2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

1、i圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1 定义法2、 韦达定理法3、 设而不求点差法4、 弦长公式法5、 数形结合法6、 参数法（点参数、 K 参数、角参数）7、 代入法中的顺序8 充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2 ）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1 曲线的形状已知 -这类问题一般可用待定系数法解决。2 曲线的形状未知-求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7 ）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中， r 什 r2=2a

2、。第二定义中，ri=edir2=ed2。（2） 双曲线有两种定义。第一定义中，ri-辽=2a，当 rir2时，注意 匕的最小值为 c-a：第二定义中，ri=edi,2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。ii2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问3题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别

3、式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x2,y2)，弦 AB 中点为 M(xo,yo)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中 点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：A、B ,设弦 AB 中点为 M(xo,yo),则有笃卑k= 0。(其a b中 K 是直线 AB 的斜率)v2Xo2-1(a0,b0)与直线 I 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(Xo,yo)则有

4、上2bab中 K 是直线 AB 的斜率)(3)y2=2px( p0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(xo,yo),则有 2yok=2p,即 yok=p.(其中 K 是直线 AB 的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y =kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2bx0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为,则|AB 1 k2|xA-xB戶3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M ,求点 M

5、 到 x 轴的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(X1,x/), B(X2, X22),又设 AB 中点为 M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出 y。关于 X。的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。2 2解法一：设 A(X1, X1), B(X2, X2), AB 中点 M(X0, yo)(X1-X2)2- (xf -X；)2=92 2由得(X1-X2) 1+(x1+X2) =9即(X1+ X2)2-4X1X2 1+(X1+X2)2=9由、得 2x1X2=(2x0)2-2yo=4x02

6、-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=97XX2=2XQx1x2=2yo84yo=4x（笃二冷21）2?14x24x01-52.9-1= 5, y04法二：如图，2MM2|AA2|BB2|AF| BF|亠AB =331 3MM,即MMj+ 兰-,24 25MM,当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。45 M 到 x 轴的最短距离为54点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1, X2，从而形成 y。关于 X。的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A

7、、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】2 2例 6、已知椭圆 1(2乞m乞5)过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次m m T交于 A、B、C、D、设 f(m)= |AB CD| ,( 1)求 f(m),( 2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立

8、即可得 4y_4x：1 4x2当 4XO2+仁 3即xo-时,252 5（yo）min蔦此时M（一亍4）yM JBAA10MLB1xA曲B2A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上，B9f (m) = (XB-XA) j2 (XD-Xc)Q| = J2|(XB-XA) -(XD-Xc)|72 (xB +xc) (XA+XD) |lly / C/丄DF1丿B ArFx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：（1）椭圆 1中，a2=m, b2=m-1 , c2=1，左焦点 Fi（-1,0）m m 1则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0222得(m-

9、1)x +m(x+1) -m +m=02 2/(2m-1)x +2mx+2m-m =0设B(x1,y”,C(x2,y2),则 X1+x2=-(2乞m空5)2m 1f(m) =|AB - CD|=2(XB-XA)-(XD- xj(2)f (m) = . 22m11= ,2(11)2m12m1点评：此题因最终需求XBXC，而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M（X0,y。）,通过将 B、C 坐标代入作差，得一0k = 0，将 y0=x0+1 , k=1 代入得0, -x0m=2(X1X2) -(XAXc)二2X1X22m2m-1当m=5时，f ( m)min10、29当

10、m=2 时,f ( m)max4、2310m m1m m12m 12m可见xBxC:当然，解本题的关键在于对f(m)= AB _CD的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现f(m) = XB+xC是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判 别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运

11、算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1.以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例 1、过椭圆y1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。164解：设直线与椭圆的交点为A(x1,yj、B(X2,y2)M (2,1)为AB的中点 .x1x4% y2= 22 2 2 2；又A、B两点在椭圆上，则X14y116，X24y216两式相减得(xj -x22) 4(%2- y22) = 0于是(X1X2)(X1-X2)4(% y2)(y1- y?)=0y1-y2X1X241- - - - - , - -X1-X24( y1y2)4 2211即kAB，故所求直线的方程为y-1

12、 (x-2)，即x，2y-4 = 0。222例 2、已知双曲线x21，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B，且点M是线2段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。2m -111解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)则X1+ X2= 2力+ y2= 212两式相减，得1(X. %)(为旳-2(%y2)(yy4 0kAB故直线AB : y=2(x -1)y -1=2(x-1)由2y2消去y，得2

