函数单调性的教学设计76814

1、函数单调性的教学设计（供第三次讨论稿）一内容和内容解析函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一不变的特征与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数的整体性质，即函数在整个定义域上的性质函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法这就是，加强数与形的结合，由直观到抽象；由特殊到一般首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减

2、变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步加以解析研究，数学刻画函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）二目标和目标解析本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数的单调性定义证明函数在区间上具有某种单调性的方法（步骤）。1要求能够以具体的例子说明函数在某区间上具有某种单调性；2能够举例说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；3对于一个具体的函数

3、，能够按照单调性的定义，证明它的单调性：在区间上任意取x1，x2，x1x2，作差f（x2） f（x1），然后判断这个差的符号，从而证明函数在该区间上具有单调性。三教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，初中已经学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生还了解函数的三种表示方法，特别是可以借助图像直观对函数性质加以考察。此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图像及性质。尤其值得注意的是，学生有利用函数图像进行两个数大小比较的经验。这些都是在函数单调

4、性教学时值得关注的，是建立函数的单调性的生长点。学生学习的困难在于，难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，难以用数学的符号语言描述函数单调性的特征。即由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的x1x2有f（x1）f（x2）”（单调增）数学符号语言的转换其中最难理解的是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1x2刻画。当然，应该注意到，企图在一节课中就实现学生对函数单调性的真正理解也是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念。教学重点是通过一系列

5、具体问题的研究，经过归纳、抽象、概括，逐步由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的x1x2到f（x1）f（x2）”（单调增）数学符号语言单调减的数学刻画将会迎刃而解。教学中，教师要找出建立概念的关键之处，明确学生建立这个概念到底难在哪里其次是采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法，把单调性的定义告诉学生注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动。不要使学生仅记住意义，模仿练习不要简化概念发生过程的教学，把重心放在具体函数单调性证明的训练上，放在作差后如何证明f（x2）f（x1）0的技巧训练上概念的形成过程应该是一个归纳、概括

6、的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流。四学习行为分析要使得学生理解函数单调性的概念，具体可以进行如下的操作。1可以先让学生观察图像，由图像的升降，所对应的函数值的变化，得到图像上升相应的是“随着x的增大，对应函数值y也增大”；图像下降相应的是“随着x的增大，对应函数值y减小”。从图像直观的形象刻画转化为数值之间的关系，加强数与形结合的意识。2函数图像的“升”与“降”是两种不同的性质特征，需要分类研究。明确首先研究函数图像上升的情况，即先研究“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一

7、特征。渗透重要思想。分类思想是一种重要的数学思想，分类讨论是常用的讨论问题的方法。也体现了先解剖一个麻雀，重点研究函数单调增的情况，这样函数单调减就迎刃而解了。3要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个固定的值x1，x2，如果“当x1x2时，有f（x1）f（x2）”，从而得到在该区间上总有f（x1）f（x2）？可以让学生举反例加以说明。培养举反例的能力。4要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个值x1，x2，其中x1是区间左端点，x2可以在区间内任意取值，如果“当x1x2时有f（x1）f（x2）”，能否得到在该区间上总有f（x1）

8、f（x2）？仍然让学生举反例加以说明。5在区间（a，b）上，存在无数个数值，x1x2x3x4xn，有f（x1）f（x2）f（x3）f（x4）f（xn），能否得到在区间（a，b）上函数具有“随着x的增大，对应函数值y也增大” 这一特征。这是具有一定挑战性的问题，需要学生作出认真思考。6在区间（a，b）上怎样取值，使得“当x1x2时，有f（x1）f（x2）”成立，就能够得到函数在区间（a，b）上，随着x的增大，对应函数值y也增大呢？引导学生得到：允许在区间（a，b）上任意取值x1，x2时，“当x1x2时，有f（x1）f（x2）”就可以得到函数单调性的特征。从而产生函数单调性的定义。五教学支持条件分

9、析为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图像，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数值的变化。获得函数单调增、减的直观感受。六教学过程设计1课题引入设计引导学生感受研究函数单调性的必要性。前面已经学习过函数的概念、函数的表示法，紧接着对函数要研究些什么？引导学生认识到，应该认识函数的各种特征。这样，通过研究描述客观世界变化规律的这一数学模型，可以把握现实问题的变化规律。对于运动变化问题，最基本的就是要描述变化的快或慢、增或减相应的，函数的重要特征就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，等等。从研究问题的方法上说，一般来说，建立一个数学概念之后应该揭示

