第2章 随机变量及其分布

1、1第二章第二章 本章用定量的方法，从整体上来研究本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象。随机现象。 随机变量随机变量及其分布及其分布21 1 随机变量随机变量 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了示，由此就产生了随机变量随机变量的概念的概念.1、有些试验结果本身与数值有关、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数本身就是一个数).例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；八月份杭州的八月份杭州的最高温度；最高温度；每天从杭州下火车的人数；每天从杭州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；一、随机变量的概

2、念和例子一、随机变量的概念和例子32、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 例例1 1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：我们引入记号：，若若若若 THXX ,0 , 1)(显然，该试验有两个可能的结果：显然，该试验有两个可能的结果：TH,于是我们就可以用于是我们就可以用1 X表示出现的是正面，表示出现的是正面，而用而用0 X表示出现的是反面。表示出现的是反面。X 就是一个

3、随机变量。就是一个随机变量。4 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每若对于每一个一个S, 有一个实数有一个实数X()与之对应与之对应, 即即X=X()是定义在是定义在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable, 简记为简记为r.v.)。X()SR 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？函数一样吗？.5（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先

4、肯定它将取哪个值预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率值也有一定的概率. 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母 等表示等表示. ， 随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。随机变量则是一种动态的观点。6 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研

5、引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。分类：分类：实际中常遇到的随机变量有实际中常遇到的随机变量有两大类型两大类型连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量7二、随机变量二、随机变量的分布函数的分布函数 为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变

6、量的概合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念念随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。 定义定义 设设X为随机变量，称实函数为随机变量，称实函数 RxxXPxF , )(为为X的的分布函数分布函数。 有有对对任任意意实实数数, )(,baba bXaP )()(aFbF aXPbXP xax b8分布函数的基本性质：分布函数的基本性质： RxxF ,1)(0) 1 (；是单调不减函数是单调不减函数)()2(xF；1)(,0)()3( FF(4) )(xF是是右右连连续续的的：)()(lim00 xFxFxx . . RxxXPxF , )(证略证略9设随机变量设随机变量 X 的分布函数

7、为的分布函数为 2/ , 12/0 ,sin0 , 0)( xxxAxxF ， 解解例例则则 6| XP . . 由由)(xF的的右右连连续续性性知知，1 A； .21021)6()6(6| FFXP10设设)(1xF和和)(2xF分别为随机变量分别为随机变量1X和和2X的分的分布函数布函数. .为使为使)()()(21xbFxaFxF 是某随机变量的是某随机变量的分布函数，下列各组数中应取分布函数，下列各组数中应取( ).( ). 解解例例在在)()(1xaFxF )(2xbF 两两边边令令 x，极极限限均均为为1， (A)52,53 ba (B)32,32 ba (C)23,21 ba (

8、D)23,21 ba 于是有于是有1 ba， 只有只有 (A) 相符相符.11第二节第二节12一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律如果随机变量如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？）所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？）取每个可能值的概率是多少？设设离离散散型型随随机机变变量量X的的可可能能取取值值为为,21xx，而而 ,kkpxXP , 2 , 1 k称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量

9、X 的的分布律分布律或或概率分布概率分布。13或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：,kkpxXP , 2 , 1 kXP1x2xkx1p2pkp显显然然，其其中中ip必必须须满满足足以以下下两两个个条条件件： (1) 非非负负性性 0 ip； (2) 规规范范性性 iip1。 14例例 袋中有袋中有2只蓝球只蓝球3只红球，不放回抽取只红球，不放回抽取3只，记只，记 X为为抽得的蓝球数，求抽得的蓝球数，求 X 的分布律。的分布律。X 可能取的值是可能取的值是 0,1,2，0 XP解解3533CC ,101 1 XP352312CCC ,106 2 XP351322CCC .103 所以所