13、x2-4x3 =0 x1I 22 =( -4)4 2 3 -8：0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断 点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆 锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹y2x21例 3、已知椭圆1的一条弦的斜率为 3,它与直线x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的75 252坐标。1解:设弦端点P(X1，yJ、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(x,yo)，则

14、x：2X1 X22x0-1，y1y2=2y02 2y_.X_=17525两式相减得25(y1y2)(y y2) 75(x1x2)(x. -x20即2y0(y1- y2)3(X1-X2)=0y1 y23X1-X22 yk -y1y2-3.3=3，即y0 =1X1 X22y02一1 1点M的坐标为(一，)2 22 22Xi1,222y彳x2一= 12yi- y2_2X.-X?2 2752513例 4、已知椭圆匚-1,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。7525解:设弦端点P(x1, yO、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(x, y)，则142 2 2 2y_.X_=i,竺75257525两式相减

15、得25(y1y2)(%y2) 75(x1x2)(%x2) =03x=3，即x y =0 y53 5.35 35 3、P( ,)Q( ,)2 2 2 点M在椭圆内5135勺3它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x*（号*音）2例 1 已知椭圆 y1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程2解 设弦的两个端点分别为P x1, y-!,Q x2, y2，PQ的中点为M x, y.2 2则 -力2h，( 1)y22=1，( 2)2 2xj冷222论+x2% y21-2得：-viv22=0，-2yiV2=0.22为x2又治x2= 2x, % y2= 2y, = 2，x 4 y = 0.T弦中点轨迹在已知椭圆内，.

16、所求弦中点的轨迹方程为x 40（在已知椭圆内）. 2例 2 直线l:ax-y - a，5 =0（a是参数）与抛物线f : ;x 1的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是_ .解设A为，屮、B x2, y2，AB中点M x, y，则X2= 2x.x1x2=2x,yiy2=2y即y(yi- y2)3x(x-x2）=0，即3xyXi X2-| - x y 0由=1，得7525 -15TI : a x T - y 5 = 0，l过定点N 1,-5，- kABy 5x 1162 2yiy2=Xi *1 I.x2*1=xix2xix22,kAB二-yiy2二捲X22.X|_X2T弦中点轨迹在已知抛物线内

17、，.所求弦中点的轨迹方程为y=2x2-7(在已知抛物线内)3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 1例 5、已知中心在原点，一焦点为F(0,、- 50)的椭圆被直线丨：y二3x -2截得的弦的中点的横坐标为-，求2椭圆的方程。2 2解：设椭圆的方程为 爲笃=1，则a2_b2=50a2b2a2两式相减得b2(y1y2)( - y2) a2(xjx2)(x!- x2) = 02 2即b (y1- y2)a(为 一X2) = 02 22=片笃=3X1- X2bb联立解得a2=75,b2= 252 2所求椭圆的方程是- 1752511X0，y3x0- 2 X1X2=2x0=1,yy2二2y 二-1设弦端点

18、P(X1，yJ、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则2 22y22X22得:于是y 5x -1即y =2x2- 7=1b217例 3 已知ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，其中A 2,8，且ABC的重心G是抛物线的 焦点，求直线BC的方程.解 由已知抛物线方程得G 8, 0.设BC的中点为M x0, y0,则A、G M三点共线，且182 2xo1 28 2yo12(Xo二11解得,.M 11,-4.y。4设B为，,C X2,y2，则y1 y-8.22又y132x1, (1)y32x2, (2)22Vi V232321 - 2得：y2= 32 Xj-X2,- kBc-4.X1

19、-X2y1 +y2一8.BC所在直线方程为y- -4 x-11,即4x - y-40=0.AG =2 GM，二G分AM所成比为2，于是2 2例 4 已知椭圆笃爲冷a b 0的一条准线方程是xa b=1 ,有一条TT的直线交椭圆于4A B两点，若AB的中点为Cl1,丄，求椭圆方程.I 2 4丿(-)解设A X1,y1、B X2,y2，则x-ix2-1,y1y，且2X12a(1)2X2-2a1-2得:a22_y2b2X1-X22b为X2a2y1y2b2_ -a-1-2% 一丫22b2a2= 2b2Xj-x2192 2例 6、已知椭圆 =1，试确定的43m取值范围，使得对于直线y = 4x m椭圆上

