图1，当点M 、N边AB、AC上，且DM=DN时， BM 、NC 、 MN之间的数量关系是； 此时QL；（II ）如图 2，点 M 、 N 边 AB 、AC（III ） 如图 3，当 M 、N 分别在边上，且当AB、CADMDN 时，猜想（的延长线上时，I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；若AN=x ，则Q=（用x 、 L 表示）考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）由DM=DN， MDN=60°，可证得MDN是等边三角形，又由ABC是等边三角形，CD=BD，易

19、证得Rt BDM RtCDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、 NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN ，此时QL =2 3；（ 2）在 CN 的延长线上截取 CM1=BM ，连接 DM1 可证 DBM DCM1 ，即可得 DM=DM1 ，易证得 CDN= MDN=60 °，则可证得 MDN M1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；.（ 3）首先在 CN 上截取 CM1=BM ，连接 DM1 ，可证 DBM DCM1 ，即可得 DM=DM1 ，然后证得 CDN= MDN=60 °，易证得 MDN M1DN ，则可得 NC-BM=MN 解答：解：（

20、1）如图 1，BM 、NC、MN 之间的数量关系BM+NC=MN 此时QL=23 （2分）理由： DM=DN ， MDN=60 °， MDN 是等边三角形， ABC 是等边三角形， A=60 °， BD=CD ， BDC=120 °， BDC= DCB=30 °， MBD= NCD=90 °， DM=DN ，BD=CD ， RtBDM Rt CDN ， BDM= CDN=30 °， BM=CN ， DM=2BM ，DN=2CN ， MN=2BM=2CN=BM+CN ； AM=AN ， AMN 是等边三角形， AB=AM+BM ， AM

21、 ： AB=2 ：3， QL=23 ；（ 2）猜想：结论仍然成立 （3 分）证明：在 CN 的延长线上截取 CM1=BM ，连接 DM1 （ 4 分） MBD= M1CD=90 °， BD=CD ， DBM DCM1 ， DM=DM1 ， MBD= M1CD ，M1C=BM ， MDN=60 °， BDC=120 °， M1DN= MDN=60 °， MDN M1DN ， MN=M1N=M1C+NC=BM+NC ， AMN 的周长为： AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， QL=23 ；（ 3）证明：在CN 上截取 CM1=BM ，连接

22、 DM1 （4 分）可证 DBM DCM1 ， DM=DM1 ，（ 5 分）可证 CDN= MDN=60 °， MDN M1DN ， MN=M1N ，（ 7 分） NC-BM=MN （ 8 分）点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法例 8（ 2005年马尾） 用两个全等的等边三角形 ABC和 ACD 拼成菱形 ABCD .把一个含 60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB， AC重合 .将三角尺

23、绕点 A按逆时针方向旋转 .（ 1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC， CD相交于点 E，F时，（如图 13 1），通过观察或测量BE，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（ 2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC， CD的延长线相交于点E， F 时（如图 13 2 ），你在（ 1）.中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（ 1）利用全等三角形的判定得出 ABE ACF 即可得出答案；（ 2）根据已知可以得出 BAE= CAF ，进而求出 ABE ACF 即可；（ 3）利用四边形 AECF 的面积 S=S AE

24、C+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC 求出即可解答：解： （ 1）得出结论是： BE=CF ，证明： BAC= EAF=60 °， BAC- EAC= EAF- EAC ，即： BAE= CAF ，又 AB=AC ， ABE= ACF=60 °， BAE= CAF AB=ACABE= ACF， ABE ACF （ ASA ）， BE=CF ，（ 2）还成立，证明： BAC= EAF=60 °， BAC+ EAC= EAF+ EAC ，即 BAE= CAF ，又 AB=AC ， ABE= ACF=60 °，即 BAE= CAF AB=ACAB

25、E= ACF， ABE ACF （ ASA ）， BE=CF ，（ 3）证明： ABE ACF ， S ABE=S ACF ，四边形 AECF 的面积 S=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC ；而 S ABC=1 2 S 菱形 ABCD ， S=1 2 S菱形 ABCD 点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解：（ 1）BE=CF.证明：在 ABE 和 ACF 中， BAE+ EAC =CAF + EAC =60°， BAE=CAF . AB=AC， B= ACF =60°， ABE ACF （ASA