10、以X的分布律为的分布律为 XP012101106103或表示为或表示为,35332CCCkXPkk .2 , 1 , 0 k15例例 设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，每组信号灯以每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过。以的概率允许或禁止汽车通过。以X表表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(设各设各盏信号灯的工作是相互独立的盏信号灯的工作是相互独立的)，求，求 X 的概率分布的概率分布.依题意依题意, X 可取值可取值0, 1, 2, 3.设设 Ai =第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i

11、=1,2,3路口路口3路口路口2路口路口1解解0 XP)(1AP .21 16路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口11 XP)(21AAP .41 2 XP)(321AAAP .81 17路口路口3路口路口2路口路口1不难看出不难看出.130 iiXP3 XP)(321AAAP .81 所以所以 X 的分布列为的分布列为 XP01221418138118例例 在下列情形下，求其中的未知常数在下列情形下，求其中的未知常数a，已知随机已知随机变量的概率分布为：变量的概率分布为： 解解;), 2 , 1()1( )1(nknnkakXP . )1 , 0( )2(1 kakxP

12、k(1) 由规范性由规范性, nkkXP11 nkknna1)1(, 22)1()1(annnna . 2 a所所以以(2)101 XPXP215 a，2aa )215(舍去舍去 a19离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数设设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量，分布律为，分布律为 , 2 , 1, kpxXPkkRxxXPxF , )( xxkkpxXPxF)(则则20解解例例 设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为： XP013/126/12/1求求 X 的分布函数的分布函数 F(x) .,0时时当当 x,10时时当当 x;0)( xXPxF,21时时当当 x)(x

13、XPxF ；310 XP,2时时当当 x；21613110)( XPXPxF.1210)( XPXPXPxF21故故下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下. 2, 121,2110,310,0)(xxxxxF,0时时当当 x,10时时当当 x;0)( xF,21时时当当 x；31)( xF,2时时当当 x；21)( xF.1)( xF2210 x1)(xF22161分布函数的图形分布函数的图形31一般，离散型随机变量的分布函数呈一般，离散型随机变量的分布函数呈阶梯形阶梯形. . 2, 121,2110,310,0)(xxxxxF23例例 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函

14、数为 解解 31318 . 0114 . 010)(xxxxxF试求试求 X 的分布律。的分布律。 XP- -1130.40.40.224二、几种常见的离散型随机变量的分布二、几种常见的离散型随机变量的分布背景背景: 作一次伯努利试验的成功次数作一次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布所服从的分布.XP01p 1p.1 , 0,)1(1 kppkXPkk分布律为分布律为或用公式表示或用公式表示( (一一) 0-1) 0-1分布分布( (两点分布两点分布) )25( (二二) ) 二项分布二项分布 (Binomial Distribution)若随机变量若随机变量 X 的的分布律为分布律为定义

15、定义,)1(knkknppCkXP nk, 2 , 1 , 0 则称则称 X 服从参数为服从参数为n,p的的二项分布二项分布， ),(pnBX记为记为验证规范性：验证规范性： nkknkknppC0)1(npp)1( .1 背景背景: 作作 n 次伯努利试验的成功次数次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布所服从的分布.26例例 某人打靶某人打靶, 命中率为命中率为 p = 0.8, 独立重复射击独立重复射击5次次, 求：求： (1) 恰好命中恰好命中2次的概率；次的概率； (2) 至少命中至少命中2次的概率；次的概率； (3) 至多命中至多命中4次的概率。次的概率。解解设设 X 为命中数，为

16、命中数， ，则则)8 . 0, 5( BX(1)2 XP.0512. 02 . 08 . 03225 C(2)2 XP101 XPXP.99328. 02 . 08 . 052 . 0145 (3)4 XP51 XP.67232. 08 . 015 27解解例例 某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为0.7，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。 提出正确意见的顾问人数提出正确意见的顾问人数 )7 . 0, 7(

17、BX则经理作出正确决策的概率为则经理作出正确决策的概率为 4 XP 74773 .07 .0kkkkC.874. 0 28解解例例 对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率疾病的治愈率p = 0.8。现在现在10个患者同时服此药，求个患者同时服此药，求至少有至少有6个患者治愈的概率个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立假定患者之间相互独立)。治愈人数治愈人数 )8 . 0,10( BX则至少有则至少有6个患者治愈的概率为个患者治愈的概率为6 XP 10610102 .08 .0kkkkC.97. 0 这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为