20、总有不同的两点2又=1，- a2= c，c(4)而a2二b2c2，（5）由（3）， （ 4）， （5）可得a24,b1，所求椭圆方程为.4122 2x_ .丄14=1.4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题20关于该直线对称。解：设R(x1，yj，卩2区，丫2)为椭圆上关于直线y=4x + m的对称两点，P(x, y)为弦PR的中点，贝V22223x1- 4y1=12,3x24y2=122222两式相减得，3(x-|x2) 4(% -y2)=0即3(xiX2)(xi-X2)4(yy2)(yi-y2)=0一y2x1x2= 2x,yiy2= 2y,-Xi-X2二y=3x这就是弦RP2中点P轨迹方程。

21、它与直线y =4x - m的交点必须在椭圆内3则必须满足y2：3-x2，45.求直线的斜率(2)解Vx1x2-8，设线段AC的中点为D 4,yo.数列.(1)求证：X1X2= 8；(-)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.2 2例 5 已知椭圆1上不同的三点259，5F 4,0的距离成等差(1)证略.八3x，得丿y =4x + mx = -my = -3m即(3m)2：一 ，解得-聖4132-13y2).(1) 求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离；2(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求yiy2的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数yo22

22、解略：设 A (yi,yi) ,B(y2,y2)，贝U亠yYi1AB22Y2- YIY2YI由题意，kAB=-kAC,又kop%丫2x1x2b2r （定值）a kpA=YI-y。22y1 y。亠kpB=YIYOy2- yo1Y2YoY1YoY2- Yo，则Y22yo24则：kAE=为定值。2yo例 10、抛物线方程 y2二 p(x 1)(p o)，直线 xy 二 t 与 x 轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且 OA 丄 OB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。(1 )证明：抛物线的准线为1: x = -1 -上

23、4由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t, o)在准线右边，得t -1 -p，而 4t p 4 o4-ix y =t22由2消去 y 得 x2-(2t p)x (t2- p)=oy =p(x 1):=(2t p)2-4(t2-p)=p(4t p 4) o故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X1, Y1),点 B(X2, Y2)丄2X1X2=2t p, X1X2 =t- pQOA_OB kOAkOB-125贝 U X1X2yiy2 =0又 y2=(t xj(t X2)2.X1X2y2=t -(t 2)p =0又 p 0, 4t p 4 .0 得函数 f(t)的定义域是(-2, 0)

24、 一(0,:：)【同步练习】221、已知：F1,2是双曲线 $ 与=1的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点 A、B，若ABa b ABF?的周长为(抛物线 y=2x2截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2 , 0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 _P =f(t)=t212A、 4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线X+5=0 的距离小1,则 P 点的轨迹方程是3、0), (1 ,C、4、C、5、2 “y

25、=-16x已知 ABC0)，则顶点B、y2=-322C、y =16x24D、 y =32x的三边 AB、BC、AC的长依次成等差数列,且AB AC，点 B、C 的坐标分别为(-1,A 的轨迹方程2 2x y14322X- 1(x：0)过原点的椭圆的一个焦点为(x一1)2y2x2(y -)22x已知双曲线一B、x2= 1(x0)= 1(x 0且y二0)F(1，9(x 1)49= T)42=1 上一点9160)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是1229B、(x ) y (x 1)4x2(y g)2=?(x = _1)24D、M 的横坐标为6、7、1、C269、 直线 y=kx+1 与双曲线 x

26、2-y2=1 的交点个数只有一个，则k=_2 210、 设点 P 是椭圆 -=1 上的动点，F2是椭圆的两个焦点，求 sin /F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线 I 与此椭圆相交于 A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2，1)，AB = 4/3，求直线 I 的方程和椭 圆方程。2 212、已知直线 I 和双曲线 笃-与=1(a 0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。a b求证：AB = CD参考答案27，由，得XM-1,2 2y 仁 y2=2(x1_X2)1 1x=2(y2

27、)7、y2=x+2(x2)设 A(x1, yj , B(X2,2) , ABy1=2X1, y；=2X2, y；- y；= 2(X1X2),y吐(%y?) =2Xr_X2=8, C = 212,令x =2/2代入方程得 8-y2=4 y2=4 , y= 2,弦长为 4AF2 AFi二2a,BF2-BFi二AF2+ BF2 AB = 4a, AF2+BF2I +|AB =4a+2m,选 C2、C点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为2y3、D/ AB + AC =2 AC点A的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线，即 y 工