10、它的特征，研究它的性质让学生感受到，紧接着关注函数的性质是必然的学习任务另一方面，还可以由教师引导，借助对一些函数图象的直观观察、对所观察到的特征的归类，引入函数的某类性质的研究比如，观察下图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征吗？ 图1还可以引导学生观察比较多的函数的图象，并进行一些归类说说你为什么把这些函数归为一类。比如都单调增的归成一类；图象都关于y轴对称（偶函数）的归为一类，等等，更好地体现“事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质”这样就形成了课题提出的契机，使得当前来讨论函数的一些性质成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动研究哪些性质？先研究什么

11、性质？我们先研究函数的某一种特征，如函数增减变化的特征总之，作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易共鸣的问题另一种就是，由具体事例引入创设问题情景：图2表示的是某地24小时温度变化的情况你能说说温度变化特点吗？可能的回答是，在夜里的0点到2点，温度越来越低，夜里2点到白天的下午2点，温度不断升高，下午2点到夜里又不断下降引出“函数值y随着自变量x的值增大而增大以及随着自变量x的值增大而见效”等一话题当然由学生自己发现并提出学习的课题更好这可以视学生的具体情况确定 图2数学教学中，应该注意，力求教会学生自己提出问题，并找到研究问题的方法，学会研究问题2问题链设计 问题设计的目的

12、大体从三个层次上展开。首先观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。问题1 列表描点，画函数f（x）x2的图像。x432101234f（x）x216941014916 意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数

13、值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。问题2 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。 图3问题3 当x从小到大变化时，y的值如何变化？意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减

14、小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。问题4 比较下列各数的大小。22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。就x在（0，+）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到223242（4.5）2（5.1）2（6.3）2。显然有：当0x1x2x3x4x5x6时，有0xxxxxx时，即0y1y2y3y4y5y6。意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。问题5 对于函数一个函数f（x），如果12时，有f（1）f（2），能否说函数f（x）在区间（1，2）上递增呢？问题6 函数f（x），对于（0，）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，当0x1

15、x2x3时，有0y1y2y3，能否说函数f（x）在（0，）上递增呢？请画图说明。意图：这两个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。问题7 在函数yx2的图像位于y轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0x1x2时，是否总有y1y2呢？意图：抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。问题8 在函数yx2的图像位于y轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是x1，x2，即当 x1x20时，是否总有y1y2呢？意图：把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1x20时，有

16、y1y2。而0x1x2不变。这样，基本完成难点的突破。问题9 在函数yx2的图像上任意取两点，横坐标分别是x1，x2，当x1x2时，是否总有y1y2呢？意图：函数递增、递减描述需要分段表述。问题10 你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（，）上，对任意x1x2，总有y1y2。意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）x3。加强几何直观与抽象表述之间的联系。问题11 你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，）上，对任意x1x2，总有y1y2。意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到

17、具体，体验函数的这一特征。可能举出的例子是f（x）。也有可能学生举出的例子是f（x）x2，等。3先对具体函数下单调性的定义函数f（x）x2，对于x（0，）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我们说函数f（x）x2在（0，）上是增函数。对于x（，0）上的任意x1x2，都有f（x1）f（x2），我们说函数f（x）x2在（0，）上是减函数。4函数在区间a，b上单调性的定义问题12 函数f（x）在区间a，b上是增函数如何刻画？递减呢？意图：培养学生用数学语言表述函数性质，进一步，以此作为函数单调性的定义。5单调性的认识问题13 函数f（x）在区间（0，）上，总有f（x）f（0），能否说f（x）

18、在（0，）上单调增？请举例说明。意图：概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”中“任意”二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。以后学习立体几何直线与平面垂直的定义时，可以加深对为什么要“任意”取值的理解。一条直线与平面内的无数条直线垂直，并不能断定这条直线与平面垂直，而如果一条直线与平面内的任意一条直线垂直，则直线与平面垂直。6单调性应用概念的应用有助于对概念的理解，有助于进一步把握概念的本质通过一些具体的函数单调性的证明或者函数单调区间的划分可以进一步认识函数的单调性概念例1 物理学中的波利尔定律p（k是正常数）告诉我们，对于一定