26、 ） . BE=CF .（ 2）BE =CF 仍然成立 . 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和 ACF旋转型1、如图，正方形 ABCD 的边长为外作正方形 GCEF ，连接 DE 交求证： BCG DCE BH DE1，G 为 CD 边上一动点 （点 BG 的延长线于 H 。G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方形ABCDDAHGFBCE考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题：动点型分析：（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS 判定 BCG DCE ，从而利用全等的性质得到BGC= DEC ；（ 2）连接 BD，解题关键是利用垂直平分线

27、的性质得出BD=BE ，从而找到BD= 2 ， CE=BE-BC= 2-1，根据全等三角形的性质求解即可解答：解：（1）证明：四边形ABCD 、 GCEF 都是正方形， BC=DC ， BCG= DCE=90 °， GC=EC. BCG DCE （ 3 分） BGC= DEC （ 4 分）（ 2）连接 BD如果 BH 垂直平分DE ，则有 BD=BE （ 6 分） BC=CD=1 ， BD= 2 （8 分） CE=BE-BC= 2 -1 （ 9 分） CG=CE= 2 -1即当 CG= 2 -1 时， BH 垂直平分DE （ 10 分）点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定

28、和线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等特殊图形的特殊性质要熟练掌握2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图2 是由它抽象出的几何图形，B， C， E 在同一条直线上，连结DC（ 1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（ 2）证明： DC BE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形DABCE专题：证明题 图 1图 2分析： （1 ）此题根据 ABC 与 AED 均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABE ACD ；（ 2）根据（ 1）的结论和已知条件可以证明 DC BE 解答： 证明

29、：（ 1） ABC 与 AED 均为等腰直角三角形， AB=AC ， AE=AD ， BAC= EAD=90° BAC+ CAE= EAD+ CAE 即 BAE= CAD ，在 ABE 与 ACD 中，AB=ACBAE= CAD AE=AD ABE ACD （ 2） ABE ACD ， ACD= ABE=45° 又 ACB=45° ，. BCD= ACB+ ACD=90° DC BE点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件3、（ 1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO

30、和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连结 AC 和 BD ，相交于点 E，连结 BC 求 AEB 的大小；CBEDOA图 7（ 2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求 AEB 的大小 .BCEOAD4、如图， AE AB， AD AC， AB=AE， B= E，求证：（ 1） BD=CE；（2） BD CE 证明：（ 1） AE AB， AD AC BAE=CAD BAD= CAE而 AB=AE， B= E， ABD AEC BD=CE（ 2）由 ABD AEC知 B

31、= E而 AGB= EGF， EFG= EAB=90°， BD CE图 8如图，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ，连接 AC 和 BD ，相交于点 E ，连接 BC求 AEB 的大小考点：等边三角形的性质； 全等三角形的判定与性质 专题：计算题分析：由于 BOC 和 ABO 都是等边三角形，可得 OD=DC=OC=OB=OA ，进而求出 BDA 与CAD 的大小及关系，则可求解 AEB 解答：解： DOC 和 ABO 都是等边三角形，且点 O 是线段 AD 的中点， OD=DC=OC=OB=OA

32、 ， ACD DBA ， BDA= CAD 又 BDA+ OBD= BOA=60 °，而 ODB= OBD ， BDA=30 °. CAD=30 ° AEB= BDA+ CAD ， AEB=60 °点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度数是正确解答本题的关键答题： yeyue5、如图所示，已知AE AB， AF AC，AE=AB， AF=AC。求证：（1） EC=BF；（2） EC BFFEAMBC6、 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的

33、一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .ADFBEC考点：旋转的性质； 全等三角形的判定与性质；正方形的性质 分析：延长 EB 使得 BG=DF，易证 ABG ADF（ SAS）可得 AF=AG，进而求证 AEG AEF 可得 EAG= EAF，再求出 EAG+ EAF=90°即可解题解答：解：延长EB使得 BG=DF，在 ABG和 ADF中，由 AB=AD ABG= ADF=90° BG=DF ，可得 ABG ADF（ SAS）， DAF=BAG， AF=AG，又 EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， AEG AEF（ SSS）， EAG=EAF， DA