28、 0，故选4、A设中心为（x, y），则另一焦点为（2x-1 , 2y）,则原点到两焦点距离和为1. (2x -1)2(2y)21229=4, -(x ) y2，4又 ca,. (x -1)22小y : 22 2 (x-1) +y 45、29左准线为35 29299x=-,M到左准线距离为d5到左焦点的距离为ed二3 5311、6、x (y )22设弦为 AB , A(X1, y1),2 2B(X2, y2)AB 中点为(x , y),则 y1=2x1,2=2X2,.yi一丫2x1- x212(X1X2)- -2=2 2x , X 2121将x代入 y=2x 得y,轨迹方程是22中点 M（x

29、, y），则28kAB=kMP _QJ 2目=2 ,即 y2=x+22P,即 y 2x，即 x+221 k?式Q222得 4k+8(1-k)=Q, k=2 1-k =Q 得 k= 122210、解：a =25 , b =9 , c =16设 F1、F2为左、右焦点，贝 U F1（-4, Q）F2（4, Q）9、八2或-1y=kx+1222222代入 x -y =1 得 x -(kx+1)-仁 Q (1-k )x -2kx-2=Q又弦中点在已知抛物线内2, 2,8、4a b 4, c29设PFi = ri, PF2=辽，NF1PF2 =则ri上二2二r：亠r22-2r1r2co - (2c)22

30、2-得 2ri以 1+cos0)=4b4b22b2- 1+cos0 =2r1r2r1r2 ri+r2 _2、riD , rir2的最大值为 a22b2 1+cos0的最小值为笃a，即181+cos0cos0,0 _T1:二5即 sin / F1PF2的最大值为 1。-arccos25则当时，sin0取值得最大值 1,22x11、设椭圆方程为a= 1(a b 0)由题意：C、2C、2c 成等差数列,c2a- 4c = cc即ac= 2c2,.2c/2 . 2、.22-a =2(a -b ), a =2b椭圆方2x2b22丄b2=1，设 A(x1,yi), B(x2,y2)2x1则一12-w =1

31、2b2b222b22上b22-得生2b2-_x222也b2电与k = 02b bk=1直线 AB 方程为 y-1=x+2即 y=x+3，代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=022- 3x +12x+18-2b =0 ,1一1122-12(18-2b2) 2=4.332x2解得b=12，椭圆方程为-=1，直线 I 方程为 x-y+3=01212、证明：设 A(xi, yi), D(X2, y2), AD 中点为 M(X0, y)直线 l 的斜率为 k，则232ia2x222b22_b2=1=1-得学-理 * =0 设a bB(Xi,yi),C(X2,y2)

32、,BC中点为M (x,y。),i2yib212y2=0c 12 y0b2=0Ca30若 I 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与M重合 AB = CD四、弦长公式法若直线I : y =kx b与圆锥曲线相交与A、B两点，A(x1, y1), B(x2, y2)则 弦长|AB = J(xiX2)3+(% y2)2=(Xi-X2)2kxib -(kx2b)2=+k2% -x2=Pi +k2J(xi+X2)24xiX2同理：|ABF#1 +亡| y2-yiIf (y2 + yi4y2yi特殊的，在如果直线 AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线

33、方程y二kx b代入圆锥曲线方程中，得到型女口ax2bx 0的方程，方程的两根设为xA,XB,判别式为,则|AB . i k2|xA-xB|= i k2，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。|a|3 2例 求直线x-y，i=0被椭圆x 4y -i6所截得的线段 AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。由、知 M、M均在直线l2x 2yk = 0 上，而 M、M又在直线 l 上,若 I 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立若 I 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立例题i:已知直线

34、2y2C : Xi交于 A、4B 两点，求 AB 的弦长31解：设A(Xi，yi),B(x2，y2)b=x+i22由&x2得4x(x+J -4=0得3x22x5 = 0 x2丄=ii 4X-|X2:3Xi则有*X2得,32设直线AB的方程为y=x，b，A(x1, y1), B(x2, y2)”y = x + b2联立方程2化简得x2+x + b3 = 0y =-x2+311X1X2-1AB中点M (,b)在直线x y = 0上22练习2：设抛物线y2=4x截直线y =2x - m所得的弦长AB长为3. 5,求m的值分析： 联立直线与抛物线的方程， 化简， 根据根与系数的关系， 求弦长 解：设A

