函数的单调性78470

1、函数的单调性 湖北省黄石实验高中 杨瑞强 教学目标 知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。 能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察猜想推理证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。： 教学重点：函数单调性的有关概念的理解 教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性 教    具：  多媒体课件、实物投

2、影仪 教学过程： 一、创设情境，导入课题 引例1如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图观察这张气温变化图：  问题1：气温随时间的增大如何变化？ 问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 引例2观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。  结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升； （2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。 上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这

3、种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。 二、给出定义，剖析概念 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 若当<时，都有f()<f(),则f(x)在这个区间上是增函数（如图3）； 若当<时，都有f()>f(),则f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）。  单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知

4、单调区间分为单调增区间和单调减区间。 注意：  （1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 当x1 <x2时，都有f(x1)<f(x2) y随x增大而增大；当x1 <x2时，都有f(x1)>f(x2)y随x增大而减小。 几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。 （2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。  有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非

5、单调函数，如常数函数。  。 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（×） 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。 训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：  三、范例讲解，运用概念 例1 、如图，是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。  注意： （1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的

6、函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。 （2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程： 证明：设任意的，且，则            由，得 于是  即。 所以，在R上是增函数。     分析证明中体现函数单调性的定

7、义。 利用定义证明函数单调性的步骤： 任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2 作差变形：作差f(x1)f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形  判断定号：确定f(x1)f(x2)的符号 得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数） 即“任意取值作差变形判断定号得出结论” 例3、 证明函数在(0,+)上是减函数. 证明：设，且，则         （*）   由，得 又由，得， 于是即。 即。 所以，函数在区间上是单调减函数。 问题1 ：在上是什么函数？(减函数) 问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数？    （学生讨论得出） 四、课堂练习，知识巩固         课本59页 练习：第1、3、4题。 五、课堂小结，知识梳理 1、增、减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是