34、F+EAF+ BAE=90° EAG+EAF=90°， EAF=45°答： EAF 的角度为45°点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证 EAG=EAF是解题的关键BAEMC A FN7、 D 为等腰 RtABC 斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。当MDN 绕点 D 转动时，求证DE=DF。若 AB=2，求四边形DECF的面积。10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2， ABC= AED=90 °，求五边形ABCDE 的面

35、积.考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长DE 至 F，使EF=BC ，可得 ABC AEF ，连 AC ， AD ， AF ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个 ADF 的面积，进而求出结论解答：解：延长DE 至 F ，使 EF=BC ，连 AC，AD，AF ， AB=CD=AE=BC+DE， ABC= AED=90 °， CD=EF+DE=DF，在 Rt ABC 与 Rt AEF 中， AB=AE ABC= AEF BC=EF Rt ABC Rt AEF （ SAS）， AC=AF ，在 ACD 与 AFD 中， AC=AF CD=DF AD=AD ACD AF

36、D （ SSS）， SABCDE=2S ADF=2 × 1 2 ?DF ?AE=2 × 1 2 ×2× 2=4点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握五、旋转例 1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG ，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF 又 EAF+ B

37、AE+ DAF=90所以 EAF=45 度ADFBEC（ 1）如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在 A 点处，两条直角边也与 CB的延长线、 DC分别交于点 E、 F请你通过观察、测量，判断 AE与 AF之间的数量关系，并说明理由（ 2）将三角尺沿对角线平移到图2 的位置， PE、 PF之间有怎样的数量关系，并说明理由（ 3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置， PE、 PF之间是否还具有（ 2）中的数量关系？如果有，请说明理由如果没有，那么点P 在 AC的什么位置时，PE、PF 才具有（ 2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析： （

38、 1）证明 ABE ADF可推出 AE=AF（ 2）本题要借助辅助线的帮助过点 P 作 PM BC 于 M， PNDC 于 N，证明 PME PNF 可推出 PE=PF.（ 3）PE、PF 不具有（ 2）中的数量关系当点 P 在 AC的中点时， PE，PF 才具有（ 2）中的数量关系解答：解： （1）如图 1，AE=AF理由：证明 ABE ADF（ ASA）（ 2）如图 2， PE=PF理由：过点P 作 PM BC于 M， PN DC于 N，则 PM=PN由此可证得PME PNF（ ASA），从而证得PE=PF（ 3） PE、PF 不具有（ 2）中的数量关系当点 P 在 AC的中点时， PE、

39、 PF 才具有（ 2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（ 1）证明 ABE ADF 可推出AE=AF （ 2）本题要借助辅助线的帮助过点P作 PM BC于 M ， PN DC 于 N ，证明 PME PNF 可推出 PE=PF （ 3） PE 、 PF不具有（ 2）中的数量关系当点 P在 AC 的中点时， PE ， PF才具有（ 2）中的数量关系解答：解：（ 1）如图 1， AE=AF 理由：证明 ABE ADF （ ASA）（ 2）如图 2， PE=PF 理由：过点 P作PM BC于 M ，PN DC 于 N ，则 PM=PN 由此可证得PME P

40、NF（ASA ），从而证得 PE=PF （ 3）PE 、 PF 不具有（ 2）中的数量关系当点 P在 AC 的中点时， PE、 PF才具有（ 2）中的数量关系点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定例 8（ 2005年马尾） 用两个全等的等边三角形 ABC和 ACD 拼成菱形 ABCD .把一个含 60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60°角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB， AC重合 .将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转 .（ 1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC， CD 相交于点 E， F时，（如图 13 1），通过观察或测量 BE， CF的长度

41、，你能得出什么结论？并证明你的结论；（ 2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E， F时（如图 13 2），你在（ 1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由 .解：（ 1）BE=CF.证明：在 ABE 和 ACF 中， BAE+ EAC =CAF + EAC =60°， BAE=CAF . AB=AC， B= ACF =60°， ABE ACF （ASA ） . BE=CF .（ 2）BE =CF 仍然成立 . 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和 ACF1、用两个全等的等边三角形ABC 和 ACD 拼成菱形 ABCD. 把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合， 使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB 、AC 重合 .将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 .（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 相交于点 E、F 时（如图所示），通过观察或测量 BE、 CF 的长度，你能得出什么结论？并证明ADFBEC.你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、