18、这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为 0.8，则在则在 10 人中治愈人数少于人中治愈人数少于 6 人的情况是很少出现的。人的情况是很少出现的。因此，如果在一次实际试验中，发现因此，如果在一次实际试验中，发现 10 个病人中治个病人中治愈不到愈不到 6 人，那么假定治愈率为人，那么假定治愈率为 0.8 就值得怀疑了。就值得怀疑了。 29解解例例 假设有假设有10台设备，每台的可靠性台设备，每台的可靠性( (无故障工作的概无故障工作的概率率) )为为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整问，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在为保证在95% %的情况下当设备出现故障时都能及时得到的情

19、况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？调整，至少需要安排几个人值班？ 出故障机器台数出故障机器台数 )1 . 0,10( BX求满足求满足95. 0 kXP的最小的最小k值，值， 0 XP,0574. 010. 090. 0337310 CXP1090. 0 ,3487. 0 1 XP10. 090. 09110 C,3874. 0 ,1937. 010. 090. 0 228210 CXP7361. 0 9298. 0 9872. 0 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 30问题：问题：若有若有200台设备呢？台设备呢？ 需中心极限定理解决。需中心

20、极限定理解决。解解出故障机器台数出故障机器台数 )1 . 0,10( BX求满足求满足95. 0 kXP的最小的最小k值，值， 0 XP,0574. 010. 090. 0337310 CXP1090. 0 ,3487. 0 1 XP,3874. 0 ,1937. 010. 090. 0 228210 CXP7361. 0 9298. 0 9872. 0 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 10. 090. 09110 C31解解例例 (保险事业保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为若一年中某类保险者的死亡率为0.005。现有现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些万

21、人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，保险者里面，(1) 有有40人死亡的概率；人死亡的概率；(2) 死亡人数不死亡人数不超过超过70人的概率。人的概率。 死亡人数死亡人数 )005. 0,10000( BX40 XP(1).995. 0005. 09960404010000C (2)70 XP.995. 0005. 07001000010000 kkkkC计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。 32定定理理( (泊泊松松) ) 设设在在n次次贝贝努努利利试试验验中中, ,每每次次成成功功的的概概率率为为np, ,如如果果有有, lim

22、 nnnp则则有有 .e!)1(lim kppCkknnknknn证略证略. .在在实实际际应应用用中中，如如果果n很很大大，p很很小小，而而np 大大小小适适中中)101 . 0(，则则有有近近似似公公式式 ， e!)1(kppCkknkkn. np 其其中中33解解例例 假如生三胞胎的概率为假如生三胞胎的概率为10- -4，求在求在10万次生育中，万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率。恰有两次生三胞胎的概率。 10万次生育中生三胞胎的次数万次生育中生三胞胎的次数 )0001. 0,100000( BX直接用伯努利公式计算得直接用伯努利公式计算得 ，0022693. 0)1(2222 nnpp

23、CXP用泊松近似公式，用泊松近似公式， ，10 np .002270. 0e! 222 XP可见，当可见，当 n 非常大时，近似程度令人满意。非常大时，近似程度令人满意。 34 在历史上在历史上泊泊松分布是作为二项分布的近似松分布是作为二项分布的近似, ,于于1837年由法国数学家年由法国数学家泊泊松引入的。近几十年来松引入的。近几十年来，作为描绘，作为描绘“稀有事件稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，泊计数资料统计规律的概率分布，泊松分松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一布之一，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领，在质量

24、控制、排队论、可靠性理论等许多领域内都有重要应用域内都有重要应用 实例：实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为参数为0.61的泊松分布；的泊松分布；2）1500年到年到1932年之间每年发生战争的次数（规模年之间每年发生战争的次数（规模超过超过50000人）服从参数为人）服从参数为0.69的泊松分布。的泊松分布。( (三三) ) 泊松分布泊松分布(Poisson Distribution)35定义定义 若随机变量若随机变量 X 的概率分布为的概率分布为 ,e! kkXPk, 2 , 1 , 0 k)0( 验证验证规范性：规范性： ， e!0 kkk.