35、(x-yj, B(x2, y2).1 y = x + 22得6x 4x - 3 = 0联立方程2X1则*x2231X-X?2:.AB| =M +k2J(X1+X2)24x1X2=备_2)2_4疋(一丄)322.11解：设A(yj, B(X2, y2)I2=4x得4x2+(4m _4)x + m2= 0y =2x + m联立方程：|x1x2=1 - m则m2X1X2L4=1 k21L(x1x2)2-4x2 =5 .(1-m)2-m2m - -4例题2：已知抛物线y - -x2 3上存在关于直线 分析：AB 两点关于直线x - y = 0对称，则直线 知直线上解：；A、B关于丨：x y = 0对称

36、-3.5x + y = O对称相异的两点 A、B,求弦长ABAB的斜率与已知直线斜率的积为- 1且AB的中点在已kAB =一1练习1已知椭圆方程为2亠y2=1与直线方程l：y =X -相交于A B两点，求 AB 的弦长233值为 k，则切线：y=kx,即 kx-y=0b =1X + x2= -1x1x2= 2二AB = Ji +k2(x,+x2)2 4x,x2= (I)2+8 = 3/2小结： 在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法， 在求解过程中一般采取 步骤为：设点 T 联立方程 T 消元 T 韦达定理 T 弦长公式作业：(1)(2)过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角

37、为:的直线交抛物线于值A，B 两点，且AB=舟求的2已知椭圆方程y2=1及点B(0,_2)，过左焦点 只与B的直线交椭圆于C、D两点，F22为椭圆的右焦点，求：CDF2的面积。【典型例五、数形结合法例 1:已知 P(a,b)是直线 x+2y-仁 0 上任一点，求 S=.、a2 b2- 4a6b - 13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=.(a 2)2(b -3)2设 Q(-2,3),则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离.-| -2 2 3-1|3 5 Smin -亦5点评：此题也t 消元后，它是一个元二次函数)例 2:已知点 P(x,y)是圆 x2+y2-6x-

38、4y+12=0 上一动点，求上的最值。解：设 0( 0, 0),则1表示直线 0P 的斜率，由图可知,x当直线OP 与圆相切时,/取得最值，设最x. .22. .圆(x-3)+(y-2) =1,由圆心(3, 2)到直线 kx-y=0 的距离为1 得|3Lk21lx/min3-3仕3+734xmaIX34例 3:2 2直线 I : ax+y+2=0 平分双曲线_y- 1的斜率为 1 的弦，求 a 的取值范围.169分析： 由题意，直线 1 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。解：设 A(xi,yi),B(x2

39、,y2)是双曲线上的点，且 AB 的斜率为 1, AB 的中点为 M(xo,y。) 2Xi2yi92y29点 M 的轨迹方程为9x-16y=0(x-1 17 7或7x4)7-2+學 kPD=乙160 V79 - 2一7162亠7o1692-716由图知，当动直线的斜率 k 16u16时，I 过斜率为 1 的弦 AB 的中点 M 而k=-a a 的取值范围为:9 2.79161616163516162 2 2 2-得X1_x2_y1_y2=0即乞匹1=0169169即 M(Xo,yo)在直线 9x-16y=0 上。由浄 x-16y=0*I 1169点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而

40、解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0 ),而是这条直线上的两条射线(无端点)。再利用图形中的特殊点(射线的端点 C、D 的属性(斜率) 说明所求变量 a 的取值范围。六、参数法则:136例 4 (k 参数)：过 y4=x 上一点 A (4, 2)作倾斜角互补的两条直线 AB AC 交抛物线于 B、C 两点。求证:直线 BC 的斜率是定值。分析：(1)点 A 为定点，点 B、C 为动点，因直线 AB AC 的倾斜角互补，所以 kAB与 kAc相反，故可用“k 参数”法，设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程，将 AB 的方程与抛物线方程联立，因 A 为已知交

41、点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点 C 坐标，再求 BC 斜率。(2)因点 B C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设2 2(yi,y1) ,C(y2,y2)。再考虑 kAE=-kAc得参数 yi,y2的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k，则 AC 的斜率为-kAB : y-2=k(x-4), 与 y =x 联立得：2 2y-2=k(y-4),即 ky -y-4k+2=0 y=2 是此方程的一解, 2yB=NL2,yB4 2解法 2 :设 B (y1,y1),C(y2,y2)，则cA2XB=yB=1 -4k 4k2k2B1 4k +4k2k21 -2kkk

42、AC=-k,以-k 代替k 代入 B 点坐标得 C1 +4k +4k21 2k-kc1371Y12V22则1 2k 1 -2kk21 -4k 4k21=-一为定值4由题意，kAE=-kAC,y222y2一屮1y2y1% -2y21_4,kABy2 _2_12y2-4 y22- kBC=21 4k 4k238设重心 G （ x, y），则:则：kBCF .为定值。4点评：解法 1 运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法 2 利用点 B，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y,y2的问题，用整体思想解题,运算量较小。例 5 （角参数）：