25、1e!0 kkk 则称则称X服从服从参数为参数为 的的泊松分布泊松分布, ,记为记为 . )( PX麦克劳林级数麦克劳林级数,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x36泊松分布的实际背景：泊松分布的实际背景：最简流最简流。 例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头断头所形成的随机质点流。所形成的随机质点流。 分布参数的概率意义：分布参数的概率意义： 是是单位时间

26、出现的随机单位时间出现的随机质点的平均个数质点的平均个数。37例例 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均5秒钟有秒钟有1辆汽车通过，求辆汽车通过，求10秒钟内通过的汽车不少于秒钟内通过的汽车不少于2辆的概率。辆的概率。 解解 设设X为为10秒内通过的汽车数，秒内通过的汽车数， ，则则)2( PX2 XP101 XPXP e)! 1! 0(110.594. 0e312 38例例 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，每月销售量服从泊松分布，= = 4 4，问在月初进货时问在月初进货时

27、要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满的概率充分满足顾客的需要？足顾客的需要？ 解解销售量销售量 ，)4( PX设至少库存设至少库存 N 件，则件，则 NXP NkkXP0 Nkkk0e! ，95. 0 经计算，必须取经计算，必须取 N = 8。 39( (四四) ) 几何分布几何分布 在在伯伯努利试验中，每次成功的概率为努利试验中，每次成功的概率为 p，若记若记 X为首次成功时所做的试验数，则为首次成功时所做的试验数，则 X 服从的概率分布服从的概率分布称为称为 几何分布几何分布： ,)1 (1ppkXPk , 2 , 1 k验证验证规范性：规范性： 1

28、1)1(kkpp)1(1pp .1 40例例 某人有某人有 n 把钥匙，仅有一把能打开门，随机选把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第一把试开，开后放回，直至打开为止，求第 s 次才次才打开门的概率。打开门的概率。解解 开门次数开门次数 X 服从几何分布，服从几何分布， ,1np .1)11(1nnsXPs 41例例 设某批产品共有设某批产品共有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品。按如件次品。按如下两种方式从中任选下两种方式从中任选 n 件产品件产品： (1) 每次取出观察每次取出观察后放回；后放回；(2)不放回。设取得的次品数为不放回。设取得的次品数为 X

29、，试分别试分别就所述的两种情形，求就所述的两种情形，求 X 的分布律的分布律.( (五五) ) 超几何分布超几何分布 (1) 由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为概率均为M/ /N，所以所以解解nkNMNMCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 ()( 即即, ),(NMnBX42(2) 若不放回，在若不放回，在N件产品中任选件产品中任选 n 件，其中恰好有件，其中恰好有 k件次品的取法共有件次品的取法共有，knMNkMCC nkCCCkXPnNknMNkM, 2, 1 , 0, 所以所以称之为称之为超几何分布超几何分布。43练习：练习：

30、P64 习题二习题二1. 2. 3. 4. 44第三节第三节45一、概率密度函数一、概率密度函数定定义义 如如果果对对于于随随机机变变量量X的的分分布布函函数数为为)(xF，存存在在非非负负可可积积函函数数)(xf，使使对对任任意意Rx ，有有 ， xttfxFd)()(则称则称X为连续型随机变量，其中为连续型随机变量，其中f( (x) )称为称为X的的概率密概率密度函数度函数，简称，简称概率密度概率密度。 由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连续型随机变量的分布函数是续型随机变量的分布函数是连续函数连续函数。46概率密度函数概率密度函数f( (x)