43、在圆 x2+y2=4 上，有一定点 A（ 2，0）和两动点 B，C（ A,B,C 两点保持/ BACJ时，求 ABC 的重心的轨迹。3分析：圆周角/ BAC 二可转化为圆心角/ BOC 兰，选用“角参数”，32 IT令 B (2cos0, 2sin0)贝 9 C(2cos(0 + ),2sin(330 +)3则重心可用0表示出来。yB1*0C：一Ax解:连 OB OQI/ BAC 丄,3/ BOC=?-3设 B(2cos0,2sin0 )(04二戸,0 ),贝 UC(2cos(0+ ),2s in(0 +)33x=y=即:x=JI0 +3二(xT)222 -122 cos：2cos(v31-0

44、 2 si nr 2 si n(r32 .二1 cos()332 .二sin( )33二5二三)3空)33x23 y = sin(寸)-cos3)JI(，)33(|y)2J。(2即(x -2)2y2=4(x :1)392x0）有公共点时 a 的取值a范围分析：将直线方程代入椭圆方程消元得元二次方程应有解,用判别式 0 可求得 a 的取值范围。也C 按逆时针排列），当 B,39程得 3acos -4sin:+10=010贝 U sin（ -a）= -可考虑另一代入顺P （用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题:解法一：由351=-x5代入椭圆方程得厶X2-42a2（A196）x2 145x

45、21=oa1644 ，得日2-4 2（19A三）_0解得a 162. 7_3解法二：设有公共点为P,因公共点 P 在椭圆上,利用椭圆方程设（acos， sin）再代入直线方4sin:-3acos：=10。4si 代3a9a2169a216cos 甲=0V9a2+163a令 sin a _v9a2+164cosa =U9a2+1640J9a2+16由sin（申一ot） 1即 sin2（申-a） 84,a2 逻（a0）32.21 a3点评：解法 1 , 2 给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1 的思路清晰，是常用方法，但运算量较大,对运算能力提出较高的要求，解法2 先考虑椭圆，设公共点再代入直线

46、，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线2 2l : Ax+By+C=0 与椭圆务 I1有公共点，求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运a2b2算，而用解法二,设有公共点 P，利用椭圆，设 P（ acos，bsin ）代入直线方程得 Aacos+Bbsin=-C。“C Co o “ 0)和 y=-x(x0)上，且 POQ 的面积为 1，( 0 为原点)，则线段 PQ 中点 M 的轨迹为()A、双曲线 x2-y2=1B 、双曲线 x2-y2=1 的右支C 半圆 x2+y2=1(x 25、 一个等边三角形有两个顶点在抛物线y2=20 x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为 _6、

47、设 P(a,b)是圆 x2+y2=1 上的动点，则动点Q(a2-b2,ab)的轨迹方程是 _7、 实数 x、y 满足 3x2+2y2=6x，贝 U x+y 的最大值为 _8、 已知直线 l : 2x+4y+3=0 , P 是 I 上的动点，O 为坐标原点，点 Q 分OP为 1: 2,则点 Q 的轨迹方程为_2 29、 椭圆 11在第一象限上一动点 P,若 A(4 , 0) , B(0 , 3) , O(0, 0)，则S四边形APBO的最大值169AC234210、已知实数 x、y 满足 x+y=4，求证：(x 2)2(y -1).252、 ABC 中,A(3,0)BC =2, BC 在 y 轴

48、上，且在-3,3间滑动，求 ABC 外心的轨迹方程。设 A、B 是抛物线 y2=2Px(p0)上的点，且/ AOB=90 ( O 为原点)。求证：直线 AB 过定点。参考答案x-2y=b ,圆(x-1)2+(y+2)2=5,由(1 , 2)到 x-2y-b=0 的距离等于.5 得或 b=10则 b 的最大值为 10,选 Bo或用参数法，令x = 1 5COST, y = -2 5 sin v代入得x -2y = 5.5 cos J - 2 . 5 si n- 5 5(cos)- si nJ二5 5sin(：- J5510。选 B22.x120 x0,X20 /. xi=X222 3则yi=y2, y1=-y2,. A、B 关于 x 轴对称，A、B 在 y= x上3将y3X代入 y2=20 x 得 A(60,20 3) , . B(60,-20“ 3)12、最大