31、)的基本性质：的基本性质： (1) 非非负负性性：0)( xf，Rx . (2) 规规范范性性：.1d)( xxf ， xttfxFd)()(10 x)(xf1)( F47概率密度函数概率密度函数 f (x) 的的其他其他性质：性质： ， xttfxFd)()(3) 对对于于任任意意实实数数ba , 有有 .d)( baxxfbXaP)()(aFbF (4) 若若)(xf连连续续, 则则有有 )()(xFxf . 密密度度函函数数)(xf与与分分布布函函数数)(xF的的关关系系： ， xttfxFd)()(. )()(xFxf 48(1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为连续型随机变量取

32、任何一个指定值的概率为 0.即即, 对于任意常数对于任意常数 c, 有有.0 cXP(2) 若若 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, 则则说明：说明：而而 X = c 并非不可能事件并非不可能事件,称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见可见，由由P(A) = 0, 不能推出不能推出；A 由由P(B) = 1, 不能推出不能推出.SB bXaP bXaP bXaP bXaP 49解解例例 已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 其他其他 ,010 ,)(xxAxf确定系数确定系数 A，并求并求 X 的概率分布函数的概率分布函数 F

33、(x). xxfd)(A2 .21 A,0时时当当 x， xttfxFd)()(,10时时当当 x；x ;0d)()( xttfxFttxFxd21)(0 10dxxA102xA ，1 50,1时时当当 x.111000)( xxxxxF0 x)(xF1 1.1d21)(10 ttxF51例例 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 解解 其他其他 , 033 ),9()(2xxAxf(1)求求（1）常常数数 A； （2）)0( XP，)2( XP，)11( XP； （3）分分布布函函数数)(xF。 (2) 332d)9(xxA,136 A.361 A)0( XP 032d)9(3

34、61xx,21 )2( XP 322d)9(361xx,272 )11( XP 102d)9(181xx.2713 52,3 x 3 , 133 ,108141213 , 0)(3xxxxxxF,0)( xF所以所以(3) xttfxFd)()(,33 x xttxF32d)9(361)(,108141213xx ,3 x 332d)9(361)(xxxF,1 其他其他 , 033 ),9()(2xxAxf53例例 三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量寿命是随机变量( (小时小时) )，假设其概率密度为假设其概率密度为 ，若若，若若

35、100 0 100100)(2xxxxf且三个元件的工作状态相互独立试求，且三个元件的工作状态相互独立试求， (1) 该电路在使用了该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正小时后，三个元件仍都能正常工作的概率常工作的概率； (2) 该电路在使用了该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损小时后，至少有一个元件损坏的概率坏的概率。54解解 ，若若，若若100 0 100100)(2xxxxf(1) 设设kX为为第第 k 个个元元件件的的寿寿命命，则则 150 kkXA (1) 该电路在使用了该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正小时后，三个元件仍都能正常工作的概率常工作的概率； 表示

36、表示“在使用了在使用了150个小时后，第个小时后，第k个元件个元件仍然能正常工作仍然能正常工作”： )3 , 2 , 1( k150)( kkXPAP 1502d100 xx32 )(321AAAP 278)(1 3AP 150)1(100 x55解解 ，若若，若若100 0 100100)(2xxxxf(2) 该电路在使用了该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损小时后，至少有一个元件损坏的概率坏的概率。(2) 设设)3 , 2 , 1( 300 kXBkk表示第表示第 k 个元件个元件的寿命小于的寿命小于 300 小时，则小时，则 300)( iiXPBP 3001002d100 xx

37、)(321BBBP ,32 )()()(1321BPBPBP 2726 3)321(1 300100)1(100 x 56练习：练习：P64 习题二习题二5. 6. 16. 57二、几种常见的连续型随机变量的分布二、几种常见的连续型随机变量的分布定义定义 如果随机变量如果随机变量X的概率的概率密度为密度为 其其他他若若 , 0 , 1)(bxaabxf则称则称 X 服从区间服从区间 (a, b) 上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作),(baUXab)(xfx1 1、均匀分布、均匀分布 (Uniform Distribution)58ab)(xfx 其其他他若若 , 0 , 1)(bxaabx

38、f bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0 )(若若若若若若它的分布函数为它的分布函数为ab1)(xFx159，设设),(baUX，对对),(,badc dcabxdXcPd.abcd 这表明，这表明，X 取值于取值于(a, b)内的任一区间的概率与区内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关，这这就是均匀分布的概率意义。就是均匀分布的概率意义。 其其他他若若 , 0 , 1)(bxaabxf60例例 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30, 7

39、:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀随机变量随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率。分钟的概率。解解依题意，依题意，以以7:00为起点为起点0,以分为单位，以分为单位， 其它其它, 0 300,301)(xxf 为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30251510 XPXP,31305305 即乘客候车时

40、间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3., )30, 0( UX61设随机变设随机变量量 X 服从服从)6, 1(上的均匀分布，则方程上的均匀分布，则方程012 xXx有实根的概率为有实根的概率为 . . 解解例例2 X 或或 2 X， ,042 X所求概率为所求概率为 .540162622 XPXP622 2、指数分布、指数分布(Exponential Distribution)定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 的概率的概率密度为密度为 0 ,00 ,e)( xxxfx若若若若 其其中中0 为为常常数数，则则称称X服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布， )(x

41、fx 记为记为. )( EX分布函数为分布函数为.0 ,00 ,e1)( xxxFx若若若若 0dexx 1e0 x 规范性：规范性：63 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种常用它来作为各种“寿命寿命”的分布的近似。例如。的分布的近似。例如。电子电子元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服务系统中的服务时间务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布。等都可认为是近似服从指数分布。 指数分布有一个重要性质：指数分布有一个重要性质：“无后效性无后效性”或或“无记无记

42、忆性忆性”。具体叙述如下：。具体叙述如下：|tXPsXtsXP ，设设)( EX有有，对对0, 0 ts sxxfsXPd)(证证 sxxde sx e，s e64，ssXP e| sXPtsXPsXtsXP tsts eee)(.tXP 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命的寿命, ,则上式表明则上式表明, ,在该元件已工作了在该元件已工作了s小时的条件下小时的条件下, ,它还能继续工作它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间小时的概率与已经工作过的时间s无关无关. .换句话说换句话说, ,如果元件在时刻如果元件在时刻s还还“活着

43、活着”,”,则它的剩余寿命则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布的分布还是原来寿命的分布, ,而与它已工作了多长的时间而与它已工作了多长的时间无关无关. .所以有时又称指数分布是所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的的. . 值得指出的是值得指出的是, ,我们可以证明我们可以证明, ,指数分布是唯一具有指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布无记忆性的连续型分布. .65例例 假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为为0.1的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求通话，试求: : 解解(1) 此

44、人至少需要等此人至少需要等10分钟的概率分钟的概率； (2) 此人需要等此人需要等10到到20分钟的概率分钟的概率 以以 X表表示示一一次次通通话话时时间间，则则根根据据条条件件) 1 . 0( EX, 10 )1( XP 2010 )2( XP 101 . 0de1 . 0 xx;3679. 0ee1101 . 0 2325. 0ee21 20101 . 0de1 . 0 xx 101 . 0ex66例例 假设某种设备的使用寿命假设某种设备的使用寿命 X (年年)服从参数为服从参数为0.25的的指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年内损坏

45、，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢利利100元，而调换一台设备厂家要花费元，而调换一台设备厂家要花费300元，求每台元，求每台设备所获利润设备所获利润 Y 的分布律。的分布律。 解解X 的密度函数为的密度函数为 )1( XP 1025. 0de25. 0 xx1025. 0ex ,2212. 0e125. 0 ,7788. 0e)1(25. 0 XP 0 ,0 0 ,e25. 0)(25. 0 xxxfx所以所以 Y 的分布律为的分布律为 YP100- -2007788. 02212. 0673 3、正态分布、正态分布 (Normal Dis

46、tribution) 正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。践与理论两方面的原因。 实践方面的原因是，正态分布是自然界最实践方面的原因是，正态分布是自然界最常见常见的一的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态分布。一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，分布。一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠而每一个因素都不起决

47、定性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用下一章加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用下一章的极限定理来加以证明。的极限定理来加以证明。 从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以正态分布可以导出导出一些其它分布，而某些分布（如二项一些其它分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来近近似似。 68定义定义 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 xxfx e21)(222)(， 其其中中0 , , 则则称称X服服从从参参

48、数数为为 ,的的正正态态分分布布, , . ),(2 NX记记为为 )(xfx69正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：x轴轴( (0)(lim xfx) )； 222)(e21)( xxf在在),( 内内单单调调增增, ,在在),( 内内单单调调减减； )(xfx(1) 对称轴：对称轴： x(2) 渐近线：渐近线：(3) 单调性：单调性：70正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态： )(xfx当当 x处处达达到到最最大大值值 21； 21 (4) 顶点顶点(最大值最大值)：(5) 两个拐点两个拐点： x222)(e21)( xxf71正态分布密度函数的几何性

49、态：正态分布密度函数的几何性态： )(xfx 21 (6) 确确定定曲曲线线在在坐坐标标系系中中的的位位置置， 影影响响曲曲线线的的形形状状：当当 较较大大时时，曲曲线线较较平平坦坦；当当 较较小小时时，曲曲线线较较陡陡峭峭. 222)(e21)( xxf72正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为 xtxFxt,de21)(222)( )(xFx173txxtde21)(22 10 ,的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. . xxx,e21)(22 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x )(x)(x x)(xx0.51) 1, 0(N泊

50、泊松积分松积分 2de22 xx74书末书末 P195 附有标准正态分布函数数值表附有标准正态分布函数数值表. )(1)(xx 表中给的是表中给的是 x 0 时时, (x)的值的值.当当 x 0 时，时，)(x x)(xxx 75若若 XN(0,1),)()(abbXaP 则则例例解解设设) 1, 0( NX, 求求：(1)2) 2( ,10 XPXP. 10)1( XP5 . 08413. 0 .3413. 0 2|)4( XP)2()2( 22 XP1)2(2 19773. 02 .9546. 0 )0()1( 2|)4( ,1)3( XPXP2)2( XP.9773. 0 )2( 1)3

51、( XP.1587. 0 )1(1 , )(bbXP .)(1aaXP 76任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。为标准正态分布。，若若),(2 NX. ) 1, 0( NXY 则则定理定理, ),(2 NX若若)()( abbXaP )( bbXP)(1 aaXP77例例解解设设)4 , 3( NX,求求:(1)2| )2( ;53 XPXP. 53)1( XP)0()1( .3413. 0 2| )2( XP221 XP)232()232(1 )5 . 2()5 . 0(1 .6977. 0)5 . 0()5 . 2(1 2

52、| 1 XP)233()235( 7853)1( XP)0()1( .3413. 0 2| )2( XP)232()232(1 )5 . 2()5 . 0(1 .6977. 0)5 . 0()5 . 2(1 22 XPXP)233()235( 解解例例设设)4 , 3( NX,求求:(1)2| )2( ;53 XPXP. 79例例则则设设, ),(2 uNX| kXP )()(kk ；6826. 01)1(2| XP kXkP ，1)(2 k；9544. 01)2(22| XP .9974. 01)3(23| XP 因因此此可可以以说说，若若),(2 uNX，则则在在一一次次试试验验中中，X几

53、几乎乎总总是是落落在在)3,3( 之之中中。 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 原则原则” (三倍标准差原则三倍标准差原则)，生，生产中常作为质量控制的依据。产中常作为质量控制的依据。kXkP 80 x 2 2 3 3 68.26%68.26%95.44%95.44%99.74%99.74%81例例 设某批鸡蛋每只的重量设某批鸡蛋每只的重量X( (以克计以克计) )服从正态分布服从正态分布 XN( (50 25) ) (1) 求从该批鸡蛋中任取一只求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足其重量不足45克的概率克的概率；(2) 从该批鸡蛋中任取一只从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于其重量介于40克到

54、克到60克之间克之间的概率的概率；(3) 若从该批鸡蛋中任取五只若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有试求恰有2只鸡蛋不足只鸡蛋不足45克的概率克的概率；(4) 从该批鸡蛋中任取一只其重量超过从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率克的概率；(5) 求最小的求最小的 n 使从中任选使从中任选 n 只鸡蛋只鸡蛋 其中至少有一只其中至少有一只鸡蛋的重量超过鸡蛋的重量超过60克的概率大于克的概率大于0 99。解解 (1)55045( )1(1 )1( ;1587. 08413. 01 45 XP82(3) 设设 Y 为为 5 只鸡蛋中重量不足只鸡蛋中重量不足 45 克的鸡蛋数克的鸡蛋数，则则Y B(5

55、0.1587) 故所求概率为故所求概率为 )25,50( NX(2)6040 XP)2()2( )55040()55060( 1)2(2 2 0.9773 1 0.9546 ； 2 YP;15. 0 3225)8413. 0()1587. 0(C (2) 从该批鸡蛋中任取一只从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于其重量介于40克到克到60克之克之间的概率间的概率；(3)若从该批鸡蛋中任取五只若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有试求恰有2只鸡蛋不足只鸡蛋不足45克的概率克的概率 83 设设 Z 表示表示n只鸡蛋中重量大于只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数克的鸡蛋数 则则 Z B( (n 0.0228) ) (

56、4)60 XP)55060(1 )2(1 (5)因为因为1 ZP欲使欲使,99. 01 ZP即即,01. 09772. 0 n解得解得.2009772. 0ln01. 0ln n;0228. 09772. 01 01 ZP,)0228. 01(1n (4) 从该批鸡蛋中任取一只其重量超过从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率克的概率；(5) 求最小的求最小的 n 使从中任选使从中任选 n 只鸡蛋只鸡蛋 其中至少有一只其中至少有一只鸡蛋的重量超过鸡蛋的重量超过60克的概率大于克的概率大于 0 99。84例例 若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条

57、路线过市区，路程短但拥挤，所需时间过市区，路程短但拥挤，所需时间(分分)服从正态分布服从正态分布N(50, 100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间所需时间(分分)服从正态分布服从正态分布N(60, 16)。问：问：(1) 假如有假如有70分钟可用，应选哪条路？分钟可用，应选哪条路？(2) 若只有若只有65分钟，又应走分钟，又应走哪条路？哪条路？解解 记行走时间为记行走时间为 t， (1) 若有若有70分钟可用，分钟可用，)100,50( Nt70 tP，)16,60( Nt走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 ，)

58、2()105070( 85，)100,50( Nt，)2()105070(70tP ，)16,60( Nt走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 )5 . 2()46070(70tP . )2( 因此，若有因此，若有70分钟可用，应选第二条路线。分钟可用，应选第二条路线。 解解记行走时间为记行走时间为 t， (1) 若有若有70分钟可用分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 86，)5 . 1()105065(65tP 走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 )25. 1()46065(65tP . )5 . 1( 因

59、此，若有因此，若有65分钟可用，应选第一条路线。分钟可用，应选第一条路线。 (2) 若有若有65分钟可用分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 ，)100,50( Nt，)16,60( Nt解解记行走时间为记行走时间为 t， 87解解例例 若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400, 1002)，共有共有2000人参加考试，假定只录取前人参加考试，假定只录取前300名，求分数线名，求分数线 a，使考生总分超过使考生总分超过 a 的概率等于的概率等于升学率。升学率。 设设X表示考试总分，则表示考试总分，则 , )10

60、0,400(2NX，要要求求2000300 aXP，即即85. 02031 aXP，于于是是85. 0)100400( a，查查表表得得04. 1100400 a.504 a88练习：练习：P64 习题二习题二7. 8. 9. 10. 11. 12. 89第四节第四节 90 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一命中点的位置是由一对随机变量对随机变量(两个坐标两个坐标